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DBM建模与分析方法简介

时间：2023-08-27 来源：浏览：

DBM建模与分析方法简介

计算材料学

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以下文章来源于京师物理，作者许爱国

京师物理 .

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作者：许爱国

北京应用物理与计算数学研究所邓稼先创新研究中心；

北京大学应用物理与技术研究中心

摘要：本文简要介绍 DBM建模与分析方法针对的几个基础科学问题、对应解决思路、DBM与传统流体建模和其它动理学方法的联系与区别、DBM与离散/非平衡效应的部分应用。

一

研究背景

由于介质的非均匀性和环境的多样性，冲击与爆轰引发的往往是典型的多尺度非平衡复杂流动。这类系统内部往往含有不同尺度的空间结构和动理学模式。这些中间尺度的结构和模式的存在显著影响系统的物理性能与功能。其中的大尺度、缓变行为一般可以使用 Navier-Stokes （ NS ）方程组很好的描述。但在一些低压稀疏区域流动行为描述、冲击波或爆轰波内部结构描述、快变流动或反应引发的非平衡行为描述等方面， NS 方程组在物理功能方面表现出不足。同时，对于我们所关心的流动行为，微观分子动力学（ Molecular Dynamics, MD ）模拟往往又由于适用的（时空）尺度受限而无能为力。所以，这些 “ 介尺度 ” 行为，由于研究方法的缺乏而认知极其薄弱，这极大影响着 “ 介尺度 ” 行为各种效应的评估、物理功能开发和相应调控技术的发展。 “ 介尺度 ” 行为的建模与机理分析是当前 “ 介科学 ” 研究的核心内容 [1] 。

二

问题与挑战

流体系统的非连续性（离散性）与热力学非平衡程度密切相关。 Knudsen 数（ Kn ），一方面，可视为重新标度的平均分子间距，描述系统的离散度（非连续性）；另一方面，又可视为重新标度的热力学弛豫时间，描述系统的热力学非平衡程度。非平衡流、非连续流（离散流）概念，在物理内涵上有诸多交叠。非平衡复杂流动研究，已取得巨大进展，但仍然面临一些基础科学问题带来的挑战，例如：

跨尺度建模与模拟，作为研究热点大概已有 15-20 年的时间了；在这期间，也经历了人们热情的起起落落。在过去的 15-20 年时间里，（力学与工程界从大往小这一方向的）跨尺度建模与模拟的主要思路是：修正基于（准）连续、（近）平衡图像的流体 / 固体力学方程组。即，把握系统状态和行为所使用的，还是传统流体 / 固体力学方程组中那几个物理量。于是，一个很自然的基础科学问题就是：随着离散 / 非平衡程度提升，只关注连续模型（例如 NS ）中那几个物理变量，真的没有问题吗？
“ 横看成岭侧成峰，远近高低各不同 ” 是复杂结构和复杂行为的典型特征。 “ 如何提取出更多有价值的信息？ + 如何分析？ ” 决定着我们的研究能力与研究深度。其中，技术关键是：面对复杂度逐渐提升的系统，如何实现复杂系统状态和行为描述的直观几何对应 ?
湍流研究，因其重要性而成为 “ 不衰 ” 的研究热点。湍流混合，是流体不稳定性研究中的重要内容。我们可以想到，随着关注的涡等结构越来越小，相对于我们关注的结构或行为的尺度而言，平均分子间距越来越不再是一个可以忽略的小量，即离散性会越来越强，离散效应会越来越显著。然而，早期的湍流概念和理论体系是建立在连续介质理论的基础之上的。所以，第三个基础科学问题是：基于宏观连续图像进行数学推演的湍流概念和追求物理本源的湍流概念，完全一致吗？
小系统传热传质出现一些貌似 “ 异常 ” （跟宏观连续情形不同）的行为，在统计物理、非线性科学领域已引发较多关注与研究。只是目前统计物理学、非线性科学文献中广泛研究的小系统，相对于力学工程界关心的介尺度非平衡情形，往往又实在是太小了。我们面对的状况是：工程应用采用的 ( 多 ) 是宏观连续建模，但也发现一些不满意甚至是无法解决的问题。我们面临的问题是：介尺度建模如何与宏观连续建模 “ 无缝对接 ” ？
在过去的这些年，跨尺度建模与模拟的主要思路是还原论。还原论思路自然是带来了很大的帮助，带来了很多的物理认知；沿着还原论思路，我们的研究取得了巨大的进展。但复杂系统的一个典型特点正是：随着复杂度的提升，系统会涌现 / 突现 / 演生出新的行为特征，这些特征不能通过任何构成或共存规律从更简单或最简单情形中推导出来。（涌现，即整体大于部分之和，是复杂性科学的核心主题。）于是， DBM 需要面对的第五个基础科学问题是：跨尺度建模与模拟，只靠还原论思路真的就足够了吗？
第六个基础科学问题，涉及到非平衡流动描述 / 认知的最基本参量 --- 非平衡强度。鉴于非平衡行为的复杂性，任何非平衡强度的定义都依赖于研究视角。也就是说，可能存在如下情形：非平衡强度，从某一视角看在提升；而从另一视角看，却在降低。复杂流动的非平衡强度，究竟该如何描述？

