广义导数及其应用

第18卷第3期广西右江民族师专学报2005年6月JOURNAL OF YOUJIANG TEACHERS COLLEGE FOR NATIONALITIES GUANGXI广义导数及其应用刘孝书(河南商丘师范学院数学系,河南商丘476000[摘要]文章提岀了一种广义导数的概念,得到了广义导数的运算法则,以及连续函数的中值定理关键词]广义导数;中值定理;函数;连续;梯度分类号]O172.1[文献标识码]A[文章编号]1008-8113(2005)03-0011-05Generalized Derivatives and Its applicationLⅠ U Xiao=sht(Department of Mathematics, Shangqiu TeachersAbstract: In this paper, we introduce a new concept of generalized derivative, and derive its opeational rules and the mean value theorem of continuous functionsKey words: generalized derivative; mean value theorem; function; continuation; gradient引言与广义导数的概念20世纪70年代相继出现了各种广义导数的概念,其中较著名、较有应用价值的是加拿大的 Clarke.F.H的局部 Lipschitz函数的广义梯度,但这个概念也有许多局限之处:首先是对局部 Lipschitz函数才能定义广义梯度,对一般的连续函数无法定义;其次是在函数F(x)的可微点x的广义梯度∂F(xa)不一定和普通导数致。本文利用上、下极限的概念提岀的广义导数的概念克服了这两个缺点,且和广义梯度一样具有许多良好的性质。同时,由于利用了上、下极限,使广义导数的运算及证明都比较简单,本文只讨论一维的情况。定义1设函数y=f(x)在点x。的某个邻域内有定义,记lim f(f(x)-f(x0)(a,B可为士∞);当a、B为有限数时,称闭区间a,为函数y=f(x)在点xo的广义导数,记作Df(x0)=[a,B,这时广义导数为有界集合;当a、B中至少有一个为土∞时,也称区间(a,B)为f(x)在x的广义导数记f(x)在x。处的广义导数为Df(x0)=(a,B),但这时f(x)在x0处的广义导数为无界集合。f(x)在x。的广义导数在某种意义下也体现了f(x)在点x。处的变化率的变化范围。由于上、下极限一定存在且唯一,故f(x)在x。点的广义导数一定存在且唯又因为limf(x)存在的充分必要条件是lim f(x)= lim f(H中国煤化工CNMHG[收稿日期]2005-03-14[作者简介]刘孝书(1957~),男,河南商丘人,河南商丘师范学院数学系副教授,主要从事函数论的教学与研究《广西右江民族师专学报》2005年第3期故当∫(x)于点x处在普通意义下可导时,f(x)的广义导数就和导数相等,这时闭区间退缩为一点。而 Clarke的广义梯度没有这个性质。当∫(x)在点x。有连续的导数时, Clarke的广义梯度、本文的广义导数和普通意义下的导数三者都相等例1函数F(x)=x|在x=0不可微。 Clarke意义下的广义梯度为OF(0)=c{-1,1}=[-1,1由于1mF(x)-F(0)=-1,m2)-F(0)=1故F(x)在x=0的广义导数为DF(0)=[-1,1],和 Clarke的广义梯度重合。c sIx≠0例21函数F(x)=00在x=0是可微的,且F(0)=0容易求出F(x)在x=0的广义导数DF(0)=0,则可求出F(x)在x=0的广义梯度F(0)=[-1,1例32函数F(x)在x=0不可微。容易求出F(x)在x=0的广义导数DF(0)=[-1,1]但F(x)在x=0的任一邻域都不满足 Lipschitz条件。故在x=0不存在广义梯度。我们知道,f(x)在x。可导的必要条件是f(x)在x。连续。有趣的是,广义导数也有类似的性质定理1.1若函数f(x)在点x。的广义导数为有限区间,则f(x)在x。连续证明用反证法假设f(x)在点x。处不连续,则存在某个E>0,无论正数δ多么小,总存在x,0s当8→0时,→∞,这和limf(x)-(xn),mf(x)=1(x)均为有限数矛盾这就证明了f(x)在点x。连续。2广义导数的性质利用上、下极限的性质,可得到广义导数的运算法则。这些法则和普通导数的法则极为类似。关于上、下极限的性质可参看文献[4]。定理2.1设u(x),v(x)是x的两个函数,C为常数。u(x),v(x)都定义在x的某邻域内,且u(x),v(x)的广义导数都为有限区间1.若Dn(x0)=[a1,b],Dv(x0)=[a2,b2]则D[(x0)±v(x)]cDn(x0)±Dv(x0)其中闭区间的加、减运算规定为D(x0)+D(x)=[a1,b1]+[a2,b2]=[a1+a1,b1+b2],[a2,b2]=[-b2[a1,b1]-[a2,b2]=[a1,b1]+(-[a2,b2])=[a1,b]+[-b2,-a2]=[a1-b2,b1-a2其中常数c与闭区间的乘法规定为.,ca-do. H中国煤化工CNMHG式中a=min{ca1,cb},b=max{ca1,cb1}3.D(uu)(x0)cD(x0)·v(x0)+u(x。)