复数的理解与应用

科教纵横212年11月(下)科技创新与应用」复数的理解与应用张爱军陈本士郎奠波(哈尔滨德强商务学院,黑龙江哈尔滨150000摘要:本文介绍了复数的引入和数系的发展演变历史以及引入复数所带来的困惑,给出了与一般教科书不同的易于理解的严格的复数定义,规定建立了在复数有序实数对定义基础上的复数运算规则,推导出一般教科书定义的复数的代数形式与复数的有序实数对定义形式两者之间的转换,结合复数的有序实教对的定义,简要介绍了复数及复变函教在理论研究和工程实践等领域中应用。关键词:复数;复变函数;复数的应用复数、复变函数及在此基础上建立的,留数欧拉公式傅里叶个严格的基础上,避免一些不必要的混乱。变换、拉普拉斯变换、Z变换等无论在理论上还是在实际应用中都32有序实数对的复数运算与其代数式=a+ib之间转换有意义,人们能够利用复数a+ib在形式上解决许多在理论上和实321基于有序实数对定义的复数运算规则际应用中的问题然而对于其最基本、最核心的问题—复数a+ib对于复数z=(a,b),z2=(c,d)规定的概念及本质含义往往缺乏真正深刻地理解21+2=(a+C,b+d,乙z2=(ab)(c:d)=(a-bd,be+ad)这样选定和与1复数的引入积的定义,可以使在实数中成立的关于加法与乘法的一切运算法则在解一元二次方程ax2+bx+c=0,如果判别式△=b2-4ac<0时,出对于实数对ab)的加法与乘法仍然成现了给负数开平方,再例如在讨论是否能把10分成两部分,使它们322复数的有序实数对z=(ab)与代数式z=a+ib之间转换的乘积等于40,即对于形如(a,0的复数由加法与乘法的定义可得到x(10-x)=40→x2-10x+40=0→x2=5±√-15(a,0)+(c,0)=(a+c0),(a,0)(c,0)=(ac-0.0,0·c+a0)=(ac,0)由此可以看到一种现象那就是我们可以象计算实数一样去计x+x2=10,xx2=(5+√-15)5-√-15)=25-(-15)=40算形如(a的复数,形如0的复数与对应的实数a有同样的算术即在形式上10可以分成5+V15与5-√15这两部分,但是性质。所以可以把(a)与a等同起来这个等同关系使实数域成了复V-15的含义是什么?5+V-15到底表示的是什么?给人的感觉是数域的一个子域。由于可以把a10与a等同起来,所以可以赋予式子不可理解、无意义、想象的虚无飘渺的。不过诸如形如a+b(=a+(d与a(cd以如下意义√-1)的复数在形式上却可以解决一些实数所解决不了的问题。a+(c,d)=(a,0)+(c,d)=(a+c,d)2复数引起的困惑把负数开平方根,曾在16世纪的数学界引起一片困惑很多大按这一规则我们恒可将复数x1y举c+ad)=(ac,ad)a·(c,d)=(a,0)·(c,d)=(a·c-0.d,0数学家都不承认虚数。将负数开平方的含义是什么?a+b究竟代表什么意义?当时人了书写方便用数i表示数对0)于是得到z=(xy)=(x0)+0,y)=x“1,0)们很难理解其本质含义,而是把复数a+中的i认为是虚假的想象+y(0,)=x+的数,虚数在英语中为 imaginary number即想象的数。既然i是虚假想象的,那么在此基础上得出的a+ib(其中a,b是可以理解的实数)及其他形式来表示。为了方便,不再用数对(xy)来表示复数乙,而用其代数形式x+yi也是虚假想象的,是不可理解的,不实际的虚拟的数由此带来一系4复数在若干领域的应用列问题及困惑复数被广泛应用于理论研究和工程实践等领域,如:流体力学关于复数的定义,常见的说法是形如z=x+iy的数称为复数相对论、量子力学、应用数学、普通物理、系统分析、信号分析和电路中xy为任意的实数,满足=-1做虚数单位。依上述说法会带分析等。来许多问题:是什么意思,它是我们熟悉的实数i与一个“新”数i应用数学之间进行怎样的运算所得出的结果呢?所以上述定义方式难免使人高斯关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认。在求感到困惑,很难使人理解复数a+ib的本质解微分方程时,可以利用拉普拉斯变换将微分方程转变为代数方程欧拉公式=cs+isn在数学及信号与系统、数字信号处求解,而拉普拉斯变换也是基于复数的一种积分变换。理等领域有着广泛应用。自动控制系统现在的问题是如果“虚数(负数开平方)”确实是虚假想象的不自动控制系统的稳定性分析,经常利用系统的传递函数的极点存在的那么在此基础上建立的各种复数运算以及欧拉公式也是虚来判断系统的稳定性,而极点就在复数平面上。