Desargues命题的应用

第18卷第3期四川理工学院学报(自然科学版)Vol. 18 No. 3JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY OF2005年9月SCIENCE ENGINEERING( NATURAL SCIENCE EDITION文章编号:1673-1549(2005)03-0091-03Desargues命题的应用宋占奎(湖北十堰职业技术学院基础部,湖北十堰442000)摘要:由 Desargues命题和 Desargues逆命题证明了三点共线或三线共点的问题。还应用这两个命题解决了轨迹问题与求定点问题及作图问题。关键词:透视轴;透视中心;三点形;三线形; Desargues命题; Desargues逆命题中图分类号:O13文献标识码:A要用 Desargues命题和 Desargues逆命题去解决问题其关键是如何找出两个三点形或两个三线形,若经分析找到三点形或三线形,则问题就解决了。下面通过实例来说明 Desargues命题与 Desargues逆命题在解题中的应用1预备知识定义1平面内不共线的三点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形,平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线形。定义2如果两个三点形对应边的交点共线,则所在直线叫做它们的透视轴;如果两个三点形对应顶点的连线共点,则公共交点叫做它们的透视中心。这时两个三点形称为透视的。定义3平面上4点,其中无3点共线,构成一个四点形。每个点叫做顶点,每两点的连线叫做边通过不同顶点的两条边叫做对边,对边的交点叫做对角点,2对角点的连线叫做对角线,3对角点构成对角三点形。Desargue命题两个三点形对应顶点的连线交于一点,那么,对应边的交点在一直线上。Desargues逆命题两个三线形对应边的交点在一直线上,那么,对应顶点的连线交于一点。2应用举例2.1应用 Desargues命题证明点共线例1已知ABCD为完全四点形,△XYZ为它的对角三点形,设XY与AB和CD分别交于P、L;YZ与AD和BC分别交于S、Q;XZ与AC和BD分别交于M和N。求证:P、Q、M共线;S、L、M共线;P、S、N共线;Q、L、N共线。证明如图1,在△ABC与△XYZ中,AX×BY×CZ=D,由 Desargues命题可图1完全四点形ABCD与其对角三点形XYz中的点共线结构图知: ABxXY=P、 BCxYZ= Q ACx XZ=M三点共线;中国煤化工在△ADC与△ZYX中,∵ AZX DYCNMHG收稿日期:20050505作者简介:宋占奎(1947-),男,陕西大荔人,副教授,主要从事应用数学研究四川理工学院学报(自然科学版)2005年9月CX=B,由 Desargues命题可知: ADX ZY=S、 DCx YX、 CA x ZX-M三点共线;在△ZYX与△BCD中, BZX CY x DX=A,由 Desargues命题可知: BCxZY→Q、 CDxYX=L、BDX ZX=N三点共线在△ABD与△YXZ中,∵ BXXDZXAY=C,由 Desargues命题可知:AB×XY=P、 ADXYZ=SBD×ZX=N三点共线22应用 Desargues逆命题证明线共点例2直线AB与CD交于U,AC与BD交于V,UV分别交AD、BC于F、G,BF交AC于L。求证:LG、CF、AU交于一点证明如图2,在△AFL与△UCG中,对应边FL与CG,LA与UG,AF与UC分别交于共线的三点B、V、D。根据 Desargues逆命题知: AUxFC x LG=0。例3设两三点形ABC与DEF为透视的,BF与EC,CD与BA,图2三线形AH与UC对应顶AE与DB分别交于K,J,I。求证:D)BC,EF,J共点。2)三点点的连线LG与CF及AU共点O形K与ABC,DEF都透视。证明如图3,设三点形ABC与DEF的对应顶点连线交于P现考虑三点形BCD与EFA,令 CDx FA=J; BDXEA=; BCXEF=X则∵BEⅹ CF X DA=P,∴根据 Desargues命题知:J,I,X共线。即JxBC×EF=X在三点形BDF与EAC中,令 FB x CE=K, BDX EA=,DFXAC=Y,则∵ BE XDA X FC=P,∴根据Des命题知:K,I,Y共线,即 KI X DF X CA=Y。在三点形FAB与CDE中,BF×EC=K,FAⅹCD, AB X DE=Z,图3线BC、EF、』共点X及三点则: FC X AD x BE=P,根据 Desargues命题知:K,J,Z共线,即形K与ABC、DEF都透视结构图KJXAB X DE=Z。但X,Y,Z共线,(因三点形ABC与DEF透视)所以三点形KJ与ABC,DEF都透视。