Kagome：吐故纳新

Ising 每天爬格子，学会了偷懒和贪图简单明了的物理，对量子凝聚态和量子材料中的科学问题和发展前景的俯瞰与仰望视角正在变得越来越大、距离变得越来越远。视角越大、距离越远，就越能忽略那些细节，从而避开难以学会的物理方法和技术。久而久之，自以为只需看到大的模样和高的风景就够了。须知，物理之路既需要广角，更需要近场和实际操作。自以为是的广角和高远，实际上是在将自己抽离那缤纷色彩和斑斓世界，可能是一种“绥靖”和“懒怠”姿态，无法回头。

由此，特别值得指出，那些在其中只争朝夕的人们，值得我们尊敬和景仰，因为他们正在从原来相对简单和直接的树林出发，冲向茂密而起伏不定无拘无束的森林。他们面对的视野，越来越无序和复杂，需要更多的理论和实验技巧，需要更多的耐心和更长的积累。

不过，这种无序和复杂性，也还是可以从能标和对称性这两个层面去作一些考量的，即便只是广角的、粗略肤浅的泛泛之论，就如图 1 所示的研究哲学。毕竟，我们的先辈和大师们，都一直在强调能量和对称性于物理学中的无上地位。 Ising 对此内涵和普适意义所知甚少，因此就有了“无知者无畏”的理由。于是，从固体能带角度， Ising 这样去学习体会及至稍微理解其中的一些问题：

图 1. 物理人用大视角去看物理世界，包括两个对应的层面：观测者无需开动全部脑筋，只用动用如图所示这般一些简单“思考电路”即可；被观测的对象也只能是一些大广角层面的分支，难以被仔细端详。这样的视角可能显著简化问题的复杂性，让物理的分门别类看起来一目了然。

不过，这样的视角，要么是被有足够积累的资深物理人加以抽象和提炼而成，要么是如 Ising 这般物理人“绥靖”和“懒怠”的托辞。物理人 (B) 擅长用广角和粗晶粒化 (coarse - graining) 方法去看物理世界的各个分支 (A) ：很显然，这样的广角，很难深入到每一个分支中的具体物理问题处理中去，后者毕竟需要扎实的数学物理推理、分析、计算和提炼的能力和基础。 (A) https://www.isc.meiji.ac.jp/~physics/english/about/index.html 。 (B) https://insigniam.com/the-solution-to-complex-phenomena-part-i-turning-ai/ 。

(1) 电子波函数的形态，总是高度依赖离子晶格周期性或对称性。晶格平移周期越大、对称性越低，就如魔角那样显著增大平移周期，一方面会显著压制薛定谔方程的动能项，很多情况下还会大幅度压制费米面附近的能带“数量”。另一方面，对称性下降，还有更大几率在布里渊区中一些高对称性点处展现“狄拉克锥 (Dirac cone) ”色散，从而形成高迁移率和弱散射的载流子输运 ( 例如狄拉克半金属 ) 。这样的物理，在诸多半金属体系中经常看到，而这些体系通常具有更显著的平带化 ( 即量子关联 ) 特征。这里再提请读者谅解： Ising 此类言语都是低倍下的广角图像，不能过于较真，因为反例很多。

(2) 拓展开去，维度在这里也会起到重要作用，至少有压制对称性的作用。以 Ising 的理解，维度下降是对称性降低的一种形式。回头去看最开始的拓扑绝缘体能带，就知道只有在样品表面处才出现拓扑非平庸的狄拉克锥，而体内依然是绝缘体。或者，回头去看另一类拓扑量子态外尔半金属，同样是在表面处才出现令人着迷的费米弧，虽然体内是从狄拉克锥分裂出来的一对外尔锥 ( 类正负“磁”单极 ) 。有了这一认知，就能理解为何量子材料人拼命奔向那宛如“通天独木桥” ( 准一维和准二维 ) 一般的低维体系：因为那里是能带经常有非凡展现的世界。