无飘渺的,这就难免产生这样的困惑:大家在许多领域经常使用的电路分析复数及各种复数运算是否是建立在纯粹虚假设想基础上的?在此基在求电路的正弦稳态响应时,利用相量法求解分析简单方便础上得出的结论是否真实可靠?如果是,那么是否还有继续研究下而相量分析法也是基于复数的分析方法。去的必要?如果不是,那么复数a+到底表示的是什么?“虚数”到普通物理学底“虚”还是不“虚”,它是不是确实存在的?在物理学中如力、速度加速度等向量都可以用复数来表示。用3易于理解的复数定义及在此基础上的复数运算复数表示向量,可以用两个复数之和表示两个向量如力、速度的合31关于复数易于理解的定义有人试图给予虚数以直观的几何解释即所有实数能用一条数例如力的合成,如果用复数表示向量,可以用两个复数相加表轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示示两个力的合成高斯在1831年,用实数组a代表复数a+ib,并建立了复数的复数是一个有序实数对z=(x,y),数对(xy)对应于直角坐标平面某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样。哈米尔顿对复数做出了非常重要的便于理解的定义,他指出:F+F+F+F2=F+F2+F+F,如果用复数Z表示力F,复数z2表示Z,=Fi+iFry, Z=F有b),并给出了序数对的四则运算,同时,这些运算满足结合律,交换F+F+F)=F+诉律和分配律。在这样的观点下,不仅复数被逻辑地建立在实数的基可见用一个复数的实部和中国煤化工纵轴上的础上,而且原来总是有点神秘虚无飘渺的感觉也完全消失了,因为分量,那么两个力合成的它是建立在可以理解的有序的实数对(ab)基础上的,虚数不虚,它的代数和来表示。同理,可CNMHG两个复数小应的向量是客观存在的。关于复数的有序实数对的定义可以这样来描述,称有序的实数的合成对(a.b)为复数,若用z表示复数,记作z=(ab)。称复数为有序的实数信号分析及数字信号处理在信号与系统分析中最重要的是傅里叶级数和傅里叶变换,可付anb)作为其原始定义,这样是为了使复数理论一开始就建立在一以说是信号与系统分析的核心和灵魂,其他的理论和原理都可以在科技创新与应用⊥202年1月(下科教纵横引语研究的语用修辞视觉梁玉张佟菲(哈尔滨理工大学,黑龙江哈尔滨150040摘要:引语是一种基本的言语交际现象,在所有语言的运用中都十分普遍。本文采用处于学术前沿的话语分析方法——“语用修辞法"来对引语进行分析,旨在探究不冋引语形式在不冋的语境下所完成的修辞功能和交际功能,关键词:引语;语用学;修辞学;语用修辞法1引言2语用-修辞研究方法在日常交际活动中,人们经常会转述他人的话语来表达自己的语用学与修辞学是两门独立的语言分支学科,他们之间既有联观点,如,当和一位多年不见的朋友相见时,人们会说“眼睛一闭一系又有区别睁,几年就过去了”来说明时间的快速流逝;当提出无理要求,别人语用学即系统地研究隐藏在句法语义和逻辑之下的其他暗含不答应时,人们会幽默的说“我爸是李刚来要挟对方。这种为了特意义,即语言在使用中的意义的学科。它最初起源于哲学(20世纪定的交际目的和交际效果而转述他人的话语的现象就用到了引语。30年代), Charles Morris(1938将符号学分为句法学语义学和语用人类交际的一大优势就是能够“以言论言”,因此引语是人们交际中学三类,指出语用学强调符号与使用者之间的关系。20世纪50年的主要手段。按照不同的研究目的和标准,学者们将引语进行不同代,出现了理想语言哲学和常规语言哲学两派。常规语言哲学派的的分类。但学术界上普遍采用的是 Leech& Short的分类,即将引语学者们先后提出了一些著名的语用学理论,如 Austin提出了“言语分为直接引语,间接引语,自由直接引语,自由间接引语和叙事性言行为理论”,Grce提出了“会话含义理论”。1983年, Levinson的《语语行为五类。在这五种引语中,引述者对被引述话语的介人和操控用学》标志着语用学真正成为语言学的一个分支学科。它关注特定程度按以下顺序递增:语境中的话语,它的出现拓宽了对于话语研究的途径,同时也引起自由间接引语→间接引语→自由直接引语→直接引语→叙事了修辞学界的广泛关注性言语行为修辞学是指研究语用交际艺术,即人类如何使用各种符号手段引语是构建话语的一个重要部分,也是语言使用的一种特殊形去施加影响,以取得理想的交际效果的学科。对于“修辞”的系统闸式,它的作用在于生成意义,达到预期的交际效果。国内外学者对于述最早始于古希腊哲学家亚里士多德的《修辞学》,他指出修辞的主引语的研究相当丰富,修辞学,晢学,语法学等都对此有所涉猎。