环形弹子球动力学性质研究

第22卷第6期山东科学Vol 22 No 62000年12月SHANDONG SCIENCEDee.2009文章编号:10024026(2009)06000904环形弹子球动力学性质研究裴云昌,卞洪涛,张延惠,林圣路(山东师范大学物理与电子科学学院山东济南250014)摘要弹子球作为一个理想模型可以用来描述受限边界腔中微观粒子运动的动力学特征。本文研究了介观二维偏心环形弹子球体系的动力学性质,利用相空间中的庞加莱截面分析了弹子球运动的特性,其结果可以为研究量子混沌和微腔输运提供理论指导关键词:环形弹子球;经典轨道;庞加莱截面中图分类号:0415.5;0561.5文献标识码:AThe Research of Dynamic Property On the Annular BilliardPEI Yun-chang, BIAN Hong-tao, ZHANG Yan-hui, LIN Sheng-luCollege of Physics and Electronics, Shandong Normal University, Jinan 250014, China)Abstract: Two-dimensional billiard systems have been a popular subject for exploring dynamics ofmesoscopic systems. In this work, we choose an annular billiard as example, study its dynamicalbehavior by Poincare surface of section in the phase space, which provide theoretical help forstudying quantum chaos and micro cavity transportKey words: annular billiard: classical trajectory; Poincare surface of section近年来量子点(量子台球)作为很好的理论模型,用来研究量子与经典的对应关系。在量子力学的半经典极限中,如果不研究系统的经典运动性质,许多量子性质难以深入研究。一般的二维量子台球问题是研究台球区域内部存在恒定势场的情况下其粒子的运动情况。粒子在边界上是弹性散射,在两次碰撞之间做直线运动,台球场区域的尺度小于粒子的弹性碰撞平均自由程,大于粒子的费米波长,所以可以看做自由粒子,因此台球区域的形状决定了粒子的运动是规则的还是混沌的。在理论上应用周期轨道理论和闭合轨道理论已经讨论过矩形、三角形21、椭圆等体系,这些量子台球都有一个共同的性质—有解析的本征值和本征函数,是可积体系。本文研究的环形弹子球,从量子力学上很难给出具体的解析本征值和本征函数,是一个混合体系,既有规则运动又有混沌运动。1理论方法环形弹子球由两个圆组成,如图1所示:外圆半径R=1(原子单位),内圆半径为r,内圆和外圆的圆心距为δ满足(r+δ≤R)。环形弹子球系统有两个自由度,因此需要四个相空间坐标。由于能量守恒,弹子球的运动发生在三维超曲面上3,我们可以用二维相空间庞加莱截面来描述弹子球的动力学性质。对于一中国煤化工期:200909CNMHG国家自然科学基金资助项目(10374061,1074093)裴云}(1982-),男,硕上:,主要研究橄子器件微观输运可题通讯作者: E-mail: yizhang@admu,edu,cmn10东科学2000年种特殊情况,如果6=0,这时两圆同心,不管r怎么取值粒子的能量和角动量都是守恒的体系是完全可积的。随着8的变化,体系由可积到不可积产生混沌效应。因此用一个参数δ的变化就可以研究体系从规则到混沌的运动变化特征。在本文中采用 Birkhoff坐标,在相空间中研究了弹子球与外圆的碰撞的性质根据几何关系用两个角度就可以确定碰撞点:6是和X轴正方向的夹角,a是轨道和外圆发生碰撞散射的夹角,如图1所示根据弹子球的运动特点,在相空间中利用两个坐标(L,S)描述其动力学特性,其中S=sin(a)表示台球的角动量;横坐标L=6/2m表示与外圆碰撞的归一化弧长,变化范围-1≤S≤1,-1/2≤L≤1/2。由图1可以看出弹子球存在两种类型的运动,分别用A和B来标记,如果弹子球与外圆碰撞点的坐标满足如下条件67(a)A运动b)B运动Isin(a)+sin(a-0I>r (1)意味着弹子球在下一次与外圆碰撞前R外圆半径,:内圆节径6:偏心距,0和a为两个角度坐标没有同内圆碰撞,定义为A运动,其映射方图1偏心圆环的几何图形a2=a1(2)1=6+(丌-2a0)A运动映射方程可以肴出其运动是规则的,这时相当于不存在内圆,系统就变成了圆形弹子球。如果条件(1)不满足,就意味着在下一次与外圆碰撞前先与内圆发生了碰撞,定义为B运动其映射方程:sin(B)=(sin(ao)+&sin(ao-8))/(4)B-(∞-B(a,)=rsin(B)-Ssin(a-01)6其中B是轨道与内圆碰撞反射的角度。对于B运动系统的角动量不再守恒系统呈现混池现象2计算结果与讨论图2的四个图展示了环形弹子球丰宫的动力学性质。在相空间的庞加莱截面中,S≥0.75或S≤-0.75的一些水平虚线表明粒子角动量守恒,系统是可积的,对称的分布在S=0的两侧,这时只有A映射,类似于一种冋音壁的结构,也称低语冋廊( whispering gallery)。对于S<0.75或S>-0.75这个区域,可以看到弹子球包含A和B两种运动原点(L,S)=(0,0)对应一个椭圆不动点在计算中选取r+8=0.75分别计算了r=0.7,8=0.05;r=0.6,8=0.15;r=0.55,8=0.2;r=0.40,8=0.35四组数据。从四组图中可以看出在8很小时(如图2(a),混沌区域不明显,准周期轨道比较明显随着δ的稍微增大(如图2(b),(c)),准周期轨道减少,随着δ的进一步增加,相空间中最外层KAM面破裂,混沌的岛屿也逐渐变多(如图(d),混沌特征越来越明显。图3给出弹子球在8=0和8≠0的部分运动轨迹。