易拉罐的优化设计

2009年第6期，大众科技No.6, 2009(总第118期)DA ZHONG KEJI(Cumulatively No.118)易拉罐的优化设计刘跃华，王贡献，刘长太(扬州.工业职业技术学院，江苏扬州225127)[摘]通过对易拉罐应力分析模型，评估“百事可乐”易拉罐的设计合理性，并根据模型讨论其他设计最优方案。易拉罐最优设计的目标是实现在容积-定的条件下使得用料成本最低。[关键词]易拉罐;最优设计;应力分析[中图分类号] O212.6[文献标识码] A[文章编号] 1008-1151(2009)06-0134-04(一)符号说明.分析数据的合理性:K:表示体积，单位: ca!; R:表示圆柱体的半径，单位:1.中间圆柱体的中部直径小于其底部直径，有利于罐的cm; h: 表示圆柱体的高度，单位: cmr n表示圆台的上底底部向下正常放置时稳定性增强;面半径，单位: cm; Sm:表示易拉罐顶部的表面积，单位:2.底部有凹球面，可以承受更大的压力，起缓冲的作用。cat: Su: 表示易拉罐底部的表面积，单位: ca?; Sa: 表示整个易拉罐的总表面积，单位: cat; ya:表示整个易拉罐的造价，单位:元; a: 表示壁厚的单位面积造价，单位:元;A:表示横截面的面积，单位: ca:; M表示横截面上的内力，单位: M 0:表示横截面上的正应力，单位: Nad: A.: 表示易拉罐斜截面k-k 的面积，单位: caf; P:表示作用在微小面积△A上的平均应力，单位: Nmf.图1图2(二)模型假设在当易拉罐容积不变的条件下，能使易拉罐制作的材料1.假设易拉罐是正圆柱体，不存在底部凹球面.最省，即为易拉罐的最优设计，从而得到设计最优时易拉罐2.在355毫升的体积标准下，设计方案。的形状和尺寸。3.易拉罐圆简是一-次冲压制成的。若顶部、底部与中间圆柱体部分的厚度相等，计算易拉4.易拉罐制造材料的成本仅与厚度成正比，不受其他因罐内部的最小表面积，如下图: r, R, h=h +h这三个量素的影响。.均为易拉罐的内部尺度。(三)模型建立与求证假设易拉罐是- -个正圆柱体，取底部内直径2R为正圆柱用千分尺测得一一个实际的“百事可乐”饮料罐(净含量:体的直径。355毫升),数据如下: .那么正圆柱体中: sn=xR'， Sm=2rRh， Sm =R’故S。=Sm +Sn +Sm =2xR2 +2mRh=2r(R* +Rh) (1)中间圆柱体靛(a0.90. 97010. 366厚度(a)0.00.0600.030又因为r=zR2h,即h=(2)mR2中都6.570直径(a)5.6305.8830事近成都0.699将(2)式代入(1)式得:注:各个数据均包含壁厚.Sg=2n(R*+R元)[收稿日期] 2009 -03-01[基金项目]扬州工业职业技术学院科技创新基金资助项目中国煤化工[作者简介]刘跃华(1984-),男，江苏宿迁人,扬州工业职业技CNMH G1982-).男，江苏徐州人，扬州工业职业技术学院教师，研究方向为管理科学与工程;刘长太，另,物m工亚职亚程不于风社师，研究方向为数学应用技术。- 134-再对Sg进行求导，S%=2(2R-()'令S'=0，得出:P. =p.横截面上的正应力是均匀分布的，它的方向与横截面垂直，故为正应力σ，其计算式为:。= N.假设用一平R=层. V=xRih, h=.R2面沿k-k将易拉鳙切开，分成两部分，取左边部分为研究对简化得:h=2xy-=2R'即h/R=2.象进行受力分析。如下图4:以测得的厚度数据为依据，若顶部、底部与中间圆柱体部分的厚度比为2:1,设入= h,罐壁造价每平方厘米为a,+顶部、底部与中间圆柱体部分的厚度比为2: 1,故罐底造价围4每平方厘米为2a.又h_上,从而mR2由静力平衡方程SF, =0,求得斜截面k-k上的内力为:ys =2ax2xR2 +ax 2xRhN=F,那么，斜截面上各点的应力P。也是均匀分布的，它= a(4zR2 +2zR x的方向与轴线平行，其大小为: p.. N .设A为易拉罐的横A截面面积，斜截面k- k的外法线n与杆轴线(x轴)的夹角23aV4tY7为a，如图5:当且仅当4xm2= 1_ h,即h= 4R时造价最省，此时h=4.R" R'--E=则正圆柱体在355毫升时: v =nrR2h=4R'π=355,求得: .R=3.0456.根据测得的数据，中间圆柱体的中部直径约为6.570,其高为10. 366,得到: h=3.16R.从易拉罐的整体考虑，其顶盖到底部的高为12. 