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量子自旋液体五十年：仍难以直接定义的概念

时间：2023-10-24 来源：浏览：

量子自旋液体五十年：仍难以直接定义的概念

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以下文章来源于兰州理论物理中心，作者杨贇彤、罗洪刚

兰州理论物理中心 .

发布兰州理论物理中心公开信息

作者：杨贇彤，罗洪刚

兰州大学物理科学与技术学院和兰州理论物理中心

量子理论与应用基础教育部重点实验室和甘肃省理论物理重点实验室

摘要

1973 年菲利普 · 安德森提出量子自旋液体概念，至今已五十年。理论上，量子自旋液体仍然难以直接且正面（ p ositive ）定义；实验上，确认量子自旋液体的直接信号仍未探测到。我们简要回顾量子自旋液体概念的发展，特别关注其困难所在，以及目前实验方面的困境。在此基础上，我们以阻挫自旋 -1/2 $J_1-J_2$

反铁磁方格子模型为例，在有限格点（ $L=L_x imes L_y$

）情况下，利用图案（ p attern ）语言精确描述系统如何从弱 $J_2$

区域的 Néel 反铁磁态（对角单畴）演化到强 $J_2$

区域的 striped 反铁磁态（对角 $L_{x(y)}$

畴）。该模型在最强阻挫区域（ $J_1sim J_1/2$

）被认为存在量子自旋液体。这样，我们的结果为量子自旋液体（如果存在的话）的直接定义提供了一种可能：它具有对角双畴 → 对角四畴 → 对角六畴 →…… → 对角 $(L_{x(y)}-2)$

畴结构。

一、量子自旋液体概念的提出及演化

1973年，享有“凝聚态物理之父”称谓的菲利普 · 安德森（P. W. Anderson，1923-2020，1977年诺贝尔物理学奖获得者）最早提出量子自旋液体概念[1]。他考虑一个三角格子上的海森堡反铁磁自旋相互作用系统的基态，称其为共振价键态(resonating valence bond, RVB)。其基本图像是：格点上的自旋首先配对成为自旋单态，然后这些自旋单态相干叠加，成为RVB态。该原创性概念提出的最初十四年里，并没有受到太多的关注，文章仅被引用了70次，后来的研究表明这种形式是不正确的。直到1986年镧-钡-铜-氧[2]高温超导电性的发现（1987年诺贝尔物理学奖）才又激发出大家对量子自旋液体的兴趣。

而这一兴趣的激发，又是安德森推动的。1987年，安德森[3]及安德森与合作者[4]提出了一种特殊形式的RVB态，并建议高温超导电性来源于对这些RVB态的掺杂，掀起高温超导机理研究的热潮。同年，对量子自旋液体自身的研究，也迎来新的热情，一些全新的概念如赝费米子（pseudo-fermion，现在称自旋子）、手性自旋液体（chiral spin liquid）等被引入，并与拓扑性质建立了紧密的关系[5, 6]。拓扑序概念应运而生[7]，成为凝聚态物理研究的长期热门话题之一。在这段时期，量子自旋液体的研究主要集中在理论方面，人们大多持批评态度，因为量子自旋液体的这种RVB态主要以波函数形式呈现，人们怀疑这种态能否在现实的物理系统中存在。这样的怀疑是有道理的，比如Rokshar和Kivelson在1988年提出了方格子量子二聚化模型[8]，但该模型的量子自旋液体相很快被证明是不稳定的。

