次微分的可变分研究

第29卷第5期周口师范学院学报2012年9月Vol 29 No 5Journal of Zhoukou Normal UniversitySep.2012次微分的可变分研究侯慧慧,何中全(西华师范大学数学与信息学院,四川南充637000摘要:研究了 Banach空间中下半连续函数的 Frechet次微分、 Proximal次微分、Q-次微分和E一次微分,得到了这些次微分是可变分的一些充分条件.其结果改进和推广了相关的一些研究结果关镳词: Frechet次微分; Proximal次微分;Q-次微分;E-次微分;变分型中图分类号:O177.91文献标志码:A文章编号:1671-9476(2012)05-0032-03Frechet次微分是非光滑分析中的一个重要内容,它在非线性分析研究领域有着广泛的应用.很多作者将 Frechet次微分推广到更一般的情形,提出了 Frechet次微分、 Proxima次微分、Q-次微分、E-次微分、e-次微分等,并对这些次微分的性质和应用作了深刻的研究18.近年来,一些作者在 Asplund空间中研究了一些下半连续函数次微分的可变分性质,3-8.本文在 Banach空间中研究了一些下半连续函数的 Proximal次微分、 Frechet次微分、Q-次微分和E-次微分的可变分性质,其结果推广和改进了文献[1,3-8]的一些相关结果1预备知识定义10设X是 Banach空间,X*是X的共轭空间,f:X→R∪{+∞}.设x∈D(f),如果彐∈X·使得f(y)≥f(x)+(x',y-x),y∈D(f),则称x∈X是∫在x处的 Frechet次梯度.f在x处的 Frechet次梯度的全体称为∫在x处的 Frechet次微分,记为af(x).如果af(x)≠0,则称∫在x处是 Frechet次可微的定义2设X是 Banach空间,F(X)是X上的一族实泛函P(X)cX.次梯度a:F(X)→P(X·)对任意下半连续实泛函f∈F(X),Va,,p∈(0,∞),如果Vw∈X,满足f(u)0,使得f(y)-f(x)+o‖y-x‖2≥〈x,y-x),y∈D(f),则称x‘是∫在x处的 Proximal次梯度.f在x处的 Proximal次梯度的全体称为f在x处的 Proximal次微分,记作f(x).如果a"f(x)≠Q,则称f在x处是P-次可微的定义403设X是 Banach空间,X是X的共轭空间,f:X→RU{+∞).设x∈D(∫),如果彐x∈X使得f(y)≥f(x)+0,n>0使得f(E(y)≥f(E(x))+〈x,E(y)-E(x))-‖E(y)-E(x)‖2,VE(y)∈B(E(x),n)∈Mf在E(x)处的E-次梯度的全体称为E-次微分,记为af(E(x).如果af(E(x)≠O,则称f在E(x)处是E-次可微的引理1( Brondsted- Rockafellar定理)设X是 Banach空间,X是X的共轭空间,f:X→RU{+∞}是真下半连续凸函数,对Ve≥0,3x∈a,f(x),x∈X,则存在(x,x)∈X×X使得‖x,x‖≤√E,‖x-x'‖≤v∈,f(x,)-〈x:,x.-x〉-f(x)|≤2e且x;∈f(x,).引理231设X是 Banach空间,X·是X的共轭空间,f∈F(X)是真凸函数,则 Frechet次微分arf(x)={x∈X|f(y)≥∫(x)+(x,y-x)},y∈X是可变分的2主要结果本文研究了下半连续凸函数的Q次微分、E-次微分、 Proximal次微分和 Frechet次微分在 Banach空间上是可变分的.以下所讨论的函数在不特殊强调的情况下均为F(X)是X上的一族实泛函,P(X)CX,且∫∈F(X)定理1设X是 Banach空间,X’是X的共轭空间,f:X→RU{+∞}是E-凸集McX的下半连续E凸函数且∫是次可微的若f在x处有局部极小值则f(E(x))是可变分的证f是下半连续凸函数,由定义2,对A,P>0,Vx,t∈McX,有由 Ekeland变分原理,彐x∈B(,p)使得f(x)≤f(u),由引理1( Brondsted- Rockafellar定理)得,对ve>0,3x,y∈McX,有‖E(y)-E(x)‖≤√e,而af(E(x)={x‘∈X|38>0,n>0使f(E(y)-f(E(x))≥x°,E(y)-E(x))-8E(y)-E(x)‖2,ⅤE(y)∈B(E(x),n)CM},所以δ‖E(y)-E(x)‖2≤,又由e的任意性,有‖E(y)-E(x)‖2→0,所以,对x,y∈M当x∈af(E(x)),有f(E(y))≥f(E(x))+〈x',E(y)-E(x))因为∫在x处有局部极小值,故存在0∈af(E(x),且A≥0.由定义2知,af(E(x)是可变分的下面证明凸函数的Q—次微分、 Frechet次微分和 Proximal次微分在 Banach空间上是可变分的命题设X是 Banach空间,X·是X的共轭空间,f:X→RU{+∞},且f是次可微的,对x∈(1)如果f是凸函数,则arf(x)=a°f(x)=af(x)(2)如果af(x)≠O,则∫在x处是下半连续函数(3)x∈X是f的全局极小值当且仅当0∈f(x).34周口师范学院学报2012年9月(4)如果x'∈af(x)且x是f的局部最大值则x=0.