基于诱生物质想法的五维Dirac方程

第33卷第4期郑州大学学报(自然科学版)Vol 33 No 42001年12月JOURNAL OF ZHENGZHOU UNIVERSITYDee.2001基于诱生物质想法的五维 Dirac方程马光文,郭宗宽,马红彩(郑州大学物理工程学院郑州450052)摘要:根据 Wesson-Liu诱生物质的想法,典型粒子的静质量可通过 Kaluza- Klein型理论约化到四维空时而获得.通过引入附加维的动量算符并把它认同于静质量本征值算符而将 Dirac方程推广到五维共形不变形式.当约化到四维空时时得到类似通常形式的 Dirac方程,粒子静质量对弯曲空时是随空时坐标变化的.具体求解了五维宇宙学问题,并考察了所得的封闭宇宙模型和静态球对称引力场所得结果的合理性关键词:诱生物质理论; Kaluza- Klein理论;空-时-质理论; Dirac方程中图分类号:O412.1文章编号:1001-8212(2001)04-0040—06在 Kaluza- Klein型理论的现代发展中,有一类有趣的理论即 Wesson十几年前提出的五维空一时质理论门.该理论把附加的维度即第五维与典型粒子的静质量联系起来,从而把质量纳入几何体系.它的一个显著特点是,一般地将得到典型粒子静质量可变的结论,这在某种意义上体现了Mach精神23.一个让 Wesson反复思索的问题是如何将 Einstein引力场方程推广到五维空间,即五维能动张量应取什么形式.最终, Wesson确定了自己的想法:五维能动张量恒为零,即五维引力场方程的一般形式为RMN=0,其中,M,N取0,1,2,3,4.当它约化到四维时能得到通常的 Einstein引力场方程87G(l(1)其中,μ,ν取0,1,2,3.这里有效的四维物质场能动张量T是通过如下的对应从附加维得到的,即TR,e-(RWesson把这样的思想称为诱生物质理论:.在此后的很多工作中, Wesson及其合作者都力图贯彻这想法.最近,文献匚6基于诱生物质的想法,把标量场的 Klein-Gordon方程以如下方式推广到五维弯曲空间,即使当约化到四维时,与附加维有关的部分视为等效的质量项.鉴于共形变换能够保时空的因果结构不变,故场方程的共形不变形式是值得追求的.把[6]中的方程(3)进一步由最小耦合情况推广到共形不变的形式)g"Np+1R4=0并在此基础上考査了某些典型引力场中典型标量粒子的静质量,得到了更为理想的诱生可变静质量的结果H中国煤化工考虑到对于任何一个新理论,从其提出到其最终被CNMHG各个角度对其进行考查检验和完善,对于 Kaluza Klein型的可变引力理论(即丑维仝呵一顶埋化),这样的工作一直在进行着8.马也曾提出过对于附加维的新解释及关于五维能动张量的另一建议10. Macias讨论了在此基收稿日期:2001-04-20作者简分月据6-).男,教授,主要从事高维引力研究第4期马光文等:基于诱生物质想法的五维 Dirac方程41础上的 Dirac方程.本文则从诱生物质的思想出发,研究 Dirac方程的五维推广方案及其特征.由于Dirac方程的波函数的多分量特征,原则上会遇到不同于 Klein- Gordon方程的新问题,解决这些问题也是本文的目的点之1五维平空间中的 Dirac方程四维空时中的Drac方程的协变形式为iyymoy=0其中,选取了c=h=1的单位制, Dirac矩阵γ满足反对易关系,即(6)其中,"= diagonal(+1,-1,-1,-1),而y的一种标准表示为其中,取1,2,3;Ⅰ为2×2的单位矩阵;σ为泡利矩阵.按照诱生物质的概念, Dirac方程推广到五维平直空间是简单的,取”yy,M=0,{5m",3),y}=25n,5mm=diag(+1,1).其中,5y"仍取为(7)式,5)y4可取为y=y1y2y3然而,如果直接按照文献[6]和[门的做法,令y(x")=y(x")em,把(9)约化到四维时得到bymoDy=0它不是熟知的四维 Dirac方程(5),这似乎是个困难,但这一困难不是实质性的,容易解决.例如,如果把P=y“i这一动量算符的附加维度分量认同于静质量算符,考虑自由Diac粒子,则其波函数为y=a(p,m0)expi(px+mx1-Et).代入方程(8)得ElEl其中,x1=上边的方程有解的必要条件是左边系数行列式为零,即y29AEⅠp·a+im。IEl由此得E=士(P2十m3)2.