关于测度的重分形分析

华南理工大学学报(自然科学版)第40卷第10期Journal of South China University of TechnologyVoL, 40 No 102012年10月Natural Science Edition)October 2012文章编号:1000-565X(2012)10-0142-04关于测度的重分形分析吴敏(华南理工大学数学系,广东广州510640)摘要:测度的重分形分析是分形几何的一个重要研究方向,它广泛应用于动力系统、湍流、降雨量模型、地震和金融时间序列模型.发展重分形测度的数学理论和方法至关重要文中简要阐述测度的重分形分析的基本思想和方法,并介绍笔者及其课题组在该领域取得的主要研究成果关键词:重分形;自相似测度; Moran测度;加倍测度;点态维数中图分类号:029doi:10.3969/ J. Issn.1000565X.2012.10.020测度的重分形分析是分形几何的一个重要研究其中B是长度为δ的边平行于坐标轴的正方形,它方向分形测度的概念由 Mandelbrot l在20世纪70们构成平面的一个分划,上式右端对分划中所有的年代提出,其问题的起源可追溯到20世纪40年代正方形求和由配分函数定义的热力学极限为Kolmogorov2关于均匀湍流的研究.“重分形测度”这log Sa(q)名词由理论物理学家 Halsey等在1985年引人,t(9)=limg--o log 8该方向发展非常迅速,并且涉及的领域甚为广阔它若上述极限存在则配分函数满足标度律从而知道已被用来描述动力系统的吸引子上的驻留测度、流体它的增长性态函数x(q)可以反映测度的整体性质,中的湍流、雨量分布、宇宙中的质量分布神经网络和通过它进而了解H的分布此外热力学极限对q是否许多共它现象.然而,要将这些实际问题与数学及计可微涉及到系统是否出现相变.但如何确定上述热力算理论相联系是非常困难的因此,发展重分形测度学极限(甚至判别它是否存在)一般说来非常困难的数学理论和方法至关重要,自1990年以来众多数的下述变形有时在讨论中更为方便:设是学家做了大量卓有成效的工作,但仍然有许多具重要R上的一个给定的具有紧支撑的 Borel概率测度,意义的问题有待研究.文中主要介绍笔者及其所在课没q∈R,记题组在测度的重分形分析方面获得的结果.log(sup∑H(B2(x))r()=r(u, q)=lim infs4ologδ1基本概念其中上确界取遍所有互不相交的半径为8且中心位为阐述测度的重分形分析的基本思想和方法,于的支撑上的闭球族B(x)}.r(q)称为μ的先介绍一些基本概念设是平面上一个正测度,有L”谱,它是一个单调上升的凹函数.当q>1时,限正测度也称为一个质量分布,大家首先关心的是(q)/(q-1)又称为H的 Renyi维数的分布,可以从下面两个方面观测测度的分布2维谱1.1L9-谱,热力学极限测度的另一个重要信息是测度的局部结构,即与μ的质量分布密切相关的是的配分函数测度的密度在点x的a-维密度定义为B(x, r))S8(q)=∑H(B),q∈R(2r)4收稿日期:2012-08-01中国煤化工基金项目:国家自然科学基金资助项目(10571063,11071082)CNMHG作者简介:吴敏(1956-),女,教授,博士生导师,主要从事分形几何研究.E-mail:wumin@seut.edu.cn第10期吴敏:关于测度的重分形分析143其中B(x,r)表示以点x为中心、r为半径的球.在此情形,对于很小的r,(B(x,))≈r,因此若知道2测度的重分形分析研究成果在每一点的密度,的分布就清楚了但是,确定测2.1自相似测度研究成果度在一点的密度是一个非常困难的问题,除非它像自相似测度的研究成果主要包括以下几个方面正 Lebesgue测度那样均匀分布.下面介绍一种目前(1)对满足开集条件的自相似测度, Arbeiter在重分形分析中经常遇到同时也更容易处理的情等证明了其L谱存在并等于其重分形谱.当开集形设n为一个正整数,是R上的一个具有紧支条件不满足时,其L谱的存在性及上、下L谱的估撑的 Borel概率测度.设x∈R",记计都是困难的Oen在q≥1时给出了不满足任logu(B,(x))d(u, x)=lim,-0-何分离条件的自相似测度的上、下L-谱的估计.我们希望知道当q<1时的相应结果事实上,当q<如果上述极限存在,则称d(,x)为测度在点x处时,L谱对测度μ的微小变化非常“敏感”,此时对的点态维数(或局部维数).如果不存在,则分别用谱的研究更加困难, Olsen的方法已不再适用d(μ,x)、d(μ,x)表示相应的上、下极限,并称它们为在文献[9]中,通过引进上覆盖和上填充 Renyi维数,μ在点x处的上、下点态维数点态维数的大小反映并建立它们与上、下L谱的关系,将问题转化为较了测度的局部分布性态.为进一步分析测度的点态易处理的上覆盖和上填充 Renyi维数,从而得到q<1维数的分布规律,对于a≥0,定义时上、下L→谱的非平凡的上、下界估计.作为一个应E(a)=|x∈R";d(u,x)=a用,笔者及其课题组得到任意自相似测度重分形谱M (a)=dimu(e(a)),的一个非平凡上界,还讨论了一些有趣的例子.称f(a)为的 Hausdorff维谱.这样,整个空间R(2)当q>0时,若开集条件满足, Olsen10得到被分解为R"=Ua0E2(a)由于在E(a)上的任了自相似测度的L.