三

思路与方案

物理建模（ 1 ）、算法设计（ 2 ）、数值实验与复杂物理场分析（ 3 ），是复杂流动模拟研究的三大环节（如图 1 所示）。算法设计（ 2 ）这一环节的专业研究，需要计算数学家。作为离散格式的用户，物理力学课题组关注的重心一般在（ 1 ）和（ 3 ）这两端。我们的任务是：（ 1 ）针对要研究的问题，保证物理模型（理论模型）的合理性，兼顾简洁性；（ 2 ）针对海量数据和复杂物理场，设法提取更多的、有价值的物理信息。

图 1 ：复杂流动数值模拟研究的三大环节

DBM 概述

统计物理学是联系微观与宏观的桥梁，其中的动理学理论是联系流体系统微观描述与宏观描述的桥梁。从准连续近平衡情形出发，随着离散程度 / 非平衡程度的提升，基于准连续近平衡假设 / 图像的传统流体建模受到挑战，借助动理学理论（与平均场理论的有机结合）继续前行，是目前的主要思路。粗粒化建模是非平衡统计物理学根据研究需求抓主要矛盾的基本手段；玻尔兹曼方程相关描述是动理学理论中相对成熟的部分；流体动理学描述中的 “ 跨尺度 ” 指的一般是跨 Knudsen 数。

离散玻尔兹曼方法 (Discrete Boltzmann Method, DBM) ，就是针对上述几个基础科学问题，基于离散玻尔兹曼方程

$egin{equation}frac{partial f_i}{partial t}+mathrm{mathbf{v}}_icdotfrac{partial f_i}{partial mathrm{mathbf{x}}}+ ext{(外力项)}_i= ext{(碰撞项)}_i ag{1}end{equation}$

外力项

碰撞项

(左右滑动查看完整公式)

发展的（粗粒化） 物理模型构建方法和复杂物理场分析方法 。其中分布函数 $f$

的下标 “ $i$

” 是离散速度的编号，对应离散速度 $mathrm{mathbf{v}}_i$

。显然，离散速度的选取规则是 DBM 建模方面的技术关键。图 2 给出几种常见离散速度取法的示意图。

图 2 ：几种离散速度取法的示意图

在物理模型构建方面， DBM 包含两步粗粒化物理建模：玻尔兹曼方程的修正与简化和粒子速度空间的离散化。 粗粒化物理建模需要遵循的基本原则是：需要研究的系统行为，不能因为模型的简化而改变。在动理学理论中，除了分布函数自身，系统性质用分布函数的动理学矩来描述。所以，在碰撞项简化前后和粒子速度空间离散化前后，控制方程给出的与所需研究的动理学性质对应的动理学矩，其结果必须相同。在碰撞项简化之后， DBM 给出离散速度选取所需满足的最必要物理约束：系统行为描述涉及到的动理学矩

