如何在两个黑洞间建造热机：从2023年CPHO决赛题说起

自黑洞提出以来，人类就从未停止过对宇宙中这一神秘天体的搜寻。随着多信使天文观测手段的进步，我们已经找到了相当数量的天文尺度的黑洞并可以从多种角度对其进行观测。 2016 年末， LIGO 合作组公布探测到两个黑洞合并的引力波信号 [1,2] ； 2019 年 4 月 10 日，通过事件视界望远镜拍摄的 M87 星系中心的超大质量黑洞的第一张真实照片公布 [3] ，如图 1 所示。黑洞如同一颗孕育在深邃宇宙中的珍珠，躺在图中吸积盘（橘色部分）所包围的黑色区域内。近年来的这些探索，标志着人们对黑洞的研究不再只是纸上谈兵，而是已经具备了一定的实验观测基础。

图 1. 事件视界望远镜 (ETH) 所拍摄的 M87 星系中心的黑洞照片。这一黑洞距地球 5500 万光年，质量约为太阳的 65 亿倍。图中的橙色亮环部分是黑洞的吸积盘，吸积盘围城的黑色区域是黑洞的视界面的影子。图片来源于文献 [3]

其中， 

  ， 

  ， 

  分别是高温黑洞、低温黑洞以及做功物质的熵变化。进一步考虑经历若干完整循环后，做功物质能回到初始状态，则 

  。在此前提下，利用黑洞的面积熵（ 1 ），（ 4 ）式化为

  是黑洞在所考虑阶段结尾时刻 

  的质量。进一步，我们需要考虑该循环发展的趋势。与我们前面分析的两个黑洞直接接触的情况相似，随着热机从高温黑洞提取能量释放到低温黑洞并对外做功，两个黑洞的温差持续增大。又因为高温黑洞作为热源自己具有有限的内能与热容，最终其会随着热机运行能量趋于 0 ，即热源消失。 此时，我们的热机将只与一个低温黑洞接触，无法再从单一热源提取能量，最终停止工作 。因此，在热机停止工作时，我们有 

  ，代入（ 5 ）式，可以得到冷源大黑洞的末态质量为

根据能量守恒，容易得到热机整个过程从高温黑洞的总吸热为

热机向低温热源的放热为

结合上面的结果，可以得到该黑洞间热机的最大输出功为

这一结果在文献 [13] 中首次得到，在文献 [14] 中，笔者将该模型作为演示具有负热容的有限热源间热机性能的例子，得到热机的最大功效率为

其中

这似乎与任何热机效率都不能超过卡诺效率这一热力学第二定律的等价表述违背。事实上，由于黑洞是有限热源，且具有负热容，其温度差会随着热机的运行增大，因此在任意时刻黑洞温度所定义的 “ 瞬时卡诺效率 ” 都比初始效率更大。这会导致最大功效率，作为整个过程效率的平均值，大于初始效率。这并不违背热力学第二定律，因为整个过程的熵没有减小，依然满足可逆循环对应的熵变化为 0 ，即（ 5 ）式的要求。 换句话说，在热源热容为负有限值时，初始温度所定义的卡诺效率不能视为热源间热机工作的效率上限 。另外，当初始卡诺效率趋于 0 时，这对应两个黑洞热源等初始质量（温度）的情况。如我们前面所述，由于黑洞的非稳定热力学状态，黑洞内能的热涨落或者视界附近量子涨落导致的霍金辐射会使得热机在与黑洞接触时导致黑洞出现温差，而使得热机持续运行。这种情况下还会得到一个有趣的结果，最大功效率趋于一常数，

这刚好是两个等质量史瓦西黑洞融合过程最大放能率的两倍 [15] ，暗示着黑洞参与不同热力学过程的一些内在关联。

根据黑洞辐射过程能量演化规律 

  ，直接得到黑洞辐射完的时间为

在此前的一项工作中 [18] ，笔者与合作者用基于正则典型性的量子统计方法得到了相同的非热谱。与隧穿方法不同的是，我们的结果不依赖于黑洞辐射的动力学，这也暗示黑洞辐射的非热效应实则是有限系统统计所给出的必然结果。这一非热谱意味着黑洞的辐射间存在关联。 Parikh 和 Wilczek 在他们的文章中指出，这一关联的存在可能是解决黑洞信息悖论的一个途径。 2009 年， Zhang 等人 [19] 从信息论的角度，用互信息度量了 Parikh-Wilczek 谱的关联。他们发现，当黑洞辐射完后，粒子间所有关联的和正好与初始黑洞的熵（信息）相等。这说明考虑关联后，黑洞的信息不会随着黑洞的辐射而丢失。这给通过修正辐射谱来解决黑洞信息丢失悖论的途径画上了一个圆满的句号。在后续的研究中 [20] ，我们还进一步研究了暗能量存在过程中黑洞的信息关联和辐射过程，我们发现一个有意思的现象：同样质量的黑洞在暗能量存在的时空中可以辐射更长的时间。最终，暗能量体现出让黑洞寿命增加的效果：较（ 14 ）式给出的寿命更长。总的来看，暗能量像是一个冰箱，让黑洞变得更 “ 冷 ” ，进而使其得以 “ 保鲜 ” ，延年益寿。同时，黑洞非正则辐射携带的关联信息也会增加，暗能量会导致黑洞辐射具有 “ 暗 ” 的信息。对这项研究感兴趣的读者可以阅读 科普文章 。

上述黑洞非正则辐射本质上是黑洞有限性带来的。在经典热力学的研究中，热源大部分情况下均被视为无限大的系统，即与其供给热能的热机的做功物质相比，热源具有无限的自由度和无限的热容。对于这些工作在无限大热源间的热机而言，可以从热源中源源不断的提取热量。然而，如同时间一样，热源的能量实际上也是一种有限的资源，因此考虑工作在有限热源间能源过程的基本约束和优化问题，如热机的性能优化或者信息处理的最低能耗，是一个富有挑战且具有重要实际意义的方向。将热源有限性融入热力学考虑的主要困难在于，需要考虑能源过程本身对热源状态的影响，这使得系统与热源的能量交换成为一个反馈过程。在近年的研究中，一些学者已经意识到这一问题并开展了先驱性研究 [21-24] ，笔者和合作者近期也在这一方向做了一些探索 [14,25] 。在热力学教学方面，引入有限热源也是一个新颖的途径，笔者在最近的一项教学研究中 [26] 设计了与有限热源接触的理想气体热力学过程，发现其可以实现任意多方指数的多方过程。这一模型能帮助学生进一步理解多方过程及其可能的实际实现方式，也能让学生注意到有限系统中的有趣热力学现象，对此问题感兴趣的读者可以参考笔者近期的另一篇 科普文章 。