其中,E和E分别为正能解和负能解.若进一步定解,可解自旋本征值方程,这里不再给出.由此可以看出这一解与方程(5)对自由 Dirac粒子的解完全一样实际上,如果以sy°左乘(8)两边可得yy=0其中,a=(5)y06y=an0/:2=(xoy=i10易验证它们满足关系中国煤化工故(9)式正是Drac方程的通常形式,即方程(5)的等价CNMHG当然,也可以以(-(5y4)左乘(8)式两边,并记亦即易验证,γ满足上边的反对易关系(6).方程(8)现在化为42郑州大学学报(自然科学版)第33卷y把(10)定义的矩阵γ视为四维空时的 Dirac方程,则方程(11)就是另一旋量表示中的方程(5)2弯曲空间中的 Dirac方程先回忆四维空时的情况.当考虑引力场对 Dirac旋量粒子的影响,即要把四维 Dirac方程推广到弯曲空时时,必须引入标架场1213vu(x)-a5x(r)其中,(x)为X点的局部惯性坐标;a是空时的 Lorentz指标,其升降用m.显然,gm=VVn,旋量协变导数定义为y=(+r)v.其中,n为自旋联络n=1V"Va,.=1[,y]为 Lorentz群生成元. Dirac方程到弯曲空时的推广形式为iyvy- my=0其中,γ满足反对易关系{γ",γ}=2g灬.按诱生物质思想,五维时 Dirac方程在弯曲空间的推广为(14)所涉及到的 Dirac矩阵、标架、自旋、联络和旋量协变导数均是四维情况的直接推广,3五维理论中的 Dirac粒子的有效质量当把五维弯曲空间中的 Dirac方程(14)约化到相应的四维形式并与四维弯曲空时的 Dirac方程(13)比较时,就会得到一个有效质量项m,也可称为诱生质量.应当指出,在五维平空间中,这种约化程序完全是由解算符P的本征值方程完成的(见上述)而诱生质量就是P4的本征值(常数);在五维弯曲空间中,起静质量作用的量不再仅由P4单独决定,且由于引力的影响,动量也不是常量在多数 Kaluza-Klein型的理论中,人们往往取g4=0.此时gm=gm,五维线元为dx= gndxdx-中dl/.其中,≡x4,五维标架可取为VA0④·非零五维联络系数为gg5=-cg④P=-1=g,n=中'T4其中星号“兴”表示对l求偏导数.自旋联络为T=Tn+中gnV"",5r=V10( 3/2gV)-中.,V°由 Dirac方程(14)得0=i5yvMy=i(5ya5)vy+i(5)(5)Viy vy+liGyop-gvo4y+iry中国煤化工在继续关于ma的讨论之前,先须注意如下几点:(1)弯CNMH应为广义协变的梯度算符(乘以i),即5)VM,作为的本征值不再代表 Dirac粒子的有效静质量.(2)注意到gm=0,g4φ2及(gm=g灬,则(10)式的推广式应取为3)12y1(5)y=-重-1(5)5y(16)第4期马光文等:基于诱生物质想法的五维 Dirac方程43这样定义的γ满足反对易关系.把(15)式两边左乘以-1/(-g412)y,应用(16)并设y(x)y(x")em4,可得0=iyVy+v+117④gma+ia,o(V-gmV)+中,4]yir.y-mird'grVo4-oiVo4(VBk-0govB)-iVago4y该式与方程(13)比较得Zell 2i>*gp-gvo4-ivo(Ve-28nev21va9,n"Jy(17)可以看出,一般来说,m是随空间坐标变化的,这是该理论所期望的4具体引力场中的应用这里,用两个具体的例子说明以上理论的应用.首先考虑静态球对称场,其线元为1.151dS2=Ad(2-A-4dy2-A-4-byd22-A'dlA()≡1-2GM/,1=a2+ab+b2标架可合理地选为V= diagonal(A2,A-",A"r, A arsine,A2),式(17)现化为1 bGM(m2-m0)XI0(18)bGMX2方程(18)有解的必要条件为左侧系数行列式为零,由此解得m=m±160A4=号-)(19)文献[7定出b≈0.002,a≈0.999,代入(19)并恢复到常用单位,得m=m,±0.007Mh如以太阳表面无量钢引力势,M2=2.12×10-,=R=6.96×10cm和电子质量m=m=9,11×10-g代入上式,则得m=ml(1±1.17×10-3°).这一结果虽然目前不能用实验精确检验,但至少它肯定不违背经验事实,而理论上却有重要意义,即体现了Mach原理现在考虑宇宙学的情况.