int f^{mathrm{(0)}}mathrm{mathbf{Psi}} ( mathrm{mathbf{v}})dmathrm{mathbf{v}}

$egin{equation}int f^{mathrm{(0)}}mathrm{mathbf{Psi}} ( mathrm{mathbf{v}})dmathrm{mathbf{v}}=sum_i f_i^{mathrm{(0)}}mathrm{mathbf{Psi}} ( mathrm{mathbf{v}}_i) ag{2}end{equation}$

但不拘泥于具体离散格式；其中 $f^{(0)}=f^{mathrm{eq}}$

，表示对应的平衡态分布函数。

需要指出的是，（一）复杂流动的很多行为超出了原始玻尔兹曼方程的描述能力； DBM 中的玻尔兹曼方程，实际上是根据具体情形结合平均场理论修正后的玻尔兹曼方程，其适用范围可能在某些方面大于原始的玻尔兹曼方程，如图 3 所示 [2-3] 。所以， DBM 实际上是动理学理论与平均场理论相结合的粗粒化建模与分析方法。（二）在处理玻尔兹曼方程的外力项时，为了避开对离散速度

mathrm{mathbf{v}}_i

图 3 ：原始玻尔兹曼方程与动理学方法中的玻尔兹曼方程

在复杂物理场分析方法方面， DBM 是统计物理学粗粒化描述方法、非平衡行为描述方法、相空间描述方法在离散玻尔兹曼方程框架下的具体应用和进一步发展。从历史角度， DBM ，由格子玻尔兹曼方法（ Lattice Boltzmann Method, LBM ）中物理建模一支（有所舍弃，有所添加）发展而来。保留离散速度的使用，不再拘泥于具体离散格式，只给出对离散格式的最必要物理约束；不再基于传统流体建模的连续性假设和近平衡近似，不再使用标准 LBM 的 “ 格子气 ” 图像，增添基于相空间的非平衡状态与效应的检测、呈现、描述与分析方案，随着时间引入更多的信息提取技术和复杂物理场分析技术：如图 4 所示，从

(f-f^{(0)})

$egin{equation}egin{aligned} mathrm{mathbf{Delta}}_n^*=&mathrm{mathbf{M}}_n^*left(f-f^{(0)}ight) =&int dmathrm{mathbf{v}}left(f-f^{(0)}ight)underbrace{( mathrm{mathbf{v}}-mathrm{mathbf{u}})(mathrm{mathbf{v}}-mathrm{mathbf{u}})cdots(mathrm{mathbf{v}}-mathrm{mathbf{u}})}_{n ext{-th order tensor}} =&sum_i left(f_i-f_i^{(0)}ight)underbrace{( mathrm{mathbf{v}}_i-mathrm{mathbf{u}})(mathrm{mathbf{v}}_i-mathrm{mathbf{u}})cdots(mathrm{mathbf{v}}_i-mathrm{mathbf{u}})}_{n ext{-th order tensor}} end{aligned} ag{3}end{equation}$

的相空间描述到任一组行为特征

$egin{equation}mathrm{mathbf{X}}={X_1,X_2,X_3,cdots} ag{4}end{equation}$

的相空间描述。公式 (3) 中， $mathrm{mathbf{u}}$

是局域流速。在相空间或其子空间中，我们均可以借助状态点到坐标原点的距离来定义相应视角的非平衡强度（或相应行为特征的强度），例如图4中的 $D$

；借助两点间距离的概念来描述两个非平衡状态的区别（或者相应行为特征的区别），例如图4中的 $d$

，等等。因而， DBM 其更完整的叫法是离散玻尔兹曼建模与分析方法 (Discrete Boltzmann modeling and analysis Method)[2-5] 。使用 $(f-f^{(0)})$