事情的变化发生在2000年及之后。1971年Wegner建立了伊辛格点规范理论[9]，而Senthil和Fisher发现某些具有量子分数和拓扑序的自旋子与伊辛格点规范理论有紧密的联系[10, 11]。Moessner和Sondhi在2001年证明三角格子量子二聚化模型有稳定的自旋液体态，其特征与自旋子相同[12]。更重要的是，在2003年，Kitaev提出toric code 模型[13]，与Wegner的理论有紧密联系，该模型具有的拓扑相可能在量子计算中有重要应用。进一步，在2006年，Kitaev在honeycomb格点上构造了一个自旋模型，该模型有精确解，并具有一个稳定的无能隙量子自旋液体相[14]。这些工作进展的意义是重大的，它们消除了人们关于量子自旋液体态是否存在的疑惑。自然地，接下来人们在理论上进一步探索量子自旋液体态的各种可能形式以及与拓扑的紧密关系；实验上，人们积极探索可能具有量子自旋液体态的候选材料和能够确认量子自旋液体态的实验信号，至今方兴未艾。

量子自旋液体是凝聚态物理研究的中心话题之一，并且与数学物理领域、量子信息领域，甚至量子引力理论都有宽泛的联系。针对量子自旋液体，已经有很多优秀的评述性文章[15-21]。这儿我们不过多阐述，特别是我们不关注其形式化理论方面，而将主要精力放在量子自旋液体面临的主要困难及可能的原因方面，正如下一节所讨论的内容。

二、量子自旋液体面临的困难及原因分析

1、定义上的困难

安德森最早引进量子自旋液体概念是通过波函数来定义的。众所周知，量子力学波函数是不可以直接观测的，因此这样的定义是模糊的、不明确的。但这样定义的量子自旋液体具有一个典型的特征：在低温，甚至零温极限下系统没有磁长程序。所以，人们逐渐将没有磁长程序作为定义或寻找量子自旋液体的主要依据，至今仍在很多工作（如部分实验和数值计算）中使用。没有磁长程序，虽具备液体的性质，但没有体现量子属性，因为经典自旋液体如自旋冰也具备这样的性质。此外，导致磁长程序缺失有很多原因，如各种无序。通过排除法来确认一件事，本身就是件具有挑战性的事情。所以，声称自旋不做什么，不能唯一确定量子自旋液体态。

近年来，随着量子多体理论的发展，人们较为普遍采用一个观点：量子自旋液体态是一个高度纠缠的态。本质上，这仍然是基于波函数，并且仍然是在声称自旋不做什么。为什么是这样？我们来看看如何定义多体纠缠态。一个多体态是高度纠缠的，是说这个态不能通过有限的变换光滑地变成直积态。这仍然是通过否定的方式来定义什么是高度纠缠。尽管Kitaev的toric code模型的精确波函数演示了高度纠缠态到底看起来是什么样子，但toric code模型是一个“玩具”模型，现实中还没有找到仅仅具备toric code模型所描述的性质的材料。Kitaev提出的honeycomb模型同样有精确解，但至今仍然没有发现一种材料完全满足该模型所描述的物理。文献中经常提到的Kitaev类材料，如Na ₂ IrO ₃ 和Li ₂ IrO ₃ ，除了Kitaev相互作用，附加的Ir-Ir叠加导致的海森堡项被证明不可避免。可见，量子多体纠缠这种否定性定义上的困难，也为实验带来困惑，因为纠缠的度量，本身在实验上也是难以直接测量的。

2、实验上的困难

正如上面所说，目前较普遍的观点是量子自旋液体是一个高度纠缠的态，具有非局域的激发和拓扑性质。拓扑性质是系统的整体行为，实验上不能直接探测，所以寄希望于非局域激发。比热和磁化率测量能够直接探测到激发，不管是局域的还是非局域的。但激发可以由各种因素导致，比如温度涨落、量子涨落和各种相互作用。因此，排除各种可能原因，又是一件极具挑战性的事情。其他较为传统的实验探针，很遗憾，目前均是探测局域信号如局域关联函数等，需要材料合成、理论模型、模型计算、信号探测等诸多环节高度配合，才能得到较为明确的信息，但这样的信息仍然是间接的，不是直接的证据。所以，目前大部分的工作仍然集中在候选材料的探索上。候选材料的一个主要证据是在足够低的温度下，材料仍然没有呈现出磁长程序，这仍然回到声称自旋不做什么上，进一步的确认仍然需要大量的工作。

