类Lorenz系统的非线性动力学研究

第33卷第1期江西科学Vol 33 No. 12015年2月JⅠ ANGXI SCIENCEFeb.2015doi:10.13990/jisn1001-3679.2015.01.015类 Lorenz系统的非线性动力学研究张勇1,张光云2,汤志浩(1河南工业职业技术学院基础教学部,47300,河南,南阳;2西南石油大学外国语学院610500,成都)摘要:通过理论计算和数值模拟分析了两类类 Lorenz系统的非线性动力学行为。从耗散性、平衡点、不变集、波形图、吸引集等方面展示了该系统的丰富的动力学特性。最后给出了相应的计算机模拟。关键词:类 orenz系统;相图;非线性动力学;波形图中图分类号:0241.84;029;0242.1文献标识码:A文章编号:1001-3679(2015)01-06-04Nonlinear Analysis of Lorenz-Like SystemsZHANG Yong, ZHANG Guangyun, TANG Zhihao(1. Department of Basic Teaching, Henan Polytechnic Institute, 473000, Nanyang, Henan, PRC;2. School of Foreign Languages, Southwest Petroleum University, 610500, Chengdu, PRC)Abstract: Nonliear dynamical properties of Lorenz-Llike systems are studied theoretical calculationand numerical analysis. Dissipation, equilibrium points, invariant sets, waveform, and global attractivesets show that the Lorenz systems have rich dynamic characteristics. Finally, we give the simulationsabout our results in the paper.Key words: Lorenz-Llike systems phase portraits; nonlinear dynamics; waveform0引言五模类 Lorenz系统的数学模型为9:2x1+4orenz混沌系统作为第一个混沌系统得到了9x2+3x1x3广泛而且深刻的研究。其中,发现新的混沌系统并且对其进行动力学分析一直是一个热点问题。3=-5Xx,十r(1)混沌系统在非线性电路、图像加密、控制科学和信4=-5x4息科学中有着非常重要的应用1-。本文给出x5=-x5-3x1x4,了该混沌系统的动力学行为分析,包括平衡点、其中,r>0为系统(1)的为雷诺数。当r=30时波形图、吸引集和最终界等,最后给出计算机模系统(1)轨线的相图见图1。系统(1)各个变量拟随时间演化的图形如图2。1数学模型H中国煤化工收稿日期:2014-11-14;修订日期:2014-12-16CNMHG作者简介:张勇(1982-),男,河南南阳人,硕士,讲师研究方向为混沌示。甚金项目:南阳市科技发展计划科技攻关项目(2012G05;2013cc048);南阳市科技发展计划软科学项目(2013RKO13)。第1期张勇等:类 Lorenz系统的非线性动力学研究67书个001201401601图1系统(1)轨线在各个三维空间中轨线的相图6080100120140160180200F 0 1Wi WASi y wywy m w phis图4系统(2)的各个变量随时间演化图形叶 WYWJI AAMYYYwh2主要动力学特性分析2.1不变性x3轴为系统(1)的一个不变集,从而从x3轴上任何点出发的轨线都只能在x3轴上运动8:2.2耗散性和吸引子的存在性对于系统(1),有0:444图2系统(1)的各个变量随时间演化图形四模类 Lorenz系统的数学模型为0所以系统(1)是耗散的,并以指数形式出=e2收x=-x-y2+0.5z2+0.51+2c,敛,也就是说,一个初始体积为V(0)的体积元在y=-y+xy-zo-0.52+0.5u2时间t时收缩为体积元v(0)e-。故当t→+∞z=-z+0.5yz+0.5y0-0.5xz-0.5x时,包含系统轨线的每个小体积元以指数速率-22收缩到0。此时,所有系统的轨线最终会被=-1+0.5xz+0.5yz-0.5x-0.5y,(2)限制在一个体积为0的极限点集上,并且它的渐进动力学行为会被固定在一个吸引子上,这说明其中c≠0为系统(2)的参数。当参数c=11时,了吸引子的存在性。系统(2)轨线的相图见图3。系统(2)各个变量2.3平衡点随时间演化的图形如图4。对于系统(1),1)当0<7≤00时,系统只有一个平衡点P(0,0,÷,0,0)6<≤40.6时,系统有3个平衡点P1(0,0,<,0,0)图3系统(2)轨线在各个三维空间中轨线的相图中国煤化r0。),CNMHP.077’6√768江西科学2015年第33卷△={(x(t),y(t),z(t),v(t)lx2+y2+z2+3)当r>。°时系统有7个平衡点:M6)P1(0,0,s,0,0),为系统(2)的一个最终有界集和全局指数吸引集P.