的非守恒动理学矩来检测和描述系统偏离热力学平衡态的具体方式和由此引发的各种效应是 DBM 在复杂物理场分析方面的技术关键。

图 4 ：从 $(f-f^{(0)})$

非守恒矩的相空间描述 (a) 到任一组行为特征的相空间描述 (b)

实际系统的行为，往往是复杂的。粗粒化建模，是一个 “ 丢信息 ” 的过程，但这个 “ 丢信息 ” 是有底线的。其底线是：需要研究的性质，不能因为模型的简化而改变。 DBM ，根据问题研究需求，选取一个视角，研究系统的一组动理学性质，要求描述这组性质的动理学矩在模型简化过程中保值。随着离散程度、非平衡程度提升，系统行为复杂度急剧上升，更多高阶动理学矩进入描述是把控能力不下降这一要求的必然结果，所以使用更多的物理量来描述系统状态和行为，是 DBM 区别于传统流体建模和目前其它动理学方法的典型特征。从动理学宏观建模视角，这是获得更准确本构关系的要求；从动理学理论视角，这是获得更准确分布函数的要求。视角不同，殊途同归。

DBM 的出发点是： “ 介尺度 ” 范围中靠近宏观的一侧。由于发展的阶段性，目前 DBM 考虑的主要情形尚属于 Chapman-Enskog 多尺度分析理论有效的情形。因而 Chapman-Enskog 多尺度分析理论就是 DBM 思路合理有效的数学保证 [2] 。

离散速度选取规则

对玻尔兹曼方程两侧同时求密度矩、动量矩和能量矩，就会获得一个跟 NS 形式一致的流体动力学方程组，我们权且称之为广义的 NS 。这个广义的 NS ，其优点在于没有做近似，其应力

$egin{equation} mathrm{mathbf{Delta}}_2^*=mathrm{mathbf{M}}_2^*left(f-f^{(0)}ight)=mathrm{mathbf{M}}_2^*left(f^{(1)}{color{red}{+f^{(2)}+f^{(3)}}+cdots}ight) ag{5}end{equation}$

和热流

$egin{equation} mathrm{mathbf{Delta}}_{3,1}^*=mathrm{mathbf{M}}_{3,1}^*left(f-f^{(0)}ight)=mathrm{mathbf{M}}_{3,1}^*left(f^{(1)}{color{red}{+f^{(2)}+f^{(3)}}+cdots}ight) ag{6}end{equation}$

中包含了所有各阶非平衡分布函数 $f^{(j)}$

的贡献。其中， $j=1,2,3,cdots$

，对应离散 / 非平衡的阶数即 Kn 数的幂次；下标 “3,1” 的含义是 3 阶张量经过 1 次点乘，缩并成 1 阶张量即矢量；下面其余类似下标的含义，依次类推。其缺点是应力和热流的具体表达式写不出来，所以尚没有办法直接使用。为了克服本构关系写不出来这一问题， Chapman 和 Enskog 发展了后来人们以他们名字命名的 Chapman-Enskog 多尺度分析方法。 Chapman-Enskog 多尺度分析，实际上是一种广义的泰勒展开和分析方法：这里的自变量是 Kn 数；不仅分布函数，而且时间导数和空间导数，均在 Kn=0 点（即连续、热力学平衡处）做泰勒展开。 Chapman-Enskog 多尺度分析的更多物理图像解释可参见文献 [2] 。 Chapman-Enskog 多尺度分析告诉我们：