250，中间圆柱体的中部直径约为6.570，得到: h=3.73R， 而3.73较接近于4,因此，测得的数据较合理。若易拉鱺是一一个正圆柱体，并且其内部物质是密度平均围5的，我们将其内部物质视为相对固定的流体。装有液体的封口易拉罐本身存在内部作用力，外力引起了内部作用力的改则由几何关系可得: A-_，于是有: p.coona=ocoa变.以mn横截面圆柱体，分析横截面rm上某点K的应力斜截面上各点的应力p可以分解为两个正交的应力分情况。围绕K点取一微小面积M,如图3所示.设AP是作用在量，如图5-2.其中沿斜截面法线方向的分量为:σ。=P。cosa微小面积as.上的内力，则。。4P 称为作用在微小面积a.上的显然，法向应力分量。就是斜截面上k-k 各点的正应力。沿.-斜截面k-k切线方向的分量为: r。 =P。sina.它就是斜截面k-k.上各点的剪应力。由此可得任意斜截面上的正应力和平均应力.剪应力的计算公式为: o.-oora， s.gsa2a .当易拉罐受轴向拉伸或压缩时，在任意斜截面上将同时出现正应力。和剪应力r。，而且它们都是截面方位角a的函数，其最大值发生在:(1)当a=0时，正应力达到最大值，其值为o。=σ_ =σ,即易拉鹾受轴向拉伸或压缩时，最大正应力團3发生在横截面上.把应力p分解成互相垂直的两个分量，如图3,其中垂分析易拉鑶受拉伸时的应力情况:中国煤化工值,其值为x_=x号直于横截面的分量为正应力，用o表示;平行于横截面的分[HCNMHG结化:易垃睡文栅网位仲取压弥时，在与横截面成45*角量称为剪应力，用T表示:而P则称为K点处的总应力, .的斜截面上产生最大剪应力，其值等于横截面上正应力值的-135-一半。方厘米)时的R，h, 的值。如图9: .根据上述结论，以易拉罐的底部某点K为例，分析该点的正应力与剪应力的情况，得出:易拉罐的底部受的正应力是易拉瓘圆柱体侧面受的剪应力的两倍。因此，底部适当的加厚是生产安全易拉罐的需要。在最优设计的正圆柱体上，截得中心纵断面。再以与壁的交夹角θ，截这- -纵断面，使之呈现上面部分是-一个正圆台， 下面部分是一个正圆柱体的图形，如图6:Z图8團9圆台的内体积为:十". =(+5Fr+) == +J-"mR +?)仫围6根据直角三角形的性质，令h为一个单位长，可得o的正圆柱体的内体积为: Ve = nRh大小与整个正圆柱体的节约用料z的关系:由h=1, R=r+1, h+气=4(r+1)=h=4r+3,得:Vg=Vx +V#z= r(27an09+1- SecO), 0<0<芒.其中K与2Tan0+1- SecO=x(r2 +r+-)+*(r+1)Ph星反比例。令{(的)= 2Tan0+1-SecO.0<0<营,< m，作出其图象，=(4r2' +12r2 +I1r+g)r如图7:将Vg =355代入上式，得r=2.0699， 理论计算得:么=4r+3-11.2772，则: h=h +hz +111.2772-=12.2772由测得数据h =0.970,代替h =1的值,得r=2.0693，离测得的r = 2.275有- -定的差距.围7差距原因分析，如下:(1)“百事可乐"饮料罐(净含量: 355 毫升)的正圆台观察图象知，f(e)为增函数. 当θ趋近于“时，正圆柱的壁厚大于正園柱体的壁厚;(2)不仅仅是“上面部分是-一个正圆台，下面部分是一体的项部的厚度就为壁厚。那么，其设计不合乎已建模型中个正圆柱体”，底部有凹球面，壁不是绝对垂直与底部，顶盖的结论。当g=匹时，正圈台壁上的剪应力达到最大值，因而实际上也不是平面的，略有上拱。注:内力一外力引起的物体内部的作用力。必须在壁上加厚，以保证安全性.设壁厚为底厚- -半,得到:整理所得的数据:(1)底部高+顶部高65:0 AP= BQ，所以浪费易拉罐在使用相等材料下，可考虑将底部凹球面变为近了4n(P- AP)的用料。其中η为FP- AP的值的正比例变t.似平面，顶部利用底部的多余用料，把顶部做成拱起的圆球∠APF越小，浪费的用料越少。形。如图10所示。从而，CAPF 为定值时，AP的长度越小，浪费的用料越利用球体的性质:同面积的几何体，以圆球的体积最大.通过扩大球体的容积的方法，因而在体积一定的情况下，球少。即正圆台的高越小，浪费的用料越少。体所需的制作材料最小，达到节约用料的目的，使得易拉罐根据。0<0<ξ'结合人的下嘴唇厚度，取h =1匣米较合的用中国煤化工为riCNM HG'下部为等边圆柱(半径理。令g_匹，则R=r+1.在此情况下，求得v。