晶体学实验 | 2020年国际物理奥林匹克竞赛实验试题解答
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以下文章来源于现代物理知识杂志 ，作者惠王伟 宋峰
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惠王伟 宋峰
南开大学物理科学学院
2020 年国际物理奥林匹克竞赛实验试题为 “ 晶体学 ” ，试题分为四个部分， A 部分主要研究一维晶体衍射的最基本规律， B 部分研究二维晶体的相关参数， C 部分研究晶体中的晶胞对称性， D 部分研究相位问题。本文在大赛提供的参考答案基础上对本题进行了重新解答。
A 部分：从狭缝到晶体 (5.0 分 )
A.1(0.3 分 )
题目中提供了散射矢量 q 表达式
q = 2 k i sin ( θ/ 2 ) (A1)
式中，波矢为
，
λ
为波长，
θ
为衍射角，可认为其远小于
1(
题给条件
)
，
则
q ≈ k i θ = (2π/ λ ) θ (A2)
所以 q ≪ k i
题目中也给出了光强 I 取决于光衍射角 θ 的公式 [ 原文中为公式 (4) ，本文中重新编号为 (A3)]
(A3)
式中， I 0 是 θ = 0 时的光强， N 是光栅狭缝数。
在 θ 很小时，
(A4)
将 (A2) 代入 (A4), 可得 I ( θ ) 表达式为：
(A5)
A.2(0.2 分 )
对于光栅常量为 a 的衍射光栅，光栅衍射方程为
a sin θ = hλ , h ∈ Z (A6)
小角度近似，有
aθ = hλ (A7)
将 (A7) 代入 (A2) ，可以得到第 h 个衍射极大的散射矢量表达式为：
q =( 2π/ a ) h , (A8)
A.3(0.2 分 )
利用式 (A8) ，可以推出：
q = q 1 h , h ∈ Z (A9)
q 1 a = 2π (A10)
q 1 是 1 级衍射极大的散射矢量。
A.4(1.0 分 )
利用题目中提供的实验器材，搭建实验装置，利用激光器照射样品，分析观察屏上的衍射光斑。由于衍射角 θ 可认为其远小于 1( 题给条件 ) ，利用 A9 和 A10 可以得到：
q 1 = (2π/ λ )( S N /NL) (A11)
其中 S N 为 0 级衍射极大到 N 级衍射极大的距离， L 为样品 DG 到观察屏的距离。利用公式 A10 和 A11 ，通过测量 S N 和 L 可以得到：
DG1: q 1 = 320 ± 32mm -1 ， a = 20 ± 2μm
DG2: q 1 = 130 ± 13mm -1 ， a = 50 ± 5μm
DG3: q 1 = 79 ± 8mm -1 ， a = 80 ± 8μm
DG4: q 1 = 79 ± 8mm -1 ， a = 80 ± 8μm
DG5: q 1 = 79 ± 8mm -1 ， a = 80 ± 8μm
A.5(1.5 分 )
利用 A.1 得到的公式 A5 可以推出：
(A12)
I 的极大值取决于 h ，通过测量两个不同的衍射极大值 ( 如第 1 级和第 2 级 ) 可以得到：
(A13)
其中 I (1) 和 I (2) 为第 1 级和第 2 级衍射极大的光强，通过实验测得，将其测量值带入 A13 ，可以求出 a / b , 结果如下：
DG1: a / b = 2
DG2: a / b = 4
DG3: a / b ∈ [7,10]
DG4: a / b ∈ [3.2,4.8]
DG5: a / b ∈ [1.5,2.5]
A.6(0.7 分 )
题目中提供了结构因子的表达式：
F ( q ) ~ ∫ ρ ( x ) exp ( iqx )d x (A14)
通过题目中给出的图 1 可以直接得到 ρ ( x ) 的表达式：
(A15)
将 ρ ( x ) 代入结构因子的表达式中可以得到：
(A16)
式中 p = a / b ，强度为 0 的极大 h 满足： h = ± pm ， m ∈ N
A.7(0.7 分 )
采用 A.6 同样的方法可以得到图 1 中晶胞 B 的 ρ ( x ) 的表达式 :
(A17)
同样可以得到晶胞 B 的结构因子 F B ( h ) ：
(A18)
强度为 0 的极大 h 满足： h = ± pm ， m ∈ N
A.8(0.4 分 )
用同样的光照射图 1 中的两个光栅，利用公式 A16 和 A18 可以得到光强之比为：
(A19)
图 1 一维晶体的晶胞，黑色区域为不透光的区域
A 部分评述
A 部分主要研究的是一维晶体衍射的最基本规律。本题通过观察衍射光栅的衍射现象，研究一维晶体的相关参数。题中涉及的实验操作并不复杂，但有较多的公式推导和计算，且后面题目中经常要用到前面题目的结果，如果前面题目出现错误就会导致后面题目推导结果错误。所以在解题过程中，一定要认真仔细，掌握题目中给出公式、定义和提醒性信息。