玻尔兹曼方程在准连续和近平衡情形下对应的流体动力学方程组，就是 NS ；只考虑 1 阶非平衡 $f^{(1)}$
在分布函数的所有动理学矩中，进入 NS 描述的是三个守恒矩（密度 $ho$
能够恢复对应层次的宏观流体力学方程组（例如 NS 、 Burnett 方程组）只是 DBM 的部分物理功能；与 DBM 物理功能对应的是扩展的流体动力学方程组（ Extended Hydrodynamic Equations, EHE ），即方程组中除了与质量、动量、能量三大守恒定律对应的守恒矩演化方程之外，还包括部分最密切相关的非守恒矩演化方程。我们把基于动理学方程推导 EHE 的建模方法称为动理学宏观建模（ Kinetic Macro Modeling, KMM ）。其中扩展的部分（即相关非守恒矩的演化方程），随着离散 / 非平衡程度的提升，其必要性迅速提升。
随着离散 / 非平衡程度（用 Kn 数表征）提升，相对于 KMM 模拟（即推导和求解 EHE ）， DBM 模拟的复杂度上升相对缓慢，因而可以走得更远。如果需要考虑的 Kn 数的阶数增加 1 ，则 DBM 中需要保值的动理学矩的个数增加 2 ；而 KMM 推导 EHE 的复杂度急剧上升，且在多介质情形，因为存在不同介质各自的流速和平均流速，而温度的定义依赖于流速，所以 EHE 的形式并不唯一，这些形式不同的 EHE 对应多介质复杂流动动理学不同视角的描述。可见，在多介质情形， DBM 与物理功能等价的 EHE 的对应关系是一对多。

DBM 模拟，不需要知道物理功能对等的极其复杂的 EHE 的具体形式，但是我们可以借用 KMM 的思路和物理图像，（无需严格推导方程，只需查看其中动理学矩的阶数，）把更准确应力和热流计算所涉及到的

f^{(0)}

非平衡行为描述

非平衡强度，是非平衡流描述和认知的最基本参量之一。除了常用的 Knudsen 数、（密度、流速、温度、压强等）宏观物理量的空间梯度、时间变化率等之外， DBM 使用基于

(f-f^{(0)})

任何非平衡强度的定义都依赖于研究视角。非平衡强度，从某一视角看在提升；而从另一视角看，却可能在降低。这正是非平衡行为复杂性的具体体现之一。只研究一个视角的非平衡强度与效应，获得的认识往往是片面甚至是错误的。（错误是指：误以为所获结论不依赖于研究视角，是普适的。）鉴于此， DBM 基于

(f-f^{(0)})

$egin{equation} mathrm{mathbf{S}}=left{D,D_2, ablaho, abla T, au,mathrm{Kn},cdotsight} ag{7}end{equation}$

其中

$egin{equation} D_2=sqrt{mathrm{Delta}_{2,xx}^{*2}+mathrm{Delta}_{2,xy}^{*2}+mathrm{Delta}_{2,yy}^{*2}} ag{8}end{equation}$

是 $(f-f^{(0)})$

非守恒矩相空间子空间中的距离，是 $mathrm{mathbf{Delta}}_2^*$

视角贡献的一个非平衡强度； $T$

是局域温度； $au$

是系统的热力学弛豫时间。

正如相空间描述不要求其坐标轴等量纲，非平衡强度矢量也不要求其各分量等量纲。不同视角的非平衡强度，作为一组行为特征，也可以借助相空间方法进行描述，为复杂流动不同视角的非平衡强度提供一个直观的几何对应。当然，作为一种粗粒化建模和描述方法， DBM 包括非平衡强度在内的行为特征描述，其物理精度均需要根据具体研究需求而调整 [2] 。

几点说明

在 1996 年第 2 届美国 - 日本双边学术研讨会上，已故著名学者田长霖先生曾对 LBM 有过如下评述： “ 尽管许多物理现象和工程问题是在宏观或 ‘ 人 ’ 的尺度上体现出来的，但其根源仍然始于分子尺度。建立跨越多个时空尺度的物理模型有一定困难， LBM 试图为此提供有效的手段。 ” （原文为 “Many physical phenomena and engineering problems may have their origins at molecular scales, although they need to interface with the macroscopic or ‘human scales’. The difficulty arises in bridging the results of these models across the span of length and time scales. The lattice Boltzmann method attempts to bridge this gap.” ）详见参考文献 [6] 。很多人对 LBM 的了解，都直接或间接地受到了这个或类似评述的影响。