3、计算上的困难

量子自旋液体是典型的量子多体问题，求解量子多体系统面临的困难，它一个都不少。一般的自旋系统很难精确求解，而具有精确解的“ 玩具 ”模型，又没有实际的材料对应。由于自旋系统通常高度简并，甚至微扰展开需要的特征参数都找不到。借助计算机资源的快速发展和先进算法的设计，是解决量子自旋液体问题的有效途径。但面临量子多体问题的核心困难，如“指数墙”问题、量子蒙特卡洛的“负符号”困难，计算资源的增长优势显得微不足道。关键问题仍然不在于此，而在于量子自旋液体的定义上。精确对角化能够求解小格点系统，得到系统的基态能量和基态波函数。通过这些信息，容易判断系统是否具有激发能隙、系统关联函数行为、系统是否具备磁长程序等。但由于量子自旋液体自身的否定性声称的定义以及有限格点尺寸标度假设，判断系统是否为量子自旋液体态仍然不充分。密度矩阵重正化群以及在此基础上进一步发展的张量网络重正化群算法，严重依赖于模型的边界条件和计算精度以及可能的尺寸效应（包括可能的标度方法），相互之间的结果往往存在出入，从而导致声称的结论彼此间存在争论。

三、阻挫自旋-1/2 $J_1-J_2$

反铁磁方格子模型

科学道路崎岖漫长，探索量子自旋液体的道路更是充满了困难和挑战。究其根本原因，我们觉得是目前的出发点问题，即通过声称自旋不做什么来定义量子自旋液体。那我们能否换一个角度，先看看自旋做了什么？我们选取阻挫自旋-1/2 $J_1-J_2$

反铁磁方格子模型为例来说明 [22]， $J_1$

和 $J_2$

分别为近邻和次近邻自旋耦合强度。这个模型已有三十五年的研究历史，在部分参数区域已达成共识：在弱 $J_2$

区域，该模型有Néel反铁磁长程序；在强 $J_2$

区域，该模型有striped反铁磁长程序。争论发生在 $J_2sim J_1/2$

附近区域，也是阻挫最强的区域：是量子自旋液体态？还是价键固体态？或者二者在相应区域各自存在？或者别的什么态？例如退禁闭相[23]。最新的结果是量子自旋液体态和价键固体态在相应的区域均存在，但是否有相变或相变点的确定却存在大的争论。这儿，我们把这些争论搁置一边，为了显示自旋做了什么，我们利用图案语言[24-27]来描述。

为清楚和准确，我们考虑包含了基本物理的最小格点系统 $L=4 imes4$

并取周期性边界条件。将哈密顿量在算符空间对角化后，得到了六种图案。这些图案沿着二维方格子对角线方向表现出很好的规律：图案 $lambda_1-lambda_3$

为对角单畴（diagonal single-domain），相邻格点自旋方向相反，即为我们熟悉的Néel反铁磁序；图案 $lambda_4-lambda_{15}$

为对角双畴（diagonal two-domain）; 图案 $lambda_{16}-lambda_{21}$

为对角四畴（diagonal four-domain），每一列（每一行）自旋相同，并与相邻列（行）自旋相反，即striped反铁磁序。这三种图案能量较低，对基态有很重要的贡献，其他能量高的图案相对而言重要性小一些。我们计算了系统基态的能量及每个图案分别对基态能量的贡献，由此来看在不同耦合区域哪些图案在起作用，如图1所示。根据不同图案的交点，可以将模型的基态大致分为三个区域：I，Néel反铁磁序；II，对角双畴；III，striped反铁磁序。在区域Ⅰ，图案 $lambda_1-lambda_3$

