信号奇异性分析

1232电子5信总?报2:3物并几. S。(0)= N。，即覆益支撑T所需的δ网坐标立方体个数，而H有幂定律So(q) xδ-T'nI.这里定义:+(q) = SIPnsn 0处达到，则有d(f(x)- aq)/da= 0,求导得到q=d()/do5)再由(3)式得r(q) = f(a()) - qa(q)6)若a作为q的函数可微，则dr(g)/dq = (d/da)(dn/dg) -“- q(da/dg)(7)代入a=a(q)由(5)式得a(y) = -dr()/)图1 Weierstrass 曲线-1图2 Weierstrass 曲线. 2我们对多重分形谱作进一步的.分析可以得知，当q = 0时,有Ss(0)=Ns，故由(6)式(b)r(0) = f(a(0)) =分形维数，当(5)式df(x())/dar二0，对应了/[(a)的最大值.再考虑q= 1，有0.6 6Ss(1)=1.因此，T(1)=0, 利用(5)和(6)式，f(a(1) =a(1)，并H d(1))/da= 1, 再由(2)式有图3多重分形 谱的比较(a) Weierstrass 曲线1 (b) Weicerstrass 曲线- 2》= 4(1))17)(6)↑inS。(Q) =9)故在9=1时&(5, 假定当δ→0时这个导数收敛，则由(4)和(9)式可得a(1)= .. dr(1)_ Jim 2i3 (y()()1uus(r,)(8)(10)dq 8-40Ino表达式(2:(1))(u(r()()))称为由8-刚立方体给出测度μ的划分熵，其中的和是对刚的边长为δ的立方体所取.它表示由μ度量的关于点τ的信息平均总量.它由了解包含点x的立方体Hy1T,)()给出。因此a(1)即关于尺度8的熵称为u的信息维数,对应于曲线f(a)-o斜.率为1的点。f(a)-ar 的左半部分对应于q> 0的情况，右半部分对应于q<0的情况，q≈0时f(n(0))便是集合的分形维数.中国煤化工MYHCNMHG1231电.予与信息孕R23 t3多重分形在图像处理中的应用多五分形可以从图像中取出许多有价值的特性，同样仪靠单一的维数难以对图像进行详尽的描述，许多图像虽然有相同的维数，但对于人眼来进它们完全是不--样的，因此，运用多爪分形便成为图像处理的必要工具.我们]将图像放置在二维空间中来考虑。在三维空间(r.y.z)定义{测度[2l:U5(V)(8)=E 1:(r.y.z)|(11)其中灰度值:= f(r,y)，V, 为某- δ网坐标立方体(这里为小立方体)，1,(1y二) 为1或0当(r,y.2)在1r;(x,y.z)中或不在，其中像素点个数N= DxD.对于图像中的像素点(r.9).如果其对应的灰度值为z，那么我们将高度为z;的小立方性中所有的小立方体均填充为1，来表示该像索点对三维空间(x, y, z)的填充能力，于是便得到- .个图像在三维空间的分布，测度仍然用(11)式.对图4中的SAR图像进行处理后得到的多重分形谱如图5.(a)山丘1 (b)山丘2 (c)海面 1 (d) 海面24 SAR園像2.82从图5中可以看出，对于相似的图(d+像如海面1,海面2有者相近的维数分278别是2.77和2.8，并且其位置和分布也27 I很相近.再如山丘1,山丘2维数分别是2.64和2.672也很相近，并月f(0)的位置和分布也很相近.而对于不大相206同的图像如山丘1,山丘2和海面1.润2162面2，它们的维数大小、位咒、分布等2.538都显得有较大差别。可见名重分形确能从不同的图像中提取出各白不同的纹理2.21 ..35 2.43 2.5 2.65 2.75 2.87 2.90 .特征例;而从相似的图像中提取出相似的纹理持征，在这里。维数表示图像对图5 SAR 图像多重分形谱三维空间的填充能力.多重分形刻画了无序动力系统的行为特性,测度的选择是进行多重分形分析的关键，多重分形谱则能有效地区分不同类型的图像，显示了不同图像各自不同的纹理特征，从我们对SAR图像的分析可以看出，单一的分形维(这里我们使用的是计盒维数)在一一定 程度上刻画r事物的统计特性，它衡量了不规则集合对空间的填充能力，事实上，单一的分形维数已经被用来进行中国煤化工_MYHCNMHG11期乔应军，倍号奇异性分析1235雷达微弱目标信号的识别与检测，从强噪声背景中提取出目标信号，用维数来区分EI标和噪声背尿的不同从而提取出目标信号来.尽管如此，在复杂的图像纹理分析中，单一的维数仍不能进行细致深入的分析，而多重分形则弥补了单-维数的不足，对于分形维数相同的集合仍然能有效地区分识别，获取信号的信息。与传统的信号处理的方法相比，分形理论更能有效方便地描述复杂信号的分布，不需要进行复杂的运算和了解信号精确的信息.4结论对奇:异性的分析是信息处理的有效途径，因为它携带厂信号许多重要且有价值的信息,而传统的方法(如傅里叶变换)对此却难以发挥大的作用，在本文中,新的研究工具--多重分形任信号整体奇异性分析上显示了它的优越性，这是以往传统方法所不能比拟的。Lipschiz 指数a和多重分形谐f(a)构成了信号奇异性分析的总框架。在局部奇异性分析中，可以用Lipschiz指数a来刻画信号的不规则性和奇异性，而当信号中存在大量的奇异点的情况下(即整体奇异性)，使得求解a变得非常图难而无从下手,这时多重分形便成为我们解决问题的新途径.它不仅被用于-维信号处理，而且也被用于二维图像的识别和检测以及纹理特征的分析中，因而，多电分形将会是信号奇异性研究的重要工具.参考文献川[英] Kenncth Falconer著曾文曲，刘世耀泽，分形几何-数学皆础及其应用，沈阳，东北大学出版社出版，1993,第17童.2] A. langi. W. Kinsner, Singularity processing of zonstationary signal,IEEE Trans.on Electricaland Computer Engineering, 1996, 2(3), 687 -691.3}) F. Arduini, S. Fioravanti, D. D. Giusto, A multifracta!- baserd approach to natural scne aunalysis,IEEE Trans. on Acoustics Speech aud Signal Processing, 1991, 4(6): 2681 -2684.ANALYSIS OF SIGNAL SINGULARITYQiao Yingjun(Dept. of Electrun. Eng., Beijing Univ. of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083. China)Abstract Singularity often caries the most important information of signal, so it is vahableto study the singularity of signal. Because of the linitation of classical approaches (such asFourier transform) in processing the singularity of signal; this paper applies multifracta! theoryto analyse the singularity of signal, and presents an algorithn and some fnndamental resultswhich indicate that ulictial theory is really a useful tool for analysing signal singulariry.Key words Lipschiz exponent, Mutifractals, Signal singularity乔应军男、 1975年生， 硕士，主要从事航空电子综合化、 讣算机网络、图像处理等方面的研究[作.中国煤化工MYHCNMHG