=355 (立标系，对基本模型进行分析., 如图11,利用直角坐.136-A10.5. -x圈10图11图12.不妨设球体的半径r为一个单位。那么，模型的高为.将此曲线的两顶点靠在图11-2,以曲线的x=1点，靠近厄●分别取AB cD的中点B F,再过两中点分别作两条底部。从而，手感更好，且在握住易拉罐时更加稳固。美感:当两个面经直线连接时，取黄金分割率。如图11-1,切线，切点为P, e.如图11,在坐标系上，(0.1+距底部距离为1. 50 (单位长)左右时，为黄金分布的接线。我们将取f()区间的中点，即x=-1时,使对应的f(-1)的点PO0.5.0.5),由球体的半径为1,得到: EP =NGE2-1 =1.05642.与接线重合。那么，它的分布符合黄金分割率。从而，模型圆球的顶点到模型的底面的线段上的黄金分割距离为在实用性与美感方面得以优化。1.1.利用CAD作图器，可以作出其立体图形。现在，我们讨论易拉罐设计的实用性与美感:[参考文献]实用性:要使易拉罐设计的实用性更强，我们可在其壁[1]周志安化工设备设计基础[M].北京:化学工业出版社:1996.上加工一个圆环形的凹面.[2] 李志林.数学建模及典型案例分析[M].化学工业出版社,2005.在下部的底面上设计拉环,以函数*(x)=中,在-3SxS1[3]罗万成大学生数学建模案例精选[M].西南交通大学出版的区间上的曲线，如图12为标准，对模型进行加工.[4]许洪范.教学建模教程[M].国防工业出版社,2003.(上接第123页)断裂构造的关系是:①上升和下降断块交接部位由于垂向作用形成的区域性断裂，常在隆起-侧次级断裂中形成各种类表1凤凰山银矿床中黄铁矿的产 出特征型的充填型矿床，凹陷- -侧形成交代型矿床。②区域性的剪切断裂，常在两侧次级断裂或两组断裂之间的次级断裂中成成界或石英一长矿。③控矿构造常具有等距性、对称性和侧列性，可作为深锰r-顿矿物形自行半自形的立白形一串白形的立方自形一半自己的立方白形-率自形的立方体部及外围找矿预测的依据之一.④在多组断裂交接部位成矿。方体，古较多的它体，服少有立方体与八体，齿板少的五角十⑤层间断裂破碎带及其两侧次级断裂中成矿。面的秦形二面体，立方体与人2.收集和研究矿化显示院径(D)0.04~0.8 J0.05-2.00 0.04~-3.50二10 06~-2.00运用成矿系列,矿床组合模式和各种综合成矿模式理论，共生广物白铁矿、冈饰矿、-闪样矿、美件体矿。成化矿-2.到餐矿物.石奏-4、美化预测成矿作用类型、强度和空间位置.r.领矿物、石英-2锅矿、灰碱储铅w、r.锰方解石(1)直接矿化显示:①围岩蚀变.围岩蚀变是传统找矿产出特证起常与受染状有空漫染状。团块状，或常与其它多金属硫常在石英一菱耀矿理方法之一-,根据矿区中硅化、黄铁矿化、硫锰矿化与成矿的状。分叉降状.马脉石英黄快V-电沙(故).或烟成石英一广组脉成菱保矿中里相关关系，故应对本区的围岩蚀变进行详细分析，以指导深尾饮状等分布在细融分布于矿体边邮黄铁厂-方怕矿脉分视染状分布在矿体中部及外围找矿。②物化探异常。矿区开展了高精度磁测，井矿体的边舞布在矿体中部都及边部.中物探工作，化探进行了1/2 万化探土壤测量工作。通过工作，相应发现- -些异常 与矿化吻合，故应加强矿区及其外围矿区中硫锰矿化常生成硫锰矿，常以粗-细脉或散粒状与的物化探工作，利用更加先进的方法及手段获取相关信息，石英、黄铁矿、碳酸盐岩徼细脉相伴产出，是重要的银矿载以指导深部及外围找矿。③断裂构造地球化学异常。断裂是体矿物。.矿区主要的控矿及容矿构造.断裂构造地球化学测量的目的(四)深部及其外围找矿方法探讨是为了强化岩石地球化学异常，捕捉来自地下深部的微弱信1.溧化常规地表地质调查息，以指导深部及外围找矿。研究与成矿有关的各种地质因素或矿体的规模，产状及总而言之，为了有效地达到深部及外圈找矿目的，必须空间变化规律，分析推测其延深情况，制作-定深度及外围全面分析已有地质资料，选择最佳方法组合，制定合理的找预测地质图，缩小深部及外围找矿靶区。矿方法。(1)利用地层标志找矿:∈h'* 是本矿区的主要控矿层.中国煤化工位，研究矿区及外围∈h'2的分布、埋深等对指导矿区深部及外围找矿有着直接意义。[1] 凤C N M H G西第四地质队1995.MH(2)利用控矿构造与成矿关系指导找矿:断裂构造是矿[2]聿崇具.内生金属矿威矿规律及隐伏矿床预测方法[D].南方区的主要控矿及容矿构造，我们知道，深部找矿有利部位与国土资源,2008.07.-137-