【论文】赵玉龙（本刊青年编委）,等:基于数据赋权的经验产量递减模型拟合新方法——以四川盆地长宁区块为例

0 　引言

页岩气是一种赋存于以富有机质页岩为主的储集岩系中的天然气。根据EIA 的全球调查，我国页岩气储量约为31.6×10 ¹² m ^3[1] ，是全球页岩气资源最丰富的国家之一。自2010 年实现第一口页岩气井压裂以来，现已成为全球第二个掌握页岩气开发核心技术的国家 ^[2] 。目前，长宁—威远国家级页岩气示范区年产量突破了100×10 ⁸ m ³ ，四川盆地成为我国页岩气开发的主战场 ^[3-4] 。

最终可采储量作为页岩气井开发效果的评价准则之一，其准确预测可以了解页岩气井生产情况，合理调节页岩气井工作制度，充分挖掘页岩产气潜力， 降低开发成本。目前，国内外学者提出了多种页岩气井 EUR 评价方法：经验产量递减模型 ^[5-9] 、现代产量递减模型 ^[10-12] 、解析模型法 ^[13-15] 、数值模拟法 ^[16-18] 和机器学习方法 ^[19-23] 。其中，经验产量递减模型仅需气井生产动态数据即可快速预测气井 EUR 和生产动态，在现场得到广泛应用。现代产量递减分析基于不稳定试井理论，对生产动态资料质量要求较高， 以井口压力折算的井底流压存在误差，降低了该方法的可靠性 ^[12] 。解析模型法考虑页岩气藏复杂渗流机理，如吸附解吸、表面扩散以及应力敏感等，所需参数较多，模型求解复杂、易出现多解性，且假设条件过于理想化，无法反映储层的真实情况。数值模拟法需要详细的储层地质和工程施工参数进行建模，历史拟合难度大，计算要求高，模拟过程耗时耗力。机器学习方法不需要考虑复杂的渗流机理以及严格的理论公式推导，通过建立各种影响因素与气井 EUR 的黑箱模型便可进行 EUR 快速预测，不足的是神经网络模型训练过程易出现过拟合现象，有限的气井样本数量进一步限制了模型预测精度。

1945 年，Arps ^[24] 首次针对常规油气藏总结3 类递减模型。在随后的几十年里，学者们提出了不同的经验产量递减模型 ^[25-26] 。1980 年，Fetkovich ^[24] 将不稳定渗流理论引入递减曲线分析中，论证了Arps 模型仅适用于边界控制流状态，同时建立了类似于试井分析的双对数产量递减图版拟合方法，即现代产量递减分析。1993 年，Palacio 和Blasingame ^[28] 引入规整化产量和物质平衡时间，从而能够考虑井底流压生产情况。随着常规气藏的不断衰竭，非常规页岩气成为了开发重点。页岩气藏开发中以多级压裂水平井为主，气藏长期处于线性流动阶段，而常规经验递减模型多适用于边界控制流动阶段，在页岩气井递减分析中适用性不佳。针对上述情况，学者们提出了PLE 模型 ^[29] 、SEPD 模型 ^[30] 和Duong 模型 ^[31] 。此外，考虑页岩气藏递减过程中出现的早期快速递减和晚期缓速递减特征，国内外学者 ^[32-34] 开展了组合模型的研究。组合模型的实质是分段拟合， 页岩气井 EUR 基于后段递减规律预测得到，显然页岩气井生产历史后期数据应该得到更多的重视。

受上述思想启发，提出一种基于数据赋权的页岩气井经验产量递减模型拟合新方法。新方法考虑了气井生产异常数据点识别、删除和填补，通过欧氏距离赋予不同生产阶段数据在模型拟合中的权重，形成经验产量递减模型拟合完整工作流程。利用四川盆地长宁区块60 口页岩气井生产数据开展了新方法适用性验证和应用研究，结果表明，该新方法可为四川盆地页岩气井生产动态和 EUR 预测提供支撑，促进四川盆地页岩气藏经济高效开发，助力川渝“气大庆”建设。

1 　经验产量递减模型

经验产量递减模型是基于生产历史数据进行油气井递减规律预测研究的一种实用方法，该方法仅考虑产量与时间的关系，模型拟合计算简便，在现场得到广泛应用。总的来看，经验产量递减模型可分为4 类：①经典Arps 递减模型及其修正递减模型；②针对页岩气流动特征建立的递减模型，如RB-LGM 递减模型 ^[9] 、PLE 递减模型 ^[29] 、Duong 递减模型 ^[31] ；③组合模型，如Duong ＋ Arps 递减模型 ^[33-34] ；④结合机器学习方法的经验模型：BP ＋ LSTM ＋ Arps 递减模型 ^[35] 。表1 总结了目前常用的7 种经验产量递减模型表达式、应用现状及适用范围。

目前，常用于拟合生产数据确定递减模型参数的算法可分为线性回归法和非线性回归法。如：线性最小二乘法 ^[7] 、非线性最小二乘法 ^[39] 和单纯形法 ^[40] 。

