边界元角点问题的重节点法分析

2006装甲兵工程学院学报2006第20卷第4期边界元角点问题的重节点法分析张秀珍陈强(1.装甲兵工程学院机械工程系,北京100072;2.第二炮兵装备研究院,北京100085)摘要:应用重节点法处理三维弹性力学角节点问题,釆用等参变换插值逼近的方法离散边界积分方程,解决了由于角节点表面力不连续带来的方程求解困难问题。算例分析结果表明,该方法具有操作筒单,计算方便,求解结果满足计算精度的要求等优点,尤其在角点存在应力集中场合更具优越性。关键词:重节点法;角点问题;非连续边界元;等参变换中图分类号:0242.2文献标志码:A文章编号:1672-1497(2006)04-0096-04Analysis of Boundary Element Angle Problemwith Nodes Superposition MethodZHANG Xiu-zhen CHEN Qiang(. Department of Mechanical Engineering of the Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, ChinaEquipment Research Institute, Beijing 100085, China)Abstract: Superposition of nodes is put to use for the analysis of three dimensional elastic mechanics angleproblem. A method is introduced to deal with boundary integral equation of 3D-BEM. Isoparametric conversion and interpolation approach is used in this process. Nodes on the angle location take on discontinuity superficial force, which result in solution is difficult. With this method, it is solved. This methodwith a great deal of merits such as simple operation, convenient calculation and accurate result. It is predominant especially in such situation that stress convergence appears on angle position.Key words: nodes superposition method; angle problem; discontinuity boundary element; isoparametric conversion0引言纹问题,它的局限是要对奇异点单元进一步细分,增大了工作量36。对于三维问题,对内插函用边界元法分析结构复杂、几何形状不规则数的修正将增大工作量,局部单元的细分以及影物体、以及接触问题、裂纹间题等是工程上常用响系数的计算也将降低计算效率,使得求解复到的方法。同有限元法不同,边界元对元素间物杂化理量连续性的要求是不必要的,因而在工程上得笔者以三维弹性力学问题为例,采用三维等到广泛应用。由于非连续边界元可以很好的处参元离散边界积分方程利用重置节点法处理三理几何角点和边界条件不连续问题,因而在边界维问题角点表面力不连续问题。通过对几何形元分析中被广泛采用2。在二维弹性问题中对状的微小修正在重点配置表面力的分量使得于角点问题多采用非协调元法,它适用于处理复总中国煤化工相等,从而解决了杂边界以及高应力集中问题4,特别是处理裂由CNMHG的方程求解困难收稿日期:200509-17作者简介:张秀珍(1974-),女,山西寿阳人,讲师,硕土第4期张秀珍等:边界元角点问题的重节点法分析问题。该方法操作简单,计算效率高,能够满足N(1,2)=(1-6)(1-s62)e=5,7计算精度的要求边界积分方程及其离散化N(51,2)=1(1-52)(1-r61)e=6,8三维弹性体的边界积分方程为(不计体力作N(5,5)=N-2(M+N)用)N(5,)=A·-1(N+M)C,(P),(P)=U,(P,Q)t,(e)drN(s;,)=N·-1(M+N)T(P, Q)u(e)dr,式中C(P)与P点处几何形状有关,当P处边N(6,)=N-2(N+M)界光滑时,C(P)=6,当P处边界非光滑时(5,52)=A(1+1)(1+52)表面力基本解取极限将得到不同的结果T(P,Q)和U(P,Q)为三维弹性力学的式中r,51分别表示第i个节点方向和2方Kelvin解向的局部坐标分量。弹性体内点应力计算公式为将(3)式代人边界积分方程(1)中,得到离散a,(P)=D(P,Q)T(Q)dr的边界积分方程为C(P)3(P)Sy(P, Q)Uk(Q)dr∑∑式(1)和式(2)往往只能对于几何形状和受φ(6i,52)1J,52)d)r"(Q)力形式简单的情况给出解析解,对于一般问题需利用数值方法求解。为了对式(1)和式(2)进行U(P, Q)x边界元分析,将物体边界离散为N个单元,在每d(5,5)1J(61,5))(Q),(5)个边界元素上对几何采用八节点等参变换的插式中1J(6,)1为单元上的面力变换雅可比值函数逼近,边界单元的离散模式如图1所示。系数。