B 部分：二维晶体 (5.0 分 )
B.1(1.0 分 )
通过分析二维晶体结构
(
题目中提供图
2)
可以得到
和
的长度为：
| q 1 | =2π/( a 2 sin α ) ， | q 2 | =2π/( a 1 sin α )
或 | q 1 | =2π/( a 1 sin α ) ， | q 2 | =2π/( a 2 sin α ) (B1)
q 1 和 q 2 的夹角为 β = α
图
2
以
和
作为格矢的二维晶体，这些点表示晶体中原子的位置
B.2(0.5 分 )
根据公式 A14 和 A16 可知，如果透光区和非透光区互换，除中心衍射斑点 ( h = 0 ， k = 0 ) 外的衍射结构因子的模相等，所以可以推出二维晶体 A 结构因子为：
(B2)
(B3)
晶体 D 的结构因子可以通过晶体 A 变换得来，将晶体 A 的结构因子表达式乘以 [ 1+ e i π ( h + k ) ] 就可得到。
B.3(0.6 分 )
题目要求分析样品衍射图，通过实验确定样品的晶格周期，这需要利用与 A.4 相同实验光路，观察样品衍射图，可以观察到类似图 4 的衍射图样，通过测量衍射图中斑点距离可以求出衍射矢量和晶体周期，求得样品的晶体周期为：
a UC 1 = 30μm
a UC 2 = 20μm
a UC 3 = 20μm
a UC 4 = 30μm
B.4(0.4 分 )
通过观察样品的衍射图样，通过观察衍射斑点的缺失、斑点强度及 B.3 中求得的晶体周期，可以判断出 UC1-UC4 对应的晶体结构为：
UC1-B
UC2-A
UC3-D
UC4-C
B.5(0.8 分 )
要想确定不透光区域的边长 b ，可以采用 A.5 类似的方法，利用样品 UC1 的实验结果，可以得到： b = 10μm 。
B.6(1.2 分 )
题目要求通过实验确定每个样品的参数 a 1 , a 2 和角 α ( 图 2) ，首先搭建实验装置，观察样品 UC5 、 UC6 、 UC7 的衍射图样。可以看到 UC5 衍射图样是矩形排布， UC6 和 UC7 为平行四边形排布，如图 3 所示。测量并计算可以得到每个样品的参数 a 1 , a 2 和角 α 为：
UC5: a 1 = 20μm , a 2 = 40μm , α = 90°
UC6: a 1 = 36.1μm , a 2 = 22.4μm , α = 63°
UC7: a 1 = 40μm , a 2 = 36μm , α = 56°
图 3 样品 UC6 、 UC7 衍射图样
B 部分评述
B 部分主要研究的是二维晶体的相关参数。实验采用与 A.4 相同的实验方案，观察不同样品的衍射图样。通过分析衍射图样，测量二维衍射斑点的距离等参数，可以确定多种未知样品的晶体参数，以及与题目给出的晶胞的对应关系。
C 部分：晶体的对称性 (5.0 分 )
C.1(0.3 分 )
根据题目中给出的旋转对称性的定义和二维晶体衍射图样 ( 题目已给出，图 4) ，可以较容易地判断出旋转中心： h = 0 ， k = 0 。旋转对称阶 m =1,2,4 。所有对称轴在图 4 中都已经标注出。
图 4 对称轴标注图
C.2(0.2 分 )
题目要求写出图 4 中绘制的每个镜像对称轴的直线方程，对称轴是一条直线，它可以表示为直线方程： c 1 ∙ q x + c 2 ∙ q y = d ，图 4 中镜像对称轴的方程为：
1 ： q y = 0 (C1)
2 ： q y = q x (C2)
3 ： q x = 0 (C3)
4 ： q y = - q x (C4)
C.3(0.4 分 )
通过分析衍射图样 ( 图 4) 可得，每个旋转对称强度 I ( q x , q y ) 满足的方程：
C 1 : I ( q x , q y ) = I ( q x , q y ) (C5)
C 2 : I ( q x , q y ) = I (- q x , - q y ) (C6)
C 4 : I ( q x , q y ) = I (- q y , q x ) (C7)
每个镜像对称强度 I ( q x , q y ) 满足的方程：
q y = 0: I ( q x , q y ) = I ( q x , - q y ) (C8)
q x = 0: I ( q x , q y ) = I (- q x , q y ) (C9)
q y = q x : I ( q x , q y ) = I ( q x , q y ) (C10)
q x = - q y : I ( q x , q y ) = I (- q y , - q x ) (C11)