(3) 再拓展开去，就是能标问题。物理人能清晰地触摸到，离子晶格平移周期增大或对称性下降，涉及的能标都较大。晶格对称性破缺，例如破缺后的铁电态所对应的能标，就可达到 eV 甚至更高。显著增大平移对称周期，对电子动能项的压制更是大能标过程。维度从三维到二维 ( 包括二维 vdW 、异质结界面、表面 ) 、一维 ( 包括一维纳米结构、表面处的棱边 edge) 、零维 ( 量子点和表面处的 corner) ，凝聚态中大能标的能量张狂和跋扈都会被狠狠抑制住。从此，量子材料中的大能标物理都退隐江湖，该是那些小能标过程登堂入室的时候了。这一图像，以诸如铁电这样的双势阱物理为例，可示意性表达于图 2 中，细节描述如图题所示。

(4) 在小能标世界里，物理人就可讨论量子态对应的晶格对称性及其破缺了，并伴随量子态参与的、看得见摸得着的物理，如图 2(B) 所示。无可争议的主角之一，就是量子自旋序。除了常见的满足平移对称的自旋长程序外，自旋涡旋、手性等非共线自旋序或诸如自旋波、 RVB 及 Kitaev 等量子态，都被一一邀约上台出演各种角色、阐释诸多物理世界中的故事。这一图景，远远地看，有点类似大城市里那些被遮挡在一排一排周期排列的住宅内之诸多悲欢离合一般。

图 2. 以铁性物质的双势阱图像来表达如何通过降低晶格对称性和压制大能标，去凸显小能标的量子物理。

(A) 上一行表述的是一个实际凝聚态体系，其状态总是可以看成是由经典的大能标双势阱态叠加小能标的量子多势阱态而成。此时，体系的性质，由占主导地位的经典势阱决定，量子态的贡献可以忽略。 (B) 下一行则表达，如果通过显著增大晶格平移周期 ( 如魔角石墨烯 ) 和降低晶格对称性，如从三维立方点阵到准二维 kagome 点阵，去除或压制大能标的双势阱和动能，则剩下的就是能带很平的平带电子结构，从而让小能标的量子态凸显出来 ( 量子关联效应 ) 。这一思路，已经成为探索量子材料新物态的有效路径。 Ising 以为当下热门的魔角物理和 kagome 物理，甚至是 Kitaev 物理，从能标意义上都逃不出这一世界。

现在，物理人终于来到了小能标的量子物理世界，如图 2(B) 最右侧所示。过去数十年，在这个世界里，量子关联物理成为主要研究对象，给量子凝聚态带来了好风光。有了小能标，如果再有各种量子自由度的对称性破缺，则对称破缺导致的新物态就能呈现出来。过去几年， Ising 在这一视角下写过几篇短文，以记录探访这些山川的历程。感兴趣的读者可以御览 《量子材料》 公号中的一些文章。

本文触及小能标量子世界，还有另一个无可争议的主角，即拓扑量子态。本来，拓扑量子态是物理人要挣脱对称性破缺物理的尝试，但后来“不得不承认” (^_^) 对称性也对拓扑量子物理有巨大影响。特别是，如果这些拓扑量子态受到对称性保护的话 ( 即这些对称性对应的能标较大 ) ，则它们就具有超级稳定性。于此，就有了今天看到的、拓扑量子家族中令人眼花缭乱的各个量子态。如 Ising 这般平庸的物理人，已无法赶上那里发展的节奏。哪怕是字面上去理解那些不断涌现的名称大概是何涵义，都只能是走马观花。这是令人沮丧而无可奈何的画面。