早要作用是劝说,他还区分了辩证法和修辞法,并提岀了基于明理,基期的研究多集中在国外。亚里士多德可谓是研究引语的鼻祖,早在于道德和基于情感的三种劝说形式。20世纪,修辞学得到长足发展西方古典时期,他就从修辞学的角度对引语进行阐述。接着 Tobler古典修辞学开始向现什进,修辞学逐渐从对公众演说的研(1894), Kalepky(1899), Bally(1912), Norman Page(1973) Leech和究转移到更冗长,复杂的语篇上来,更注重研究交际中的话语。那么Short(198)从不同的角度对引语进行分类,并从句法和形式转换的语用和修辞又为和能被联系到一起呢?本文将从以下方面给予解角度对其进行分析。随着语用学和话语分析的兴起,国内外学者将释使用受语境的制约,一个语篇中交织不同的声音,且语篇具有“对话交际是在一定的语境中进行的,语用学和修辞学都是为交际效性"。他将引语解释为“言语内的言语,话语内的话语,同时又是关于果服务的。王希杰认为:“语言环境是修辞的生命,没有语言环境就言语的言语和关于话语的话语”。 Tannen(1989探讨了日常对话中引没有修辞。”同时,语境问题也是语用学的一个基本问题,它是所有语的会话功能,并将其称为“建构的对话”。 Halliday(1994)从语义角其他语用学研究内容的基础。因此两个学科有共同关注的话题度解释引述问题他运用“投射”对独立引述从句(即投射从句进行语境。此外西方古典修辞学是现代话语和篇章研究的鼻祖。古典修了描述,还提出“嵌入式投射”,即投射从句通过位移可发挥名词词辞学不仅研究言语的语法结构,同时还关注言语在交际中的功能组的功能。 Cappelen和 Lepore(200从哲学的角度探讨引语的逻辑言语的认知结构和言语与社会文化心理之间的联系。后来由于修辞学的衰落和语言学的兴起。传统修辞学的许多功能为语言学所取并对其进行了相关的研究。彭建武(2001),冉水平(2002张建荣(200)辞学和语用学都关注语言的使用和功能。等人对引语进行了认知分析,他们认为转述语言的意义及其意义结22二者所遵循的原则一致构可通过认知机制来加以解释。刘大为1991),方向红(1998张荣建语用和修辞遵循的最高原则都是适切或得体。所谓适切或得体(2000,等人对引语进行了语用分析,他们从言语行为的角度出发对就是被使用的言语要顺应其题旨和语境的要求,达到语境和语义相引语现象做了较为全面的考察。赵毅衡(1987)申丹(1991徐赳赳关的标准。语用学中合作原则和修辞的关系最直接最明显。其准则(1996辛斌(2007陈燕(20)等人对其进行了文体分析,阐述了引很多和修辞格有关特别是某些“反合作原则”,有时会产生积极的语在小说,新闻等特殊文体中的应用。表达效果,许多修辞手段就是以这种方式产生的,例如:反语违反了从引语研究的历史可以看出,引述现象需要从多角度进行分质量原则,排比违反了数量原则析,本文将从语用-修辞这一全新视觉对其进行研究。2.3二者的起源相同此基础上建立。在由周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶是客观存在的,不是虚构的想象的,没有丝毫的神秘感。给定某变换过渡过程中,傅里叶级数的复指数表示形式起到桥梁作用。而复数其同时给出两个实数该复数同时描述了两个独立的自由变化傅里叶级数的复指数表示形式及所利用的欧拉公式都涉及到复数量,因此,当数学或物理的问题可以由两个自由度来刻画时,原则上换:傅里叶变换拉普拉斯变换、z变换都是信号与某种类型的复指对复数而言,实数就是单一实数,它只给出了一个实数,只能描述数函数相乘经过积分或求和运算而得到,这三种变换在进行变换时个独立的自由变化量在某一时刻只能在一个自由度来刻画数学或也涉及到复数和复变函数物理的问题,所以,复数相对于实数而言,被广泛应用于许多领域总之,无论是分析信号的频谱还是分析系统的频率特性以及可以解决许多实数所解决不了的问题系统的稳定性,或者是设计数字滤波器,可以毫不夸张地说几乎到中国煤化工处看到复数及复变函数应用的身影。如果没有深刻理解复数的本[1肖荫庵北师范大学出版社,1987质,要想真正理解和掌握信号与系统及数字信号处理,那是难以想年1月第CNMHG[2]盖云英,包革军复变函数与积分变换(第二版).科学出版社,哈尔5结论滨工业大学数学系,2007年2月复数a+ib不是2+3意义上的一个真正的和,加号的使用是历[3]戴结林用复数表示平面电磁波的应用分析M安徽教育学院学史的偶然,而i不能加到a上去。复数应理解为一有序实数对(ab),报,2006年第24卷第6期26-27页,共2页282