时滞反馈Liu系统的动力学行为

第5卷第3期2007年9动力学与控制学报Vol. 5 No. 316726553/200705(3)2244JOURNAL OF DYNAMICS AND CONTROspe.2007时滞反馈Li系统的动力学行为王琳倪樵黄玉盈(华中科技大学力学系,武汉430074)摘要研究了具有时滞反馈项作用的1系统.文中针对两种典型的时滞反馈情形,着重分析了时滞参数对系统动力学行为的影响研究结果表明,当Liu系统存有时滞反馈时,其动力学行为将变得异常丰富;时滞参数的改变可引起系统复杂的动力学演化此外,数值计算还发现了时滞Liu系统的虫洞吸引子关键词时滞反馈,Liu系统,混沌,吸引子统将处于混沌状态,其混沌吸引子如图1所示.引言自上个世纪60年代以来,人们对非线性系统的分岔与混沌动力学作了大量的研究,并陆续发现些重要的现象和机理.多种类型的三维混沌系统受到国内外学者的广泛关注Sma在他的一篇论文中曾指出,二十一世纪将有18类极具挑战性的数学。0°问题,其中的14类问题与 Lorenz吸引子相关,故对图1iu混池系统Lorenz系统和类 Lorenz系统的研究工作具有良好的应用前景和深远的学术意义.近二卜年来,国内外学者发现∫一系列类 Lorenz系统针对这些非线性系本文采用线性DFC来研究时滞反馈对Ii系统,主要研究了其分岔与混沌现象、混沌吸引子的拓统的影响此方法源于 Pyragas的理论为此,引入朴结构、混沌同步和混沌控制等2最近,L等个线性的负反馈F()表示如下人提出一种新的类 Lorenz系统Iju系统,该F(t)=-K[u(t-r)-u(t)]系统具有三维二次型的自治常微分方程组形式其中,7>0为时滞;K=[K1,K2,K3]>0是可调节本文针对Li系统,试图分析时滞反馈对该系的反馈增益向量:;a(4)为包含[x,y,2]的控制向统动力学行为的影响由于时滞的引入,L系统的量若将时滞反馈F(2)添加到iu系统的方程右微分方程将改写成含有时滞项的形式本文将通过端,就得到一个新的时滞反馈系统其方程如下数值方法研究这一时滞反馈系统,并展示时滞Iiua(y-x)系统的复杂动力学行为=lbx-kxz5-KTu(t-T)-u(t)], 24o(3)-cz +hx2含时滞反馈的Ii系统其中为初始时间.上式的时滞系统叮由一个初Li混沌系统由以下二维常微分力程组描述)始参量中(口)定解,4(1)满足的关系为u(t=p(O, tE [to-T, to(1)若取x(L其中,a,b,c,h,h均为系统参数.已有的研究表明,中国煤化工(5)当参数a=10,b=40,c=2.5,k=1,h=4时,I系CNMHG2006-11-30收到第1稿,20070420收到修改稿第3期王琳等:时滞反馈Lu系统的动力学行为225则有系统处于典型的周期1运动若继续增大τ的取值,系统将由混沌运动重新回到周期1状态当r=0.53时,n(t-7)={y(t-r(6)系统出现了复杂的多周期形态(图3(e)).值得指出的是若进一步增大r的取值,系统出现了一种新的奇故式(3)也可写成如下的形式怪吸引子这一奇怪吸引子还可以通过相轨线图来展x=a(y-x)-k,(x(t-T)-x(t))示,其典型结果如图3(所示从相轨线可以看到这y=bx-kxz-K,(y(t-T)-y(t))(7)奇怿吸引子与“虫洞”的形状非常相似若分枥它的z=-cz+hx'-K(z(L-T)-(t))功率谱图(图4(d),可以观察到它的概周期特征2数值分析为了展示时滞反馈项对Lu系统动力学行为的影响,本文采用四阶龙格-库塔法对方程(7)进行数值计算,并固定积分步长为0.0025.数值仿真时,系统(7)的所有参数都是固定的:a=10,b40,c=2.5,k=1和h=4,但时滞τ和反馈增益K12d04”一可根据需要发生改变.此外,系统初始值取为T