拓扑量子领域中，物理人关注的多是费米面附近的物理。在那里，要么是带隙小的绝缘态，要么是无带隙、但穿越费米面之能带数量很少的半金属态。此时，量子自由度的对称性操作能标虽然很小，但也足够对这些能带实施足够大的影响和操控。这一声称，最有名的实例就是磁性拓扑绝缘体态：本来是动量锁定的表面金属态，如果引入时间反演对称破缺的磁性，这一金属表面态即消失殆尽，变成了有能隙的绝缘体，只留下那晚霞沉落时的天边轮廓 (edge) 处：那里可能有被对称性保留下来的自旋锁定金属态。这时，具有时间反演对称破缺的磁性，如果与电荷的能标比较，就是小能标物理。

这一著名效应，应该是对称性破缺介入拓扑量子领域的起点之一。其背后的物理逻辑直观明了，普适性不是问题：拓扑量子态涉及的能带带隙都很小，无论是体态、表面态、 edge 、 corner 等位置处的各种拓扑态，都有可能在某种对称性破缺发生后土崩瓦解，被新一代的高阶拓扑量子态。它们或 gapless 、或 gapped 、或 nodal 或 kiss ，令人心绪激荡、沉郁、夜不能寐、昼不能停。前些时候，很多物理人热衷的 non-symmorphic symmetry  所导致的若干高阶拓扑态，就是一个例子：哪怕是晶格沿某个空间轴“扭”了一小点，其实没有耗费多少能量，老拓扑态就被摧毁、新拓扑图就被重建！

行文到此，对促进拓扑量子态出现的大概模样，似乎可以有一些简洁的描绘词语了： (i) 低维度； (ii) 低离子晶格对称性； (iii) 在此基础上的小能标对称破缺。

恭请注意， Ising 用的这些词语，不是量子材料的严格物理表述，只是自己臆断的说辞。接下来，我们暂且放下大视角望远镜，转而用浅显近视的目光去看一些具体的例子，以为自己和为物理打气壮怀。例如，可以这样一步一步往前走：

(1) 晶格对称性：就晶体而言，对称性从三维的立方、四方、正交、三方、单斜等较高对称性的点阵，到具有显著各向异性的准二维三角、六角、蜂窝及至 kagome 点阵，大致上可视为对称性在依次降低。

(2) 量子关联强度：晶格对称性降低，包括平移周期增大，会压制电子波函数。能带因此变得稀疏、色散变得弱缓，表现为量子关联作用得到增强。如此，能标较小的各种相互作用或等效场就开始起作用，给予更多量子态峥嵘的机会。显然，这里的准二维 kagome 晶格，是其中一种较为极端的情形，给了当下 kagome 物理为何那么受关注的一个理由。

(3) 所谓 kagome 点阵，其离子晶格结构显示于图 3(A) 中，在此基础上的量子自旋晶格显示于图 3(B) 中。如图 3(A) ， kagome 点阵由相互嵌套的三角格子和六方组合而成。整个晶格看起来漂亮和对称，但在任何两个正交方向上要实现平移对称操作，超胞周期会很大、远大于原子间距。由此，电子动能被显著压制是很显然的，也因此可以考虑小能标的量子自由度 ⸺ 自旋了。

图 3. 二维视角下的 kagome 点阵及其 breathing 模式 (breathing kagome lattice 、呼吸点阵 ) 。 (A) 理想的 kagome 晶格，不同颜色的空心点表述晶格不同占位。 (B) kagome 自旋点阵的非共线构型，可以看到局域的 120 ^o 排布组态。 (C) 当晶格不同占位的周围相互作用不同时，可能形成某种低能的 breathing mode ，源于最近邻的两个 Heisenberg 耦合项 J ₁ 、 J’ ₁ 及次近邻耦合 J ₂ 。很显然，由于 breathing mode 存在，点阵中心反演对称发生破缺，几乎可以肯定会导致新量子态 ( 包括拓扑量子态 ) 。 (D) breathing mode  下的自旋结构，与图 (B) 所示的自旋结构很不同。呼吸点阵中，大三角区 (J’ ₁ ) 自旋取全进  (all - in) 形态、小三角区 (|J ₁ | > |J’ ₁ |) 自旋取全出 (all - out) 形态。