实际上，从其前身格子气（元胞自动机）方法开始，文献中的 LBM 就有两类：粗粒化物理模型构建方法和某些控制方程的数值求解方法。后者，在现有文献中占了绝大多数，以至于 LBM 几乎成了后者的简称或代名词 [2] 。然而，当年田长霖先生在上述评述中所提到的 LBM 显然是跨尺度物理模型构建方法，是前者。粗粒化物理建模是非平衡统计物理学根据研究需求抓主要矛盾的基本手段，跨尺度（这里指跨 Kn 数）是从玻尔兹曼方程描述继承来的物理功能。这两类不同的 LBM ，工作在互补的维度上，目标不同，构建规则不同，各自合理。

在不引发歧义的情形下， DBM 经常分别作为 Discrete Boltzmann Method, Discrete Boltzmann Modeling, Discrete Boltzmann Model 的简称。如前所述， Discrete Boltzmann Method 的更完整叫法是 Discrete Boltzmann modeling and analysis Method 。当与其它方法作比较时， DBM 的身份为 “ 物理模型构建方法 + 复杂物理场分析方法 ” ，或者说是自带复杂物理场分析功能的物理模型构建方法；当与其它物理模型作比较时， DBM 的身份是自带复杂物理场分析功能的物理模型。因为目前通常所说的物理模型，并不提供针对模拟数据的复杂物理场分析功能，所以提到 “ 离散玻尔兹曼模型或建模 ” 的叫法时，人们通常意识不到它还同时具有复杂物理场功能，这是我们课题组在某些场合不得不称之为 “ 物理模型构建和复杂物理场分析方法 ” 的原因。

DBM 的物理模型构建部分，包括确定具体的控制方程和给出离散速度选取所需遵循的最必要物理约束 。正如 NS 模拟，在 DBM 模拟中，空间导数、时间积分和粒子速度的具体离散格式，需要根据具体工况和流态而合理选择。

根据方程 (3) ，从量纲视角和物理图像上，非平衡特征量

mathrm{mathbf{Delta}}_{n+1}^*

由于传统流体力学理论基于 NS ，大家对 NS 最熟悉，与 NS 做比较是认识和理解新模型的重要途经，所以有必要将 DBM 与 NS 的联系与区别再次梳理： NS 只是物理模型，其自身不带针对数据的复杂物理场分析功能，且只考虑了一阶（ Kn 数视角的）离散 / 非平衡效应，只适用于准连续和近平衡情形；在数值模拟研究方面， NS“ 只负责模拟前，不负责模拟后 ” 。除了等效于相应层次 EHE 的描述功能， DBM 同时还提供一套针对数据的复杂物理场分析方法；在数值模拟研究方面， DBM“ 不仅负责模拟前，而且负责模拟后 ” 。

图 5 ：几种不同尺度的物理建模适用范围示意图

DBM ，在适用范围和物理功能两方面均超越传统流体建模，重点关注宏观连续模型物理功能不足、而微观分子动力学模拟又由于适用尺度受限而无能为力的 “ 介尺度 ” 两难情形，如图 5 所示。其中， RANS 是 Reynolds Average Navier-Stokes （雷诺平均 NS ）的简称，是在 NS 基础上更进一步的粗粒化物理建模，描述的是 NS 范围内较大尺度的行为。图中 “

NS-RANS

介尺度行为研究，更大的挑战在离散 / 非平衡程度更高情形的建模、模拟和分析。那些最密切相关非守恒矩的必要性，随着离散 / 非平衡程度的提升而提升。虽然目标是离散 / 非平衡程度更高的情形，但是几乎每个人又都不得不从准连续、近平衡情形走过，因为需要认知基础和技术基础。这正是 “ 介尺度 ” 行为研究这一领域入门 “ 慢 ” 、进展 “ 慢 ” 的原因。

