导数的应用

课程研究导数的应用周春光(河北省故城县高级中学河北衡水253800)摘要:导数作为一种数学应用工具,近几年考查中逐年在加大力度,它是解决许多知识的一种有力工具,通过多年的教学,特对导数的应用作一总结关键词:导数;最值;单调性中图分类号:G632献标识码:B文章编号:1002-7661(2013)19-135-01利用导数求切线问题研究这类题,因为切线斜率与切点坐标有关,且切点是切线与曲线的公共点,故在未知切点坐标时,通常是假设出切点解依题意f(=-1,然后写出切线的方程,同时要注意切点坐标满足已知曲线的方f'(1)3-6a+2b=01-3一程。必须注意区分切线经过某点与某点为切点的切线问题例已知函数八(32+3,过点p2,4作曲线y=f(即f(x)=x3-x2-x的切线,求切线方程。由f(x)=0得x=1.x=-1f(r)3++4,f(x)=xf(-2)=-10,f(2)=2,f(1)=-1,f(一)=设过点P(2,4)曲线y=f(x)的切线l,切点为Q(xn,yn)f(x)在[22]上的值域为[-10.2]三、利用导数研究函数的单调性则切线的斜率为k=f(x0)=x02,切线l的方程为以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法y-4=x02(x0-2)例已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,其图又、14,且y-4=x2(x-2)象交x轴于A、B、C三点,点B的坐标为(20,且f(x)在-10和0.2有相反的单调性。①求C的值。②若函数(x)在0.2和45也有相反的单调性,fx)的图象上是否存在一点M使得f(x)在点所以-x+-)-4=x(x0-2)M的切线斜率为3b?若存在求出M点的坐标;若不存在,说明理由。x03-3x2+4=0,即(x0+1)(x2-4xn+4)=0解x+cf(x)在-10和0,2有相反的单调性解得:x=-1,或x=2x=O是f(x)的一个极值点,故f(x)=0。÷c=0。切线方程为y-4=x-2,或y-4=4(x-2)f(x)=0得3x2+2bx=0x-y+2=0,或4x-y-4=0。极值与最值问题函数的极值与最值是有区别的,极值实际上的函数在一个局部的最值,但如果一函数在其定义域上只有一个极值点,则因为(x)在0,2和4,5]有相反的单调性,该极值往往是该函数的最值(或者是最大值,或者是最小值)函数在极值点处的导数必为0,但导数为0的点却不一定f(x)在0.2和45},有相反的符号是函数的极值点;只有当在导数为0的点附近导数的值的符号故2≤一=b≤4,-6≤b≤-3。改变,该点才是函数的极值点(从导数为0的点的左方到右方如果导数的值由正变到负,则该点为极大值点;如果导数的值假设存在点M(xn,yn)使得fx)在点M的切线斜率为3b,则由负变到正,则该点为极小值点)一个连续函数在闭区间[a,b]上既有最大值,也有最小值f(xn)=3b。即3x+2b在求其最值时,只需求出导数为0的点处的函数值,并与a3h=4hh+9)而e\=3b△<0b处的函数值进行比较,选出较小者即为最小值,选出较大者中国煤化工即为最大值,并没有讨论导数为0的点是极大值点还是极小值故不存在点CNMHG切线斜率为3b点的必要。例设f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1时取得极小值《读写算》2013年第19期135