谱的收敛速率,并证明了其重分点的局部分布性态相近我们希望知道E(a)的形矩测度弱收敛到规范重分形测度.当q<0时,O大小”、变化规律以及它与μ整体性质的联系.这sen给出了两个猜想确实,当q<0时L谱对测度正是测度的重分形分析的主要研究内容之μ的微小变化相当敏感,因此对其的分析一般被认1.3 Legendre变换与重分形机理为相当困难,此时 Olsen的处理方法已失效.在文献有些测度满足两个幂率,即A(B(x,r)≈r和11中,笔者及其课题组首先证明了自相似测度是S6(q)=6.这两个幂率之间是否存在联系?进Ahlfors正则的,并以此为基础,得到了当q<0且开步,在维谱与热力学极限之间是否存在联系?物理学集条件成立时一大类自相似测度的L-谱的收敛速率,在文献[12]中,笔者及其课题组利用文献[11家 Halsey等在1986年发现对于某些测度,维谱的结果,证明了q<0时自相似测度的重分形矩测度正好是热力学极限的 Legendre变换:弱收敛到规范重分形测度,从而对猜想给出了肯定f (a)=inf-a sakai(q)+aqi而且上述变换的逆变换也成立,亦即建立了热力学的回答(3)设μ是支撑在自相似集K上满足开集条件极限与维谱的联系,同时建立了统计物理与分形几的自相似测度,对满足强分离条件的自相似测度,何间的联系,作为一柄锐利的双刃剑,重分形分析的 Barreira等证明:发散点集(即点态维数不存在的强大威力也于此得以体现若测度μ的维谱满足上点所成之集)与其支撑集的 Hausdorff维数相等述 Legendre变换,则称μ满足重分形机理.个自然的问题是:在开集条件下,上述结果是否正什么样的测度满足重分形机理是重分形分析的确?在文献[14]中,笔者及其课题组应用精细型的个最基本的问题.目前仅知道自相似测度、拟Ber盒计数原理以及构造精细 Moran子集的技巧,证明noii测度、Gibs测度等熟知的测度满足重分形机了上述结果在开集条件下成立进一步,对x∈K,令理,如何有效判断一个测度是否满足重分形原理还是一个没有完全解决的深刻的数学问题下面主要A(D(x))表示当r+0时函数D(x)=B(x,)的介绍笔者及其所在课题组在测度的重分形分析方面聚点集笔老及1(151开住条件下研究了发获得的结果.限于篇幅,有关自相似测度、 Moran测散点集的结中国煤化工(x)要么是度、加倍测度、 Hausdorff和填充维数等概念及结果单点集,要CNMH集为闭区间时详见文献[4-6对任意闭区间ICR,笔者及其课题组得到了集合14华南理工大学学报(自然科学版)第40卷x;A(D(x)=l的 Hausdorff和填充维数,从而解决类非正则的 Moran集,研究了其重分形形式(详见了 Olsen等提出的一个猜想,该结果也推进了文献[24]).为理论和实际计算的需要, Brown、FalArbeiter等的一个经典结果coner、 Hentschel、 Procaccia等引人了勒让德谱、重分2.2 Moran测度研究成果形q盒维数、重分形q-Reni维数等概念,一般来讲Moran測度是一类比自相似测度广泛得多的分这些谱是彼此不等的,在文献[25]中笔者及其课题形测度.这方面的研究成果主要包括以下几个方面组给出一个使上述各种谱相等的充分条件,结合已(1) Moran测度的点态维数在强分离条件下,知的结果给出了 Moran测度各种谱相等且重分形Geronimo等证明了自相似测度的点态维数几乎公式成立的一个充分条件处处等于一个常数 Strichartz i进一步将这个结果2.3纯原子加倍测度研究成果推广到满足开集条件的自相似集 Cawley等研究已知加倍测度的拓扑支撑集是稠密的,但其测了一类特殊的 Moran集上支撑的Man测度,在这度支撑可以有很小的正维数(该结论由Ⅲnois大学类Mran集的构造中,逐次迭代采用相同的压缩映Wu教授证实).据此,自然提出以下问题:在射(映射个数和压缩比相同).在强分离条件下,他个维数很大的底空间上,加倍测度是否总可以支撑们得到这类 Moran测度的点态维数公式(在几乎处在一个稠密的可数集上,即是否有这样的空间,其上处的意义下).在文献[20]中,笔者及其课题组研究所有加倍测度都是纯原子?跟这个问题对偶的一个了一类更广泛的 Moran集,在其构造中逐次采用不更困难的问题是:是否有一个维数为0的空间,其上同的压缩映射个数和压缩比,因此,无法再将问题转所有加倍测度都不是纯原子的?在文献[27]中,笔化到符号空间笔者及其课题组利用概率论中的大者及其课题组完全回答了上述两个问题数定律和01率研究这类 Moran测度的点态维数设X是欧氏空间的紧子集,为支撑在X上的得到了下面的结果:①对于满足强分离条件的Mo加倍测度,记E为X的聚点集,F为X的孤立点集,ran测度,在压缩比一致有界的假设条件下,得到该称在E上的限制为μ的连续部分,u在F上的限Moan测度的上、下点态维数公式(在几乎处处的意制为的原子部分 Kaufman等21提出:是否存在义下);②在强分离条件下,得到齐次Moan集上的R上的紧集X和X上的加倍测度μ,使得X的孤立Moran测度的上、下点态维数公式(在几乎处处的意点集在X中稠密,并且μ的连续部分仍然是加倍测义下);③在开集条件下,证明了广义自相似测度的度?