(-1,5/-15.0)证明:作广义正定、径向无界的 Lyapunov函数15-6/6_156V1(X)=x2+v2,X(t)=(x(t)7767-7,20,0)(t),x(t),u(t)),当V1(X(t))≥M,V1(X)>M(t≥b)时,计算vS(3’8080V6400~6,-√15(x(t))对时间t的导数2-})dv,((t))1/)、=2xx+2y+2zz+22(-x-y2+0.5z2+0.52+2c)+2y(-y+xy-mS2(115√15r93’80‘80’√640060.52+0.5v02)+2x(-z+0.5yx+0.5y-0.5x0.5x)+2(-+0.5x+0.5yz-0.5x-0.5y64006=-2x2-2y2-2-2v2+4ox≤-V1-x2-y2-S3(15r9r2-u2+4cx≤-V1+4c2≤-(V-M)<0,380'80’√64006’当V1(X(t))≥M,V1(x0)>M(t≥b)时,对上述不等式两边积分有6400-6)(X(t)≤V1(X(t)e(h)S4(--8080√6400~6=V(x(4)e)+M(1-e)6)dr整理得√6400v1(X(t)-M≤[V1(X0)-M]e)(8)2.4全局吸引和最终有界性令上述不等式(8)两边t→+∞,取上极限有定理11:对任意的∨r>0,令minV1(X(t))≤MV(X)=x2+x2+x2+x+x3,X(t)=(x(t),2(1),x3(1),x2(t),x(1),。x2根据定义,即l6,则当W(x()△={ XI min v1(Xx()≤M}≥L,(x0)>L(th)时,对于系统()的正半轨为系统的一个全局指数吸引集。线有估计式:注:取参数c=11,由定理2系统(2)的正半(X())-L]sW(X)-e(4)轨线包含在1=(x,y,,n)/x2+y2+2+从而集合s(=1(x1,,3,,)+x2+x+x+x所示。从图5中可以看出系统(2)的正半轨线最终进入Ω1与定理2的理论结果相吻合,表明了为系统(1)的一个最终有界集和全局指数吸引计算结果的正确性。集定理2:令V(x)=x2+y2+2+n2,x(t)=3结论(x(1),y(t),x(t),(t)),M=42,则当v(X本文利用动力系统的基本理论研究了两类类(2)≥M,(x)>M(t≥)时,对于系统(2)的 Lorenz系统一些基本的动力特性,并且给出了相正半轨线有估计式[v(X(t))-M]:应的计算机≤[1(x0)-M]e(0(5)性与有效性中国煤化工结论的正确从而集合CNMHG的一些动力学特性还有付」。第1期张勇等:类 Lorenz系统的非线性动力学研究路设计与仿真[J].江西科学,2011,29(6):691693[6]舒永录,张付臣,杨洪亮.一个新的多维超混沌系统及其性质研究[J].四川大学学报:自然科学版,2011,48(4):857-864[7 Zhang F C, Shu Y L, Yang H L Bounds for a new cha-otic system and its application in chaos synchronization[J. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(3): 1501-1508图591在xyz空间中的投影[8 Liao X X. On the global basin of attraction and posi-ively invariant set for the Lorenz chaotic system and its参考文献application in chaos control and synchronization[J]Sci China ser E,2004,34(12):1404-1419[1]王兴元,孟娟超混沌系统的广义同步化[J.物理[9]牛宏,王贺元 Navier-stokes方程五模的截断类 Lorenz学报,2007,56:6288-6293[2]王兴元混沌系统的同步及在保密通信中的应用方程组的静态分歧[J].辽宁工学院学报,2006,26(5):338-343M].北京:科学出版社,2011[3]张付臣,舒永录,姚宪忠磁盘发电机系统的动力学10]王贺元鞠春贤.四模 Lorenz系统的动力学行为及其数值模拟[J].高等学校计算数学学报,2010,32研究及其在混沌同步中的应用[J].应用数学学报,(2):99-1052013,36(2):193-203[4]张付臣,杨洪亮线性反馈控制在保密通信中的应11]张勇,尹社会,用[J].计算机工程,2011,37(14):259-262.力学研究[J/OL.].计算机工程与应用,htp:wwnet/kcms/detail/11 2127. TP. 20131017[5]屈元举,谢芳森,沈艳菲.一个新四维混沌系统的电上接第60页)[3]马少仙,马刚,张忠辅 P VF的邻强边染色[[刀].西北师范大学学报,2005,41(1):13-15兰州大学学学报:自然科学版,2008,44(1):112-[9]王彦妮,王丽伟,刘萍几类图的邻点可区别的全染色[门].科学技术与工程,2007,7(13):3048-3051[4]戴韵图的邻强边染色[D].杭州:浙江师范大学,[10]闫丽红,王治文,张忠辅广义θ图的邻点可区别的2006全染色[J].经济数学,2007,24(1):103-106[5]张玉栋郝自军晁福刚,等, SVP的邻强边染色[1]孙婷婷图的点可区别的边染色及点可区别的全染[J].西安交通大学学报,206,40(12):1463色[D].重庆:重庆大学,20081466.[12]张东翰蛛形图的全染色和星全染色[J].商洛学院[6]张忠辅陈祥恩,李敬文,等关于图的邻点可区别学报,2013,27(6):31-32的全染色[J.中国科学,A辑,2004,35(5):574-13]张东翰朱白路的D(3)点可区别的全染色[J,商洛学院学报,2014,28(2),11-7]田双亮若干广义 Peterson图的邻点可区别的全染14] Bondy J A, Murty U S R. Graph Theory with Applica色[J].山东大学学报:理学版,2008,49(9):42-tions[ M]. New York The Macmillan Press Ltd, 1976[15] Reinhard D. Graph Theory[ M]. New York Springer-[8]陈祥恩,张忠辅PnVP。的邻点可区别的全染色Verlag, 1997中国煤化工CNMHG