四

应用举例

由于传统流体力学主要关注（准）连续（近）平衡情形，所以随着离散 / 非平衡程度提升，相应离散 / 非平衡效应的研究非常薄弱。但可以想到，这些以前知之甚少的离散 / 非平衡效应，必定蕴含着大量的待开发的物理功能。

熵产生率是武器物理、惯性约束聚变、航空发动机、爆炸毁伤效应等领域重点关注的物理参量。在武器物理和惯性约束聚变中，熵产生率高，往往意味着由于温度提升而导致的靶材料内部压强提升快，导致靶材料不易被压实，从而影响核爆条件能否得到满足。在航空发动机等设备中，熵产生率高，往往意味着耗散大，从而系统对外做机械功的能力低。在爆炸毁伤效应研究中，人们曾尝试过使用不同的物理量来表征爆炸毁伤效应；最后发现，熵增率提供一个比较科学的描述方法。通过 DBM ，可以方便地研究复杂流动过程中引起熵增的主要机制及其相对重要性 [7-8] 。

DBM 所提供的热力学非平衡 (Thermodynamic Non-Equilibrium ， TNE) 行为特征除了可用于目标区域真实分布函数主要特征的恢复 [9-10] ， TNE 行为还可用于不同界面的物理甄别和界面追踪技术设计 [11-12] 。在相分离动理学研究中， TNE 强度

D

五

小结与展望

相对于宏观行为， “ 介尺度 ” 行为的典型特征是：离散效应显著、热力学非平衡效应显著； “ 介尺度 ” 行为描述，需要更多的物理量。 DBM 的 “ 介尺度 ” 特性包括：（ 1 ）在尺度方面：介于微观与宏观之间，联系微观与宏观；（ 2 ）在功能方面：在离散 / 非平衡效应描述深度与广度两个方面超越 NS ，但弱于 MD 。 DBM 针对的基础科学问题和对应的解决思路可用图 6 进行归纳总结。

图 6 ： DBM 针对的基础科学问题与对应解决方案

“ 介尺度 ” 行为，催生新技术； “ 介尺度 ” 行为研究，取得可喜进展，但仍任重道远！可喜的是，非平衡流动实验研究正在引起越来越多的关注。由于非平衡流动诸多效应的实验测量均受到诸多技术制约，所以实验研究自然进展相对缓慢。这正是，在非平衡流动研究方面，数值模拟研究远远超前于实验研究的原因，也正是数值模拟研究应该先行的原因。相关离散 / 非平衡效应的实际应用，有望在数值实验研究中首先获得实现。

致谢： 宋家辉等帮助绘制了部分图片和校对了全文，涂展春教授就表述方式提出很多中肯的意见和建议，李静海院士和王利民教授给与很多富有启发性的点评。特此致谢！

参考文献

[1] Jinghai Li, Wei Ge, Wei Wang, Ning Yang, Xinhua Liu, Limin Wang, Xianfeng He, Xiaowei Wang, Junwu Wang, Mooson Kwauk. From multiscale modeling to meso-science: A chemical engineering perspective [M]. Berlin: Springer-Verlag, 2013.

[2] 许爱国，张玉东 . 复杂介质动理学 [M]. 北京：科学出版社， 2022.

[3] Yanbiao Gan, Aiguo Xu, Huilin Lai, Wei Li, Guanglan Sun, S. Succi. Discrete Boltzmann multi-scale modelling of non-equilibrium multiphase flows[J]. Journal of Fluid Mechanics 951, A8 (2022).

[4] Yudong Zhang, Aiguo Xu, Feng Chen, Chuandong Lin, Zung-Hang Wei. Non-equilibrium characteristics of mass and heat transfers in the slip flow[J]. AIP Advances 12, 035347 (2022).

[5] Dejia Zhang, Aiguo Xu, Yudong Zhang, Yanbiao Gan, Yingjun Li. Discrete Boltzmann modeling of high-speed compressible flows with various depths of non-equilibrium[J]. Physics of Fluids 34, 086104 (2022).