起主导作用，虽然也有其他图案如图案 $lambda_4-lambda_{15}$

贡献了一定的能量，但是图案 $lambda_1-lambda_3$

占的权重最大，因此该区域为Néel反铁磁相；在区域Ⅱ，图案 $lambda_1-lambda_3$

贡献的能量减小，图案 $lambda_4-lambda_{15}$

成了主导，同时图案 $lambda_{16} -lambda_{21}$

也开始起作用，但没有超越图案 $lambda_4-lambda_{15}$

，因此该区域主要为对角双畴序（如果可以称为序的话）；在区域Ⅲ，图案 $lambda_{16}-lambda_{21}$

成了主导，图案 $lambda_1-lambda_3$

对基态能量的贡献几乎为零，图案 $lambda_4-lambda_5$

仍然贡献一定的能量，但远低于图案 $lambda_{16} -lambda_{21}$

，因此该区域为striped反铁磁相。令人惊讶的是，即使是 $L=4 imes4$

这样的小格点尺寸，图案交点给出的不同相区域转变点的位置 $(J_{2,c1}approx0.363,J_{2,c2} approx 0.635)$

与目前文献中[28]给出的大格点尺寸并没有定性的差别，在某种意义上，我们甚至可以声称其定量上大致一致。唯一在定性上有差别的地方是：中间 $J_2$

区域只有一种对角双畴结构，这样不能区分量子自旋液体和价键固体态，这是因为我们只考虑了能显示不同对角畴的最小格点尺寸。增大格点尺寸，更丰富的对角畴结构能够出现，我们下面简要说明。

增大格点尺寸 $L=L_x imes L_y$

，对角方向磁畴的数目也会相应的增加，但对角单畴对应Néel反铁磁序和对角 $L_{x(y)}$

畴对应striped反铁磁序保持不变。因此从图案语言来看，自旋-1/2 $J_1-J_2$

反铁磁方格子模型的演化过程为：对角单畴（Néel反铁磁长程序） → 对角双畴 → 对角四畴 → 对角六畴 → ……→ 对角 $L_{x(y)}$

畴（striped反铁磁长程序）。

图1. 基态能量（黑线）与每种图案的能量（彩色线）。圆圈为精确对角化的结果。根据图案的交点将相图分为三个区域：I，Néel反铁磁序；II，对角双畴；III，striped反铁磁序。下方的三幅图对应每个区域占主导的图案。

四、小结与展望

我们简要回顾了量子自旋液体概念的提出及最初阶段的发展及演化，重点不是对这个快速发展领域的研究状况作较系统的评述，而是关注概念的出发点及面临的困难并分析可能的原因：通过声称自旋不做什么并不是一个好的出发点。通过考察自旋做什么应该能够提供一个量子自旋液体直接定义的可能的出发点。对阻挫自旋-1/2 $J_1-J_2$

反铁磁方格子模型的分析，表明图案语言能够描述小 $J_2$

区域和大 $J_2$

区域的长程序。这样，没有理由怀疑它不能描述中间 $J_2$

区间自旋的行为：对角单畴（Néel反铁磁） → 对角双畴 → 对角四畴 → 对角六畴 → ...... → 对角 $L_{x(y)}$

畴（striped反铁磁）。图案语言提供的对角畴的演化过程，相信能够为量子自旋液体的直接定义及各种可能的相和相变的刻画提供见解。对目前 $L=4 imes4$

周期性格点，最强阻挫区域的物理可以用一句俗语较为准确地表达：“山中无老虎，猴子称霸王”。

目前的结果只限于正方格子的小格点尺寸。增加格点尺寸和应用到另外的格点如三角格点、honeycomb格点、Kagomé格点等将会提供更加丰富的行为，但上面的图像应该保持有效。

我们仍然以《西游记》电视剧主题曲结束本文，“敢问路在何方？路在脚下。

致谢：特别感谢基金委理论物理专款对 “ 兰州大学理论物理交流平台 ” （ 2010-2020 ）和 “ 兰州理论物理中心 ” （ 2021- ）的支持和甘肃省科技厅对 “ 甘肃省理论物理重点实验室 ” 的支持。

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