·Dv(xa)区间的运算规定同1、2,从而刘孝书广义导数及其应用Dn(x0)·v(x0)+u(x)D(x)=[a1,b1](x0)+(x0)[a2,b2]=[a,b]其中{a1v(x)+u(x)a2,a1v(x)+u(x。)b2,b1v(x0)+(x0)a2,b1v(x0)+u(xo)b2}中最小者为a,最大者为b。4.设(x0)≠0,则Dn(x0)·v(x0)-(x0)D(x0)]其中区间的运算规定同1、2注:区间运算的规定可使广义导数运算法则和导数相似,但并不影响我们论证的正确性证明1、2、3、4的证明方法相同都是利用上、下极限的性质,现只证3,其余略去。(xo+△x)v(xo+△x)-u(x0)v(x0)u(x0+△x)v(x0+△x)-v(x0)]+v(xo)[u(xa+△x)-u(x0)]+v(x0)应用上、下极限的性质及极限存在时上、下极限就等于其极限值,又由u(x)在x的连续性(定理1.1),令x→0,取下极限得lim A(uo)(xo)> min( u(xoa, +u(r)au(o)a +u()bi. u(ro)b, +u(ro),. u(rob, +u(xo) a y对上极限也有类似结果,故得证定理2.2(反函数的广义导数)设g(y)在点y的某邻域内连续,严格单调且D(y)=[a,b不含原点O,则其反函数y=f(x)在对应的点x0(x0=g(y))的广义导数为Df(xn)其中规定证明由y=1x及上、下极限的性质得△lim△ylir故Df(xn)=r11定理2.3(复合函数的广义导数)设函数y=f(u)与u=g(x)可以复合成函数y=f(g(x))。若Dy(x0)[c,d,Df(a)=[a,b(其中u0=g(x0)),则复合函数y=f(g(的广义导数为Df(g(x0))cDf(u)·Dy(x0)=[a,b]·[c,d其中闭区间[a,b]与[c,d]的乘法规定为其中a= minas,ad,bk,bl),P=max{a,adl,bk,bkl〉。证明由上、下极限的定义知:>0,当△a充分小时有a-≤A/≤b+,当△>0时,a△e△u≤△f≤b△u+e△u(当△u=0时,这个不等式也正确中国煤化工当△x>0时,,一≤A/≤bA+CNMHG令△x→0及ε的任意性,得im Af《广西右江民族师专学报》2005年第3对△a△x的其他情况(如△u≤0,△>0等)也可得m会≤m(,m,k,类似地可得1imA≥min(ac,a,k,l}。3中值定理本节把微分学的基本定理—中值定理进行推广定理3.1( Fermat引理)设函数f(x)在x。的某邻域内有定义,且在点x取得局部极值,则0∈Df(x。)证明不妨设f(x)在点x。取得极大值故当x0(8<0)则f(x)在(a,b)内严格递增(递减)证明首先由定理1.1可知∫(x)在(a,b)内连续,任取).r,0则g0≥lim≌Fim+im(-K.会)=im一Km会E=a1-KP2→K考虑其他情况(如K<0,b2<0,取上极限等)也可得K≥min(1,2,B,B},Kmaxa1 BI B1即K=f(b)=(a)∈Df(注当f(x),g(x)在(a,b)上可导时,Df(),Dg()都缩为一点,定理3.4就是 Cauchy中值定理我们知道,在微积分中有这样的结论:若函数f(x)在区间I上的导函数f(x)有界,则f(x)在Ⅰ上是Lipschitz函数.但反之不真然而,利用广义导数我们有定理3.5函数f(x)在区间Ⅰ上的广义导数Df(x)为有界集合的充分必要条件是f(x)是区间I上的Lipschitz函数证明必要性:任取x1,x2∈I,x1≠x2由定理3.2知彐k>0,使≤k,即f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x故f(x)在I上满足 Lipschitz条件充分性:由f(x)是区间Ⅰ上的 Lipschitz函数,即存在k>0,使对Ⅴx1,x2∈I都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,即可得到Df(x)C[一k,k],x∈I,证毕。nx≠0例证明函数F(x)=在x=0的任一邻域都不满足 Lipschitz条件。证明注意到当导数存在时,广义导数和导数重合,当x≠0时,DF(x)=F(x)=50xco在x=0的附近无界,故由定理3.5知,f(x)在x=0的任一邻域都不是 Lipschitz函数利用广义导数,还可得到相应的隐函数存在定理,限于篇幅这里不再讨论[参考文献[1 Clarke, F. H. Generalized gradient and applications[J. Transactions of the American Math Society, 1975.20(5): 247-262[2] Clarke. F. H. On the inverse function the orem[J]. Pacific Journal of3]陈文源,范先令.隐函数定理[M].兰州:兰州大学出版社,1986.[4]沈燮昌.数学分析M].北京:高等教育出版社,1986THa中国煤化工CNMHG【责任编辑:邓崇亮】