x(Q)=∑M(51,52)x对每个配位点沿三维弹性体边界进行积分可以得到边界元分析的代数方程组H(Q)=∑中(,)n利用(6)式,考虑边界条件后,解线性代数方程4(Q)=∑v(5,52)r组,可得各点的位移和面力,在代人内点物理量计算公式,便可确定内点物理量值设,x,a“分别表示单元局部编号为b,c的点的位移、坐标、面力分量2角节点上的面力不连续问题其中当节点位于非光滑边界上(角点或棱边)时中国煤化工CNMHG图1八节点单元等变换98装甲兵工程学院学报第20卷发生表面力不连续,这就意味着表面力为未知也就是说,先按重节点法生成HG矩阵的时,对应角节点建立的方程数少于所求的未知参元素,然后将B、C节点的相应元素H3,HC加到量数。对于这类角节点表面力不连续问题,本文A节点相应的元素上,G矩阵不变。这样A作为采用重节点法。设单元J和J+1在公共节点Q未知量被求解出来。有一不等于零的夹角a,并且2单元都位于位移或混合边界上此时,公共节点的未知量个数大3算例及分析于3,而问题总的未知量个数大于3N,如图2(a)例1:材质相同的两弹性立方体接触,如图3所示。为了建立起足够数目的方程,剖去Q而以所示,其中A(30mm×30mmx10mm),B(20A和B代替Q成为单元J,+1的节点,如图2mm×20mmx10mm),弹性模量E=1×103(b)所示。点A和点B距点Q点的距离取单元边MPa,泊松比υ=0.2,摩擦因数μ=0,均布载荷q长的001~0.1倍,因此可以认为它们3点的位=1×104MPa移相等。由于在点A和点B至多可以建立6个方程,从而保证了总方程数目不会少于总的未知量数目。对于每一个力点可列出下面的方程HAH。H图3两立方体接触模型主要节点(如图4所示)的计算结果对比见表1,其中应力单位为MPa。文献[7]采用三角形[…G、GGc…]{l(7)常数单元,A体划分84个单元,252个节点,B体划分56个单元,168个节点;笔者采用4~8可变节点二次元,A体划分35个单元,55个节点,B由于A=B=c,将未知数a来代替uB、uc,合体划分25个单元,33个节点,方程数目明显减并系数,可得方程少。本文法向应力值与文献[7]的值接近,切向[…H+H3+GeGe…]{日图4接角区上部分节点40+(+D中国煤化工CNMHG(a)具有3个以上未知量的节点Q(b)剖去角点Q后的边界面图2角节点模型第4期张秀珍等:边界元角点问题的重节点法分析应力值优于文献[7]的解。考虑摩擦影响时,接触区略小于忽略摩擦的接触区,法向应力和切向应力略大于忽略摩擦时的法向应力和切向应力。F0.6表1主要节点计算结果比较参数本文结果文献[]结果.H女理论解法向力t(节点15)17.555×10法向力r(节点21)12.847×1034.102×103002040.60.81.012法向力t(节点29)8.500×108.430×103切向力r(节点15)2.632×10图6接触面压力分布切向力r(节点21)1.601×102.118×10切向力r(节点3.3598.9×103结论例2:两实心圆柱体非线性接触问题:已知本文用等参插值逼近离散边界积分方程,在两圆柱半径R=10cm,长l=20cm,弹性模量E对角点问题的处理方面拓展了二维弹性问题的=2×103N/m2,泊松比υ=0.3摩擦因数μ=0重点法,将它应用于处理三维弹性问题边界条件圆柱顶部受均匀线载荷q=50kN/mm2作用。不连续问题,即用重节点法解决三维角点表面力考虑对称性,取2个半圆柱作为计算模型,不连续问题,构造了新的刚度矩阵,并通过数值如图5所示,在下半圆柱的底面施加刚性约束算例表明了该方法的有效性与可行性。每一个半圆柱的表面分成28个8节点单元,共计有172个节点。计算结果与理论解的比较见表参考文献2。图6为接触面上沿接触半径的压力分布。可[1 evelyn J. Use of discontinuous boundary elements for frac.以看出,计算结果与理论解吻合得很好。ture mechanics analysis[ J]. Engineering Analysis with Bound2“ Elements,19033[2] Rego Silva J J, wrobel L. C. F. A family of continuous/eiscontinuous three dimensional boundary elements with application to acoustic wave propagation[ J].Int. J.numer.Methodseng,1996,36:1661-1679[3] Blandford G.E. Two-dimensional stresstation using the boundary element method[ J].Int.J.Num[4]姚振汉钟晓光边界元法中边界变量的确定及误差的直图5计算模型见度量[J].华中理工大学学报,1989,17(6):288294[5] Blandford G E. Two-dimensional stress intensity factor compu表2圆柱接触时最大接触压力Pn与接触半径rtations using the boundary element method J]. Int. J. Num.Herz解本文解Meth.Eng,1981,17:387404接触区半径r/cm2.400[6]申光宪,肖宏,边界元法[M].北京:机械工业出版最大正压力Pn/MPa1322.48社,1998[7] Garrido, J A, Foces A, Paris F. An incremental procedure forStruct,1994,20:201215中国煤化工CNMHG