假设有 n 个实际生产数据，对于 t _i 时刻的月产气量为 q _i ，将实际数据与模型计算数据 q ( t _i ) 的误差定义为 f ( t _i ) = q ( t _i ) － q _i 。

根据该误差函数，可得到上述回归算法的目标函数：

上述7 种经验产量递减模型在运用线性回归算法拟合时的步骤如表2 所示。

2 　递减模型拟合新方法

如表2所示，线性最小二乘法在拟合时需对递减模型进行线性化处理，若递减模型形式复杂，该算法求解较为困难。此外，相关研究 ^[7-8] 表明，线性最小二乘法和非线性最小二乘法的拟合效果虽好，但两种算法均注重页岩气井早期快速递减阶段的数据， 在中、后期预测时会出现较大的偏差（图1）。

针对上述常规拟合分析方法的不足，结合实际页岩气井数据分析，提出了一种基于数据赋权的页岩气井经验产量递减模型拟合新方法，具体包括如下步骤：

1）对页岩气井生产数据进行预处理。

①删除产量为0 时的数据点。在页岩气井生产过程中，难免出现临时关井等特殊情况，导致页岩气井产量为0。这样的数据点不能真实反映气井递减规律，同时对递减模型拟合会产生较大影响，应将其删除。②使用局部离群因子检测法识别并剔除生产数据中的离群点。局部离群因子检测法是一种基于密度的机器学习算法，通过计算每个点领域内点的密集程度，密集程度低的即为异常点。 Chaudhary 和Lee ^[42]     的研究表明局部离群因子检测法的阈值范围介于1.1 ～ 1.6 时，可有效识别页岩气井生产数据中的异常点。

2）利用指数平滑方法对剔除后的生产数据点进行填补。

指数平滑方法 ^[43] 由Brown 于1961 年提出，该方法除广泛用于时序数据的短期预测外 ^[44-45] ，还可用于数据降噪和数据填补工作 ^[46] 。

式中 S ( t _i ) 表示 t _i 时刻的填补值； S ( t _{i -1} ) 表示 t _{i -1} 时刻的填补值； q ( t _{i -1} ) 表示 t _{i -1} 时刻的实际产气量，10 ⁴ m ³ / 月； α 表示平滑系数，取值0.5。

如图2 所示，指数平滑法可以有效描述时序数据趋势，并合理修正异常值。

3）将产量递减阶段的初始点视为参考点，利用欧式距离公式计算参考点与递减阶段各个点的距离。

4）将步骤3）中计算的欧式距离作为递减阶段各个生产数据点的权重，并利用加权最小二乘法对各经验产量递减模型的参数进行拟合。

（1）权重计算公式如下：

（2）加权最小二乘法是在最小二乘法的基础上引入权重矩阵，此时将得到新的目标函数：

求解该目标函数即可得到考虑权重下的经验产量递减模型参数。

3 　拟合新方法应用与讨论

3.1 　不同递减模型中拟合效果对比

为评价新方法在不同类型递减模型中的应用效果，采用长宁区块真实页岩气井生产数据进行了拟合对比分析。Liang等 ^[6] 对长宁区块页岩气井的研究表明，递减模型拟合效果与生产时间存在良好的正相关性；Tang等 ^[7] 对Barnett和Marcellus页岩区块的研究中同样证实该观点，并且发现当拟合时间高于3年时，模型预测精度减弱。因此，以生产时间超过3年为标准，选取了四川盆地长宁区块共60口页岩气井生产数据用于拟合对比分析。

为验证新方法的有效性，将原始数据按8∶2的比例分为拟合集和验证集。拟合集用于确定模型参数，验证集用于比较不同算法的预测精度。分别采用本研究提出的新方法、非线性最小二乘法和线性最小二乘法，在前述7种不同递减模型下进行拟合和预测验证。利用相关指数（ R ² ）描述3种算法下7个经验模型在拟合集中的拟合度， R ² 越大，拟合效果越好；利用均方根误差（ RMSE ）描述3种算法下7个经验模型在验证集中的拟合度， RMSE 越小，拟合效果越好。如表3所示，7个模型在3种算法下的拟合 R ² 均高于0.7，表明7个模型均具有较好的拟合效果。从图3可以看出，3种算法下得到的验证集 RMSE 大小关系为：新方法<线性最小二乘法<非线性最小二乘法，这表明本研究提出的新方法可以使得递减模型具有更好的预测效果。非线性最小二乘法受迭代初值和迭代步长的影响，一般仅能搜索到局部最优点，预测可靠程度最低。图4展示了采用不同算法时各递减模型在长宁区块部分典型井中的拟合和预测效果对比。可以看出，即使是相同的递减模型和拟合数据，采用不同的拟合算法时得到计算效果可能存在较大差异，显然这一点在以往的研究中未得到足够的重视。

图5统计了60口页岩气井采用不同算法和递减模型时得到的 EUR 结果，3类算法的 EUR 结果大小关系为（PLE 和Duong 模型除外）：线性最小二乘法＞新方法＞非线性最小二乘法。

