按极限设计连续梁的优化设计

工程钩按极限设计连续梁的优化设计戴烽滔,尹邦信,赵明波(西南科技大学土木工程学院,四川绵阳621002)[摘要]介绍了用正多面体方法对按极限设计的连续梁进行优化设计,从而节省材料,使连续梁的设计达到更经济的目的。[关键词]极限设计; 连续梁; 优化设计; 正多面体[中图分类号] TU323. 3[文献标识码] A极限设计就是在已知荷载的情况下去选择构件的尺寸。综上述,按极限设计连续梁的优化问题的数学模型可以-般情况下按极限设计的连续梁只注重了梁的安全性,而没表述为:有从经济的角度去考虑设计,这样势必造成了材料的浪费。min V = V(X)(2)经过优化设计的连续梁不仅可以满足安全的要求，也能节省s.t g;(X)≤0 (j= 1,2.,-s)1材料达到经济设计的目的。2 优化方法.1数学模型的建立目前,工程结构优化设计的优化方法已经有很多,这里本文介绍的连续梁的优化设计是寻求各梁的合理截面介绍--种较适合复杂问题优化的方法-正多面体法,下尺寸，使其总体积最小。其大致的思想是先根据梁上的荷面简单介绍此方法在本问题中的应用。载用单元集成法计算出各梁单元的内力,然后在满足承载(1)根据给出的满足约束条件g;(X)≤0的截面尺寸初力条件和其它限制条件的情况下，搜索出使体积最小的截始值Xo和初始边长1,构成一个以Xg为形心的边长为I的初面尺寸。始正多面体。记各顶点为:X ,.,...从x。出发,求出第1.1设计变量一个顶点X的各分量:连续梁中各梁的长度根据建筑使用要求是不能改变的，影响连续梁总体积的主要因素就是梁的截面宽度和截面高x=Xy+√2(N+1(j = 1,2.,..N) .度。连续梁中截面宽度和截面高度的数目是相同的,而且都上式中N = 2(m +n),下同。等于连续梁中的梁单元数。设某连续梁中的梁单元数是n,再从第- -个顶点X出发,求其余N个点X(i = 2,3,..则取设计变量如下:n+ 1)的各分量:X = (:x2*.x.x. ,*...[Xu -VN+1-1,(j = .,..i- 2,.N)其中划,。表示各梁单元的截面宽度;u2,Xy =V2N..x..表示各梁单元的截面高度。X,-N+1 +N-1,(j=i-1)1.2目标函数J2N以连续梁体积最小为最优设计的标准,可以建立如下目式中Xg表示正多面体第i个顶点的第j个量。标函数:(2)根据式(1)计算形心点X。处的目标函数值V。=V(X) = Zlxxmn(1)V(x,)(3)利用单元集成法计算连续梁各梁单元的内力,判定式中:1为各梁单元的长度。正多面体各顶点X(i = 1,2...N+ 1)的取值是否满足约束1.3约束条件条件g;(X)≤0,如果全部不满足约束条件则转第(9)步,否对于- -定材料的连续梁其截面尺寸必然要受使用要求和则转第(4)步。规范的限制，只能在一定的范围内选取;其次,对于一定材料(4)计算满足截面尺寸约束条件的各顶点X(下标h表的连续梁它的承载能力也是可以根据相应的强度条件和实际示满足约束条件的各顶点的标号)的目标函数值V,找出其工程的要求确定,而根据单元集成法计算的梁单元的内力应中函数值最小的点X,及其相应的函数值V;:该在它的承载力范围内。这样就形成了相应的约束条件:中国煤化工nV(X)g;(X)≤0(j= 1,2,..sYHCc N M H G则转向第(5)步。其中:s为全部约束的个数。1.4 优化表达式[收稿日期]2004 -09-2966四川建筑第25卷2 期2005. 4构。(5)沿X。X力向进行搜发。记x”=Xo,λ°" =x,r。"