定理2设X是 Banach空间,f:X→RU{+∞},且f是次可微的,对Ⅴx∈X,(1)若f是凸函数,则f(x)和?f(x)都是可变分的(2)若f(x)≠且x∈X是∫的全局极小值,则af(x)是可变分的(3)若a°f(x)≠,x∈a°f(x)且x是f的局部最大值,则a°f(x)是可变分的证(1)因∫是凸函数,由命题得,df(x)=a°f(x)=a2f(x),又由引理2知,f(x)在 Banach空间上是可变分的,f(x)和af(x)在 Banach空间上是可变分的(2)°f(x)≠O,由命题得,f在x处是下半连续函数,由定义2,对λp>0,Vx,w∈K,有f(v)≤inf(X)+λp由 Ekeland变分原理,3x∈B(w,p)有f(x)≤f(u),又由x∈X是f的全局极小值,则由命题得,0∈a°f(x),所以λ≥0,于是a°f(x)是可变分的(3)x∈a°f(x)且x是f的局部最大值,由命题得x=0.同(2)证明得,a°f(x)是可变分的定理3设X是 Banach空间,f∈F(X)是下半连续真凸函数,且f是次可微的,则对y∈X了f(x)和?°f(x)是变分的.即af(x)={x’∈X|彐a>0使得f(y)-f(x)-8y-x‖2≥(x‘,y-x)},∈X|f(y)≥f(x)+〈)+0(y-x)这里1证f是下半连续真凸函数,由引理1( Brondsted- Rockafellar定理)对e>0,3x,y∈X,有‖y-x‖≤√e,所以,对a"f(x)={x∈X|彐δ>0使得f(y)-f(x)-8‖y-x‖2≥〈x,y-x)}有δ‖y-x‖2≤又由ε的任意性得δ‖y-x‖2→0.对af(x)={x‘∈X|f(y)≥f(x)+(x',y-x)+o()}有Iim0(由Vy∈X,arf(x)={x‘∈X|f(y)≥f(x)+(x,y-x)},得af(x)=0f(x)=a5f(x)又由引理2知,af(x)在 Banach空间上是可变分的,则af(x)在 Banach空间上也是可变分的.所以,f(x)和∂f(x)在 Banach空间上是可变分的.参考文献[1] ENOT J P. Variational Subdifferential for Quasiconvex Functions[J]. Optim Theory & Appl, 2001(1):165-171[2]郭兴明.下半连续函数的 Proximal-次微分与广义中值定理[J].数学物理学报,1998,18(3):324-329[3] MARTINEZ-LEGAZ J E, SACH P H. A New Subdifferential in Quasiconvex Analysis[J]. Conv Anal, 1999(1):1[4] THIBAULT L. Sequential Convex Subdifferential Calculus and Sequential Lagrange Multipliers[J]. Soci Appl Math1997(4):1434-1444.[5]李成林,孔维丽,黄辉E一凸函数的次微分[门.云南大学学报:自然科学学报,2006,28(5):369-373[6] GEOFFRO M, LASSONDE Y M. Stability of Slopes and Subdifferentials[J]. Set-valued Anal, 2003(11):257-271[7] CARRASCO-OLVER D, FLORES-BAZAN A F. On the Representation of Approximate Subdifferetial for a Class ofGeneralized Convex FunctionsLJ]. Set-Valued Anal, 2005,13:151-166[8] MICHEL P, PENOT J P. A Generalized Derivative for Calm and Stable Functions[J]. Differ Integ Equa, 1992(5)433-454.Variational study on the subdifferentiationsHOU Huihui, HE Zhongquan( School of Mathematics and Information, China West Normal University, Nanchong 637000, China)Abstract: In this paper, subdifferentiations of Frechet, Proximel and Q-subdifferentiations and E- subdifferentiationin Banach spaces are studied. It is obtained that some sufficient conditions about the subdifferentiations are variational. Thepresent results improve and extend some known results in the literatureKey words: Frechet subdifferential; Proximel subdifferential: Q- subdifferential E-subdifferential variational