为进一步说明新方法的可靠性，开展不同生产时间下各拟合方法的拟合效果对比研究。拟合集为页岩气井开井生产6、12、18 和24 个月。同样利用拟合集 R ² 描述经验模型拟合程度，利用验证集 RMSE 描述经验模型预测精度。如图6 所示，页岩气井开井生产6、12、18 和24 个月时，不同拟合算法下， 7 个经验产量递减模型的平均相关指数 R ² 均高于0.7， 展现出较好的拟合效果。图7 所示，在页岩气井不同生产时间和递减模型下，采用新方法得到的验证集平均 RMSE 总是小于采用非线性最小二乘法获得的结果，这表明在经验产量递减模型预测效果上新方法优于非线性最小二乘法。当采用线性最小二乘法时， 绝大多数情况下得到的验证集平均 RMSE 要大于新方法获得的结果；针对页岩气井产量递减分析中常用的PLE递减模型、SEPD递减模型和Duong递减模型，在不同开井生产时间下新方法始终展现出优越性。图7-e由图7-a～d中数据求平均值获得，展示了3种算法在不同生产时间下的验证集平均 RMSE 大小关系，即：非线性最小二乘法＞线性最小二乘法＞新方法。因此，在使用经验模型预测页岩气井 EUR 时，可优先选择本文提出的新方法。

3.2 　基于新方法的递减模型优选研究

四川盆地为我国页岩气主要开发区域，每年新增井数较多，早期快速、准确的 EUR 评价有助于开发方案的制订与调整。为此，开展新方法在不同生产时间下的递减模型优选研究，提出以下递减模型优选标准：

1）针对长宁区块页岩气藏单井，根据验证集拟合效果判断递减模型是否适用。

基于上文3.1 筛选的60 口页岩气井，利用递减模型拟合前6、12、18 和24 个月的实际生产数据， 根据剩余数据（即验证集）的拟合效果判断递减模型是否适用。

2）针对长宁区块，根据递减模型的适用井数判断递减模型是否适用。

不同生产时间下，若某一模型的适用井数低于总井数的50%，则认为该模型不适用；若某一模型的适用井数为总井数的50% ～ 75%，则认为该模型较适用；若某一模型的适用井数高于总井数的75%， 则认为该模型适用。

3）利用相对误差 RE 表征递减模型预测 EUR 可靠程度。

基于上文3.1 新算法的计算数据，利用各递减模型的预测 EUR 计算页岩气单井平均 EUR ，将各井平均 EUR 视为标准值。计算不同生产时间下各模型预测 EUR 与平均 EUR 的相对误差（ RE ）， RE 大于0 代表递减模型预测 EUR 偏高， RE 小于0 代表递减模型预测 EUR 偏低， RE 的绝对值越小代表模型预测 EUR 越可靠。

基于上述标准，优选模型的筛选步骤为：根据适用井数判断递减模型是否适用，若递减模型较适用或适用，再比较 RE 的绝对值，最小者即为最优模型，其余均为建议模型。

据图8可知，Arps 模型和Duong 模型预测 EUR 偏高，PLE、SEPD、广义K 模型、ML 和Li 递减模型预测 EUR 偏低。结合表4 可知，生产时间越久， 可用于页岩气井递减规律分析的递减模型越多且页岩气井 EUR 预测精度越高。结合图9、表4 可知， 针对长宁区块页岩气井，生产时间为6 个月时，仅有广义K 模型的适用井数达到了总井数的一半，因此建议使用广义K 模型；生产时间为1 年时，即可使用Duong、广义K 模型和Li 递减模型进行产量递减分析，其中Duong 模型相对误差的绝对值最小，为优选模型；当生产时间达到18 个月后，除PLE 模型外， 其余6 个模型均较为适用，其中SEPD 和Duong 模型为优选模型；当生产时间达到2 年后，7 种递减模型均可用于页岩气井递减分析，其中SEPD 和Duong 模型为优选模型。

4 　结论

1）针对同一页岩气井生产数据，即便是采用相同的经验产量递减模型，使用不同的拟合算法时得到的拟合精度和预测效果也会存在较大差异。

2）以长宁区块60 口页岩气井为例开展的应用分析表明，本研究提出的基于数据赋权的页岩气井经验产量递减模型拟合新方法在模型拟合和 EUR 预测方面具备优势，尤其是针对页岩气井递减分析中常用的PLE 递减模型、SEPD 递减模型和Duong 递减模型， 在不同开井生产时间下新方法始终展现出优越性。

3）针对长宁区块页岩气井，在不同开井生产时间下，Arps 模型和Duong 模型预测 EUR 偏高，PLE、SEPD、广义K模型、ML和Li递减模型预测 EUR 偏低。生产时间越久，递减模型的预测精度越高，预测 EUR 越可靠。

4）针对长宁区块页岩气井，生产时间达6个月时，建议使用广义K模型；生产时间达1年时，Duong模型为优选模型；当生产时间达到18个月后，SEPD和Duong模型为优选模型；当生产时间达到2年后，SEPD和Duong模型为优选模型。