同心圆中,图3(a),(b),(c)表示在同心圆中运动是完全规则的,或者与内圆不相撞或者与内外圆有规律的碰撞。图3(d),(e),(f)表示只要内外圆圆心稍微偏离一点,其粒子的运动就不再规则除非像(c)中粒子没有与内圆碰撞满足A映射方程,在相空间中对应S≥0.75的区域。对于(d)中的运动轨迹中国煤化工司中对应于(L,S)=(0,0)周围的椭圆区域CNMHG第6期裴云昌,等:环形弹子球动力学性质研究r0.6/80.l01·:-=-10.5040.20.00.204-0.50-.250000.250.50(a)r=0.7,S=0.05(b)r=0.6,=0.151004603v00o0.50-0.250.0250.500.50.250000250.50(c)P=0.55,=02(d)P=0.40,6=035图2弹子球运动的相空间图b图3弹子球在同心和偏心环中的部分运动轨迹3结论由以上分析,当δ=0时,两个圆为同心圆,弹子球的能量和角动量都保持不变,所以当我们保持内圆半径r不变,弹子球的运动随着δ的变化而变化,对于偏心环形弹子球,系统是不可积的,其运动在相空间中分为三个不同的区域,一是严格的可积部分说明弹子球和内圆没有相撞,二是弹子球有选择的和内圆或外圆相碰,三是弹子球随机的与内外圆相碰,即完全不规则的运动,呈现出混沌的特征,这对于我们进一步研究经典和量子的对应以及微观体系混沌的动力学性质打下一定的中国煤化工谕运实验正在进行,我们期待进一步进行比对研究,以促进理论与实验的HCNMHG山东科学2009年参考文献:[1]陆军,杜孟利从量子谱到经典轨道:矩形腔中的弹子球[J].物理学报,2004,53(8):2450-2453.[2]高峰洪正平,赵文丽,林圣路.正:角形弹子球体系的半经典分析[J].山东师范大学学报,2005,20(1):32-35[3]徐学友,张延惠,黄发忠林圣路杜孟利二维椭圆量子台球中的谱分析[J].物理学报,200,54(10):4538-4542[4]ESPINOZA ORITIZ J S and EGYDIO DE CARVALHO R. Energy Spectrum and Eigenfunctions through the Quantum SectionMethod [J]. Brazilian Joumal of Physics, 2001, 31(4):1-8.[5]GOUESBET G, MEUNIER-GUTTIN-CLUZEL S, GREHAN G Periodic Orbits in Hamiltonian Chaos of the Annular Billiard[J]Phys. Re,E,2002,65:1-18[6]BERRY M V. Regularity and Chaos in Classical Mechanics Illustrated by Three Deformations of a Circular Billiard [J]. Eur J.Phy.,1981,(2):91-102[7]DORON E, FRISCHAt S D. Semiclassical Description of Tunneling in Mixed Systems: Case of the Annular Billiard[ J]. PhysRev.Let.,1995,75(20):3661-3664[8]HENTSCHEI M, RICHER K. Quantum Chaos in Optical Systems The Annular Billiard [J]. Phys. Rev. E, 2002, 66: 1-12.[9]BOHIGAS 0, BOOSE D, EGYDIO DE CARVALHO R Quantum Tunneling and Chaotic Dynamics [J] Nuclear Physics A, 1993560:197-210[10]ROBINETT R W. Energy Eigenvalues and Periodic Orbits for the Circular Disk or Annular Infinite Well[J]. Surface Review andLetter,1998,5(2):510-526[11]SAITO N, HROOKA H, FORD J, VIVALDI F, WALKER G H. Numerical Study of Billiard Motion in an Annulus Bounded by Nonconcentric Circles[ J]. Physica D, 1982, 5(2-3): 273-286[12]DEMBOWSKI C, GRAF H D, HEINE A, HOFFERBERT R and RICHTER A. First Experimental Evidence for Chaos-assistedTunneling in a Microwave Annular Billiard[J]. Phys. Rev. Lett., 2000, 84: 867-870[13 ]HOFFERBERT R, ALT H, DEMBOWSKI C, et al. Experimental Investigations of Chaos-assisted Tunneling in a MicrowaveAnnular Billiard [J]. Phys. Rev.E, 2005,71: 1-21征订启事《山东科学》(双月刊)是山东省科学院主办的自然科学综合性学术期刊,面向省内外科研单位、高校和各大企业的科技工作者,旨在及时报道自然科学各学科在基础和应用研究方面具有创新性高水平、有重要意义和学术价值的最新科研成果,已被国内多家大型数据库收录。本刊为双月刊,逢双月末出版,2010年定价为6元本,全年36元,欢迎订阅本刊联系地址:山东省济南市经十路东首科院路19号山东省科学院《山东科学》编辑部邮编:250014电话及传真:(0531)82605310中国煤化工CNMHG