23应用 Desargues逆命题求轨迹例4设有一变动三角形,其三边通过共线的三定点,其二顶点分别在二定直线上移动,求第三顶点的轨迹。解如图4,设三定点P,Q,R在直线t上,△ABC的顶点A,B分别在定直线m,n上移动,而m,n交于O,连接OC,当A,B分别在m,n上移动到D,E时,C移动到F,即△ABC移动到△DEF,:ABDE=Q, BC XEF=P, AC X DF=R。三点在定直线t上,由 Desargues逆命题知:O,C,F共线。点F在OC上,即C点的轨迹为过O点的直线图4变动性△ABC第二顶24应用 Desargues逆命题求定点点C点的轨迹CO结构图例5已知OX,OY,OZ为三定直线,A与B为二定点,其连线通过O点,R为OZ上的动点且RA,RB交OX,OY于P,Q。试证:PQ通过AB上一定点证明如图5,设R在OZ上变动到F时,连接 FA X OX=D;连接FBxOY=E。在△ADP与△BEQ中, DPX EQ-O, APX BQ=R, ADX BE=F。∵O,R,F三点共线。: AB X DE X PQ=S,由Deus迎命题nPQX AB=S,当F在OZ上变动时,E在OY上变动,D在定通过 AB x PQ-S,故PQ通过AB上一定点SH例6设A,B,C为不共线的三点,P是过C的定直线上的一动点,AP与BC交于X,AC与BP交于Y,求证:XY通过AB上的一定点图5PQ通过AB上证明如图6,当P在过C点的定直线r上移动到F时, APX BC=X,AC定点S的结构图第18卷第3期宋占奎: Desargues命题的应用BP=Y, AFx BC=D, AC xBF=H。XY→DH,这时可以看作把△PXY移动到△FDH,∵FP×HYXD=C,∴它们三对对边的交点 FDX PX=A, HFx YP=B, DHX XY=E,则由 Desargues命题知:A,B,E三点共线,∴ XY X AB=E25应用 Desargues命题作图例7在平面上已知二直线a和b,此外还晓得不在a,b上的一定点P,试问不用先定出a,b的交点,如何用直尺作直线通过P及该交点。解如图7,在a和b二直线之外任取一点O,过O引出三条直线um,n,图6XY通过AB上图7通过点P及点axb的直线PA结构图ituxa=Q, uxb=B; nx a=R; nx b=c;定点E的结构图PQxm=S,PBxm=D, SR X DC=A,那么PA就是所求的直线。这是因为△PQB与△ARC合乎 Desargues逆命题的条件。例8设a,b,c,d为平面内四条直线,不用先定出交点cxd与axd,试作一直线过这两交点解如图8,连接axcb×d得r,在r上另取一点O,过O引m,n, axc=B, xd=G, cxm=A, dxm=F, anc, bxnHCA X HF:=P,同样可得Q,PQ即为所求。事实上,△ABC和△FGH满足 Desargues命题的条件。从而推得P∈(axb)(cxd)直线。同样Q∈(axb)(cxd)直线。即PQ为通过交点axb与cxd的直图8通过交点axb与cxd线的直线PO结构图参考文献:梅向明,刘增贤,林向岩.高等几何[M.北京:高等教育出版社,1983.[2]朱德祥.高等几何M北京:高等教育出版社,1983[3]钟集.高等几何[M北京:高等教育出版社,1983[4]方德植,陈奕培.射影几何[M,北京:高等教育出版社,1983.I5]陈启旭,王大淦,林达坚,等.高等几何四M,福州:福建人民出版社,1983.[6][美]·艾利斯编射影几何的理论和习题M胡宗慎,周国新,项正清等译.上海:上海科学技术出版社,1987Application of Desargues PropositionSONG Zhan-kui(Dept. of Basic Courses, Shiyan Technical Institute, Shiyan 442000, China)Abstract: By Desargues proposition and Desargues converse proposition, we can prove the problem ofthree point sharing one line and three line sharing one point; by the application of this two propsition, we cansolve the problem of trajectory and fixing point and plottingKey words: axis of homology; centre of the perspectivity; three-point shape; trilinear form; Desarguesproposition; Desargues converse proposition中国煤化工CNMHG