为此首先求解如下宇宙学问题,线元取为()(、d2显然,g灬=g为四维封闭(k≡+1)宇宙模型中的 Robertson- Walker度规.直接计算可知非零Rici张量为R0=3+(RR+2R2+2)RRRR中国煤化工(5)Roo -rRRCNMHGf(5,Rm= sin205,Ro,= Rm-r2sinoRR,Rf-3f/五维引力场方程给出(RMN=0,给出万方路8/=0,7+3/R=0.f+(+2+2k)=0(20)44郑州大学学报(自然科学版)第33卷方程(20)的前两个给出∫=R,代入第三式得RR+R2+1=0在四维情况封闭的 Robertson- Walker宇宙模型中,如果物态方程为p=P/3,则宇宙动力学方程恰可给出方程(21)并有RR其中,P和R分别为物质密度和标度因子的目前值可见,F=R相当于给定了物态方程p=3方程(22)的解容易求得为R(t)(A-a)2(23)其中,=(5)2k,并已用公1一H,R=0及八>H因是封闭穿宙4=+1)定出了积分常数a=(°p-H2)R,进而可计算出(24)标架可取为V=diag(11-,Rr, Rosin0,).式(17)化为+1R)IX(meft -mo+RI/X2要求其系数行列式为零,可得mf=mn±R,恢复到常用单位制时,可重写为m=mn±1h尽管所得宇宙学解(23),(24)并不适用于宇宙目前时期,但作为粗略估计,不妨形式地代入目前值注意到减速参数目前值q。≈1,哈勃参数目前值H,≈(4.11×107秒)1,则有R。≈H。及8πGρ。/3≈2H1.(22)可给出R≈8丌R≈-2H,连同电子质量m≈9.11×10-2g代入(25)式得m=m(1±1.5×10-3)又一次看到结果的合理性5结论按照 Wesson-Liu的诱生物质思想,本文在建立共形不变的五维 Klein- Gordon方程的基础上建立了共形不变的五维 Dirac方程.由于描述 Dirac粒子的波函数是多分量的矩阵形式,所以 Dirac方程的建立原则上不是 Klein-Gordon方程建立方案的简单模仿.我们首先对五维平直空间的情况把附加维动量算符认同于静质量算符,通过解动量的本征值问题使无质量项的五维 Dirac方程约化到四维时获得质量项,并通过找到五维 Dirac矩阵(5)γ和四维 Dirac中国煤化工16)把五维Drac方程推广到弯曲空间,给出了诱生有效质量的一般表达式CNMHG的具体例子,求得了相应于四维封闭 Robertson-Walker宇宙模型的五维宇宙学畔,开x该群考盘了诱生质量结果令人满意总之,按上述思路建立的 Dirac方程有如下一些值得追求的特点:(1)符合诱生物质的想法,这些想法曾是 Einstein的梦想.(2)方程是共形不变的.(3)对五维理论给出了附加维动量算符及其本征值的具体的物理数搪4)所得的诱生有效质量一般与空时几何有关,而时空几何又取决于宇宙物质分布,故质量取决于宇宙物质分布,这正是Mach原理所主张的.(5)所得结果用典型的引力场进行考查,其结果第4期马光文等:基于诱生物质想法的五维 Dirac方程45不与事实矛盾致谢作者感谢加拿大 Waterloo大学的 Wesson教授不断寄赠其论著及论文拷贝,感谢刘宏亚教授和吴又粼教授的有益讨论参考文献[1 Wesson P S. 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The normal Dirac equation is gained by reducing the generalization to fourdimension space. The rest mass of a particle in curve space vary with the space and time coordinatesa class of exact cosmological solution of the apparently empty 5D Kaluza-Klein field equations is derived. The conclusion is checked reasonable for theric gravity and the closecosmological model中国煤化工Key words: induced-matter theory Kaluza-KleiCNMHGer theory: Dirac equations