C.4(0.2 分 )
因为 ρ ( x ) ∈ R ( 题目中给出 ) ，结构因子有如下关系：
(C12)
这里的 F * 是 F 的复共轭，由 C12 可以推出：
I ( - h ， - k ) = F ( - h ， - k ) F * ( - h ， - k )
= F ( h ， k ) F * ( h ， k ) = I ( h ， k ) (C13)
对应的对称性为 C 2 。
C.5(0.4 分 )
为了用晶体 1 的结构因子表示其他晶体的结构因子，可以先假设晶体 1 的结构因子为：
(C14)
根据对称性，晶体 2 通过晶体 1 对 x = 0 轴做变换可以得到， ρ 2 ( x ， y ) = ρ ( - x ， y ) ，晶体 2 的结构因子为：
(C15)
晶体 3 通过晶体 1 对 x = y 轴做变换可以得到， ρ 3 ( x ， y ) = ρ ( y ， x ) ，晶体 3 的结构因子为：
(C16)
晶体 4 通过晶体 1 平移可以得到，假设平移矢量为 ( x 1 ， y 1 ) ， ρ 4 ( x ’ ， y ’ ) = ρ ( x + x 1 ， y + y 1 ) ，晶体 4 的结构因子为：
(C17)
C.6(0.5 分 )
要分析任意二维晶体的旋转对称性，可以假设图
5
中
A
和
B
是最近的两个点，
。
图 5 对称旋转示意图
如果该晶体是
m
阶旋转对称，如果绕
A
旋转
θ
= 2π/
m
，
B
点旋转到
C
点，同样的方法可以从
A
点旋转到
D
点。因为所有点是等价的，所以
，
n
∈
Z
。因此：
cos θ = (1 – n ) / 2 (C18)
n ， cos θ ， θ ， m 可能的值如表 1 所示：
表 1 n ， cos θ ， θ ， m 的取值
所以所有可能的旋转对称有： C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 。
C.7(0.9 分 )
具有晶胞 K 、 L 、 M 、 N 、 P 、 Q 、 R 、 S 、 T 的晶体的对称性示意图如图 6 所示，旋转对称性在图中已经标注。
图 6 晶胞的对称性示意图
C.8(0.8 分 )
样品 PG1 、 2 、 5 、 8 对应于图 6 晶胞 K 、 L 、 M 、 N ，要想确定对应关系，需要通过实验分析其衍射图样。表 2 为观察到的样品 PG1 、 2 、 5 、 8 的衍射图样对称性，表中 “+” 表示样品具有相应的对称性。对于样品 PG1 ，理论上存在对称轴 q x =0 ，但实际的衍射图样可能观察不到。
表 2 样品 PG1 、 2 、 5 、 8 的衍射图样对称性
PG1 因为具有 q y = 0 轴对称性，根据图 6 判断其对应 L ， PG2 不具有上述对称性，所以对应于 M ， PG5 具有两条对称轴，所以其对应于 N ，所有样品与晶胞的对应关系为：
PG1-L
PG2-M
PG5-N
PG8-K
C.9(1.0 分 )
样品 PG3 、 4 、 6 、 7 、 9 对应于图 6 晶胞 P 、 Q 、 R 、 S 、 T 。要想确定对应关系，需要通过实验分析其衍射图样。表 3 为观察到的样品 PG3 、 4 、 6 、 7 、 9 的衍射图样对称性，表中 “+” 表示样品具有相应的对称性。
表 3 样品 PG3 、 4 、 6 、 7 、 9 的衍射图样对称性
PG4 和 PG6 的衍射图样具有 C 4 对称性 ( 如晶胞 R,T) ，而其他的都不具有。在这组样品中，对称性不足以匹配晶胞和衍射图样。我们需要使用加法定则，并理解晶胞 S 和 T 的缺失。
对于 S 晶胞，将不透光元素进行标记，如图 6 所示。元素 1 的结构因子用 F ( h , k ) 表示，利用 C.5 的解题方法可以得到其他元素结构因子的表达式为：
f 1 ( h , k ) = F ( h , k ) (C19)
f 2 ( h , k ) = F ( - h ,- k ) e i 5π h /7 (C20)
f 3 ( h , k ) = F ( - h , k ) e - i π(2 h/ 7+ h ) (C21)
f 4 ( h , k ) = F ( h ,- k ) e - i π( h + k ) (C22)
S 晶胞的结构因子为上面之和，对于 h = 0 的衍射斑点有：
f s ( 0, k ) = ( 1 + cos ( π k ) )( F ( 0, k ) + F ( 0,- k ) ) (C23)
对于 h = 0 时，衍射斑点会在 k 为奇数时缺失，同样可以推出 k =0 时，衍射斑点会在 h 为奇数时缺失。衍射图样具有这种特性的只有 PG6 和 PG9, 因为 PG6 对应晶胞 R 或 T ，所以 PG9 对应 S 。