(B) https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.78.094423 。 (C) https://arxiv.org/abs/2203.03359 。 (D) https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.102.144441 。

如果考虑理想化的  kagome 点阵中的自旋序，很显然长程共线磁序应只有一种构型，即所有自旋沿面外方向。因为简并度的限制，自旋在面内排列，不可能出现共线磁序，无论是铁磁还是共线反铁磁都不可能形成。图 3(B) 展示了其中一种非共线反铁磁自旋序形态。它启示物理人，此时共线长程序不可有，但非共线自旋导致的局域手性序会出现。与此手性序联系起来的各种局域量子态 ( 自旋波、 CDW 、 Skyrmion 、涡旋 - 反涡旋、磁致电极化 ) 等，都会登场，更不用提与此对应的各种拓扑量子态了。

不过，理想化的  kagome ( 占据所有格点的离子及其周围环境都是等同的 ) 毕竟不多，而畸变的 kagome 体系倒是很多。例如，一个化合物中，主导的过渡金属离子形成 kagome 晶格，但位于晶格不同位置处的离子与其它阴离子的键合能有不同 ( 例如， d 轨道与阴离子的 p 轨道杂化会有不同 ) ，从而形成畸变的 kagome 点阵。最近几年引起关注的所谓 breathing kagome lattice ( 呼吸点阵 ) ，如图 3(C) 所示，即属于此。这种键合环境的不同，引发晶格畸变，打破中心反演对称，导致新的量子态出现。图 3(D) 即显示，由于这种对称破缺，最近邻 Heisenberg 相互作用会退简并，从各向同性的 J ₀ 分裂出 J ₁ 和 J’ ₁ (|J ₁ | > |J’ ₁ |) 。与此对应，自旋结构也发生变化，如图 3(D) 所示。事实上，读者随便 google 或 bing 一下最近几年的文献，即可看到上一段提及的那些量子态，似乎都一一被研究过。

来自北京理工大学的孙家涛老师和中国科学院物理研究所的孟胜老师他们，这些年似乎致力于不同对称保护或操控的新奇拓扑量子态预测研究。他们也关注到 breathing kagome lattice 所被赋予的对称性变化，会对新奇量子态有影响。他们不久前在 《 npj QM 》 上发文，报道了在这一类点阵中预言的 gapped 局域高阶拓扑态，并与呼吸 kagome 晶格的中心反演对称破缺联系起来。特别是，他们找到了若干具体材料，并预言了其中的高阶拓扑态和丰富的衍生现象，包括 corner state ，令人印象深刻。

图 4. 孙家涛和孟胜老师他们的部分计算结果： (A) 单层 Nb ₃ TeCl ₇ 的晶体结构； (B) Edge state  的能谱计算结果； (C) Corner state  的能谱就算结果。

Ising 对呼吸 kagome 点阵物理不熟悉，完全是临时抱佛脚学习了几段，形成了如此初级版的读后感：

(1) 晶格对称破缺导致拓扑量子材料出现新的量子态，并非新鲜课题。已有同行在模型化的 breathing kagome lattice 中预言了高阶拓扑量子态 ( 如 edge 、 corner states)  的存在。不过，看起来似乎还没找到具有此类高阶拓扑态的能稳定存在的材料。这是孙老师他们提出的关键科学问题。

(2) 孙老师他们通过梳理，对解决关键问题所面临的物理困难有清晰认知。首先，具有  kogome 结构的 breathing 材料可能很多，但其中绝大部分层间相互作用不能忽略，如此就不是实现理想 breathing mode 的优选材料。最好的方向，应该是从那些能稳定存在的 2D vdW 体系中寻找。其次，在计算方法上，处理材料中高阶拓扑态背后的物理，其实挑战很大，包括如何表征 kagome 点阵的 breathing mode 、轨道共线和其它晶格位置的离子贡献。特别是，现有方法对处理轨道自由度存在一些困难。再次，从图 3(C) 的 breathing mode 和图 3(D) 所示的自旋结构，物理人似乎很难预期存在显性的手性序，即高阶拓扑结构的表征不那么容易。