[6] Chang-Lin Tien, Arunava Majumdar, Van P. Carey, Kunio Hijikata, Takayoshi Inoue. MOLECULAR AND MICROSCALE TRANSPORT PHENOMENA: A Report on the 2nd U.S. Japan Joint Seminar, Santa Barbara, California, 7-10 August, 1996, Microscale Thermophysical Engineering, 1:1, 71-84 (1997), DOI: 10.1080/108939597200458.

[7] Yudong Zhang, Aiguo Xu, Guangcai Zhang, Chengmin Zhu, Chuandong Lin. Kinetic modeling of detonation and effects of negative temperature coefficient[J]. Combustion and Flame 173, 483(2016).

[8] Jiahui Song ， Aiguo Xu, Long Miao, Feng Chen, Zhipeng Liu, Lifeng Wang, Ningfei Wang , Xiao Hou . Plasma kinetics: Discrete Boltzmann modelling and Richtmyer-Meshkov instability[J]. arXiv:2303.12356.

[9] Chuandong Lin, Aiguo Xu, Guangcai Zhang, Yingjun Li, and Sauro Succi. Polar-coordinate lattice Boltzmann modeling of compressible flows[J]. Physical Review E 89, 013307 (2014).

[10] Yu-Dong Zhang, Ai-Guo Xu, Guang-Cai Zhang, Zhi-Hua Chen, Pei Wang. Discrete ellipsoidal statistical BGK model and Burnett equations[J]. Frontiers of Physics 13(3), 135101 (2018)

[11] Huilin Lai, Aiguo Xu, Guangcai Zhang, Yanbiao Gan, Yangjun Ying, and Sauro Succi. Nonequilibrium thermohydrodynamic effects on the Rayleigh-Taylor instability in compressible flows[J]. Physical Review E 94, 023106 (2016).

[12] Zhipeng Liu, Jiahui Song, Aiguo Xu, Yudong Zhang and Kan Xie. Discrete Boltzmann modeling of plasma shock wave[J]. Proc IMechE Part C: J Mechanical Engineering Science 237, 2532 (2023).

[13] Yanbiao Gan, Aiguo Xu, Guangcai Zhang and Sauro Succi. Discrete Boltzmann modeling of multiphase flows: hydrodynamic and thermodynamic non-equilibrium effects[J]. Soft Matter 11, 5336 (2015).

[14] Yudong Zhang, Aiguo Xu, Guangcai Zhang, Yanbiao Gan, Zhihua Chen and Sauro Succi. Entropy production in thermal phase separation: a kinetic-theory approach[J]. Soft Matter 15, 2245 (2019).

[15] Yudong Zhang, Aiguo Xu, Guangcai Zhang, Zhihua Chen, Pei Wang. Discrete Boltzmann method for non-equilibrium flows: Based on Shakhov model[J]. Computer Physics Communications 238, 50 (2019).

[16] Feng Chen, Aiguo Xu, Yudong Zhang, and Qingkai Zeng. Morphological and non-equilibrium analysis of coupled Rayleigh–Taylor–Kelvin–Helmholtz instability[J]. Phys. Fluids 32, 104111 (2020).

[17] Yu-Dong Zhang, Ai-Guo Xu, Jing-Jiang Qiu, Hong-Tao Wei, Zung-Hang Wei. Kinetic modeling of multiphase flow based on simplified Enskog equation[J]. Frontiers of Physcs 15, 62503 (2020).

[18] Guanglan Sun, Yanbiao Gan, Aiguo Xu, Yudong Zhang, and Qingfan Shi. Thermodynamic nonequilibrium effects in bubble coalescence: A discrete Boltzmann study[J]. Physical Review E 106, 035101 (2022).

[19] Jie Chen, Aiguo Xu, Dawei Chen,Yudong Zhang, and Zhihua Chen. Discrete Boltzmann modeling of Rayleigh-Taylor instability: Effects of interfacial tension, viscosity, and heat conductivity[J]. Physical Review E 106, 015102 (2022).

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