文献[29]对这个问题给出了一个完整的回答,上、下点态维数几乎处处等于常数同时,给出了这即证明:对于R中每个无孤立点并且无处稠密的紧类 Moran测度的维数公式,并给出了强分离条件下子集E,及E上的任意加倍测度μ,存在一个可数集Moran集的点态维数公式进一步,在文献[21]中,F(F∩E=如),以及支撑在E∪F上的加倍测度用完全不同的方法在开集条件下推广了文献[20]v,使得v恰为μ的连续部分另外,根据上述结果,的部分结果自然提出下列问题:是否存在[0,1]上具有止Ieb(2) Moran测度的重分形机理笔者及其课题组sgue测度的紧集,其上的所有加倍测度都是纯原子首先讨论了一个与 Fibonacci序列有关的Mmn集的?在文献[29中,笔者及其课题组证明了R中任及支撑在其上的 Moran i测度,要特别指出的是,这里意具有正 Lebesgue测度的紧集上,存在非纯原子的的 Moran分形与已有参考文献中的 Moran分形是相加倍测度,对上面的问题给出了一个否定的回答当不同的,已有参考文献的 Moran集的生成过程中参考文献每一阶压缩比的个数是相同的,在笔者及其课题组的研究中,每一阶的压缩比及压缩比的个数可以是[1] Mandelbrot bB. The fractal geometry of nature [M]不同的,并且以这种结构为其支撑的测度既不是New York: W.H. Freeman and Co.. 1982Gibs的也不是自相似的.因此,不能按常规将问题2 Kolmogorov A N. The local structure of turbulence inin转化到符号空间进行处理.笔者及其课题组用与已impressible viscous fluid for very large Reynolds numbers [J]. Comptes Rendus( Doklady) de I'Aacdemie des知结果完全不同的方法证明其重分形机理满足(详Sciences de P'URSS30. 1941: 301-305见文献[22]),随后将该结果推广到一大类更一般[3 halse的非齐次的 Moran集(详见文献[23]).到目前为止,已知重分形公式成立的情形均为 Taylor意义下CHS中国煤化工P, et al. fractalcharacterization ofCNMHG1141-1151正则(即dim=Dim),进一步,笔者及其课题组对[4] Falconer K J. Techniques in fractal geometry [ M].Eng第10期吴敏:关于测度的重分形分析145land: John Wiley and Sons, Ltd Chichester, 1997.sures [J]. J Lordon Math Soc, 2003, 67: 103-122.[5] Falconer K J. Fractal geometry-mathematical foundations [17] Geronino J S, Hardin D P. An exact formula for theand applications [S 1.]: John Wiley, 1990measure dimensions associated with a class of piecewise[6 Stein E M. Harmonic analysis: real-variable methods, or-linear maps [J]. 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Proc Amer Math Soc, 2010, 138similar sets and divergence points of self-similar mea(10):3585-3589On Multifractal Analysis of MeasuresWu minDepartment of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, ChinaAbstract: Multifractal analysis of measures is known as an important research direction of fractal geometry. It hasbeen widely used in dynamical systems, turbulence analysis, rainfall modeling, earthquake analysis, and financialtime series modeling. Developing the mathematical theory and methods of multifractal measures is of utmost impor-tance. This paper briefly explains the basic ideas and methods of the multsis of measures and describesthe authors major findings and achievements in this field中国煤化工Key words: multifractal; self-similar measure; Moran measure; doublerCN MHGnsion责任编辑:李嘉