当然，孙老师他们于第一性原理计算本身有很深造诣，包括对 Wannier 函数基的计算处理。这一技术，能细致表征电子轨道的贡献，令人印象深刻。

(3) 通过系统探索，他们的确找到了较为理想的 2D 过渡金属 breathing kagome 材料，即 monolayer (ML) M ₃ QX ₇  (M = Nb, Ta; Q = S, Se, Te; X = Cl, Br, I) ，特别是 ML Nb ₃ TeCl ₇  体系。系统的计算，包括三维结构的极性 (bulk polarization, Wannier center) 、棱边谱 (edge spectrum) 、顶角谱 (corner spectrum) 等方面。

(4) 图 4 所示是部分计算结果集成。读者可前往御览原文，以了解详细物理内涵。孙老师他们首先展示出 Nb 离子的 d 轨道形态是一系列顶角态 (corner states) 出现的主要贡献者。其次，他们证明这些顶角态是拓扑非平庸的。他们的数据和讨论，较为完备地预言了单层 Nb ₃ TeCl ₇  中的确存在 breathing mode 诱发的高阶拓扑态。

事实上，前人已有报道显示  Nb ₃ TeCl ₇ 这一  vdW  体系可以稳定存在。通过趋于成熟的各种剥离技术，获得单层 Nb ₃ TeCl ₇  样品看起来并不困难。孙家涛和孟胜老师他们这一工作，为在实际的 breathing kagome 材料中实现高阶拓扑量子态及其可能应用的努力做出了贡献，为实验物理人去探索验证这一预言打下了基础。当下，诸多拓扑量子态的材料载体和应用探索，依然是物理人面临的主要问题。 2D 材料层间弱的相互作用特征和制备技术上的便利，为解决这些问题提供了一些机会。 从这个意义上， breathing kagome 点阵 ( 即“吐故 kogame - breathing ” ) 的确可以给出新的高阶拓扑量子态 ( 即“纳新 novelty - making ” ) 。 这一“吐故纳新”的意象，正是本文标题的来源。

雷打不动的结尾： Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还请前往御览原文。原文链接信息如下：

Orbital degree of freedom induced multiple sets of second-order topological states in two-dimensional breathing Kagome crystals

Hui Zhou, Hang Liu, Hongyan Ji, Xuanyi Li, Sheng Meng & Jia-Tao Sun

npj Quantum Materials 8, Article number: 16 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-023-00548-9

渔家傲 · 风生水起

我驭风生于日子。曾经进击无戈矢

休管棘途千万里。终不弃

斐然水起齐津际

伏老方知高远意。山川起落平常系

瀑练汩流梯度势。躬格致

风生水起成天地

备注：

(1) 笔者 Ising ，任职南京大学物理学院，兼职《 npj Quantum Materials 》编辑。

(2) 小文标题“ Kagome ：吐故纳新 ”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里的“吐”乃 kagome lattice  的  breathing ，而“纳新”则是产生  emergent phenomena ，如这里的  corner / edge  拓扑态及其后果。 Ising 笔下多有渲染之辞，读者御览时应有所保留。

(3) 文底图片来自于北航大学赵新青教授，应是他于颐和园拍摄的作品 (20221127) ，展现了“风高水远”的意象。感谢赵老师！小词 (20230825) 原本乃描述《新华社快看》视频号发表的科普短视频《风生水起》。此视频虽短，但将现象展示得栩栩如生，让人深为震慑。视觉激扬、配乐亦激昂。感怀之下，有铿锵有力的大白话词《渔家傲》，以向孙、孟两位老师致敬。

(4) 封面图显示了单层 Nb ₃ TeCl ₇ 中棱边态的能谱形态。详细描述可见原文。