对晶胞 T 采用同样的方法，可以得到元素结构因子的表达式为：
f 1 + f 5 = F ( h , k ) + F ( k , h ) e - i π( h + k ) (C24)
f 2 + f 6 = F ( k ,- h ) + F ( h ,- k ) e - i π( h - k ) (C25)
f 3 + f 7 = F ( - h ,- k ) + F ( - k ,- h ) e - i π(- h - k ) (C26)
f 4 + f 8 = F ( - k , h ) + F ( - h , k ) e - i π(- h + k ) (C27)
对于 h =0 的衍射斑点有：
f T ( 0, k ) = ( 1 + cos ( π k ) )( F ( 0, k ) + F ( k ,0 ) + F ( 0,- k ) + F ( - k ,0 ) ) (C28)
对于 h =0 时，衍射斑点会在 k 为奇数时缺失，同样可以推出 k =0 时，衍射斑点会在 h 为奇数时缺失。 PG6 衍射图样具有这样的特性，所以 PG6 对应 T, 所以 PG4 对应 R 。 PG3 衍射图样具有对称轴，其对应于 P ， PG7 对应 Q 。
C.10(0.3 分 )
要想判断样品 UC8 是不是晶体，需要通过实验观察 UC8 的衍射图样，判断其衍射图样具有的对称性。通过实验发现 UC8 具有 C 5 对称，而根据 C.6 的结果，晶体所有可能的旋转对称有： C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 ，所以 UC8 不可能是晶体。
C 部分评述
C 部分主要研究的是晶体中的晶胞对称性。本题主要研究镜像对称和旋转对称，其中 C.1~C.7 为衍射图样和晶体结构对称性分析和公式推导，并不涉及实验操作，解题过程中要利用题目中给出的对称性和结构因子的定义。 C.8~C.10 是通过实验观察样品的衍射图样，通过分析衍射图样的对称性，确定样品对应的晶胞类型，解题过程中要利用晶胞的对称性导致的相互对称和系统性缺失以及加法定则。
D 部分：相位问题 (5.0 分 )
D.1(1.0 分 )
题目要求用强度 I 0 的入射光照射晶体 MR0 或 MR2 ，求出 0 级衍射斑点的强度，因为 0 级衍射斑点的强度 E 与透光面积成正比，而光强 I 为场强的平方，可以得到下面两个公式：
E =( N transparent / N all ) E 0 (D1)
I = ( N transparent / N all ) 2 I 0 (D2)
其中 N transparent 和 N all 分别为透光方块数和总的方块数。 MR0 和 MR2 透光方块数分别为 5 和 7 ，利用公式 D2 可以求出 0 级衍射斑点的强度分别为：
I MR 0 = (5/16) 2 I 0 (D3)
I MR 2 = (7/16) 2 I 0 (D4)
D.2(2.0 分 )
为了确定 MR1 的晶胞结构，需要通过实验测量 MR1 衍射斑点强度 I ( h , k ) , | h | ≤ 2, | k | ≤ 2 ，测量结果如图 7 所示，
图 7 MR1 衍射斑点强度
通过逆傅里叶变换可以得到：
(D5)
因为 ρ ( χ , γ ) 是实数，所以只计算实部就足够了。
(D6)
通过 D6 计算可以得到晶胞的振幅透射率如图 8 所示，透射率较小的地方为不透光区域，透射率较大的地方为透光区域，根据图 8 可以判断 MR1 的晶胞应为 X 。
图 8 MR1 透射率
图 9 X 晶胞
D.3(2.0 分 )
题目要求确定 MR2 的晶胞结构，解题时可以利用 D.2 同样的方法，可以得到 MR2 的衍射斑点强度和透射率，如图 10 和图 11 所示。
图 10 MR2 衍射斑点强度
图 11 MR2 透射率
题目中提示 MR2 相比于 MR0 ，只是两个不透明的方格变成透明的方格，通过与 MRO 对比，可以发现 MR2 在 (0 ， 2) 和 (3 ， 0) 两个位置变成透光，所以 MR2 的结构如图 12 所示。
图 12 MR2 晶胞结构
D 部分评述
D 部分主要研究的是相位问题。本题主要是利用已知的结构的 MR0 晶胞，确定未知晶胞的结构。解题过程中，需要通过实验测量衍射斑点的强度分布，然后将其转化为透射率分布，并通过与已知晶胞结构对比就可以确定 MR1 和 MR2 的结构。
本次试题利用晶体的周期性，通过衍射的方法研究晶体结构。试题通过研究晶胞的参数、晶胞的对称性和相位，从而确定晶体的结构。试题有很多的理论分析和公式推导，试题题量大，考察的内容和知识点很全面，具有一定难度。
本文选自《现代物理知识》2022年第6期 YWA编辑