X'y-Xq +λnj-λJ (j- 1,2...)= V,H=X"-xX(O) ,V”= V,用k= 1,2.-- ,依次检验新如果X';处的目标函数值V",≥V。,则转向第(6)步,否试点X”= XD + kH的情况。先由单元集成法计算梁单元内则转向第(5)步进行平移。力,如果x°)的取值能够满足约束条件g;(X)≤0,且x{°点(9)进行精度检验,如果t≤e(ε为预先给定的精度)，处的函数值V“”=V(x)满足凹< ,则- -直检验下终止搜索,输出形心X。及相应的目标函数值v。,此时X。的取去,直到找到满足上述条件的最大h = km ,然后将正多面体值就为优化后连续梁截面尺寸，V为总的连续梁体积。否则，沿X。X方向平移(见图1),使x" =X(0) +km H成为平移后将正多面体各顶点X(i = 1.2...N)向形心移动- -半距离，的正多面体的形心X。。平移后的正多面体各顶点的坐标分量使正多面体向形心收缩,收缩后正多面体各顶点的坐标分量X'g按下式计算:按下式计算:X'y =Xy+hk_.H .(j = 1,..N) .x"。=之(Xg +X)(j= 1,2..N)令V。= V“D ,转向第(3)步。再令t =0.5t,转第(3)步。3例题、X本方法适合各种材料的连续梁的优化设计,本文列举一个钢筋混凝土连续梁的算例。有一个4跨连续梁,其几何尺省寸和荷载情况如图3所示。截面尺寸初值都为0.2 mx0. ssm,混凝土等级为C20。X好100k年20kN/m圈1正多面体的平移BAcAD+↓3m↓3↓泗↓3m↓↓G”Xi團3连续梁荷载情况目标函数:>x，她V= xx..约束条件:梁端最大负弯矩M。≤200 kN . m,梁跨内最大正弯矩M。≤150 kN梁剪力V;≤150 kN,梁的截面寬度x≥0.18 m根据使用要求还可以在约束条件中加人其他条件,为了圈2正多 面体的旋转简便起见,这里没有全部列出。上述不等式中的M、V为单(6)找出正多面体的所有旁心X42 ,..,-.X2.2..由于元集成法计算出的连续梁的内力,相应的右边的数值是根据旁心X...是顶点X关于形心X。的对称点,因此其各坐标分工程的要求所确定的梁单元抗力。优化前连续梁所需混凝量计算如下:土体积为2.2 m' ,优化后所需混凝土体积减少为2,093 m' ,XN1j =(N+2)Xq -2X(j= 1,2,-N)比优化前节约了4. 86%。先对各旁心处的取值X1.由单元集成法计算各梁单4结束语元内力,然后判定是否满足约束条件g,(X)≤0,如果全部都本文在传统设计的基础上,介绍了按极限设计的连续梁不能满足则转向第(9)步,否则转向第(7)步。的优化设计的数学模型和求解模型的正多面体方法。模型(7)计算满足截面约束条件的各旁心x点处的目标函简洁,正多面体方法适合工程结构,具有很好的收敛性,精度数V..找出最好旁心xn及其相应的目标函数值Vn:也能满足工程要求,从而使设计安全、经济。但是本文的方Vn = V(Xn) = minV(X.)法与工程实际还有一定的差距,有待完善。如果Va≥V,转向第(9)步,否则转向第(8)步。参考文献(8)用Xn代替x,并以V。代替V%,作多面体的翻转(见图2)。翻转时只变动与最好旁心点Xn所对应的顶点X,(I =能的线化设H[M)弯等教育出版社,1987.中国煤化工j等教育出版社, 1988.L-N_) ,其它N个顶点保持不变。将X用其关于其它N个顶[3]MCHCN M H出版社,1986.点所决定的超平面的对称点X”,代替。新顶点X,的个坐标分M].清华大学 出版社，四川建筑第25卷2期 2005. 467