Pascal定理的应用

第28卷第3期攀技花学院学报2011年6月VoL 28. No. 3Journal of Panzhihua UniversityJune 2011·基础理论及应用研究·Pascal定理的应用张三华(西华师范大学数学与信息学院四川南充637000搞要Pacl定理是高等几何的一个重要定理是研究二次曲线的一个有力工具.本文利用 Pascal定理证明 Branch定理及 Desargues定理以及探讨了 Pascal定理在几何作图和共线点等一些问题上的应用关键词Paca定理; Branch定理; Desargues定理;二次曲线作者简介张三华(1963),女四川广安人,西华师范大学副教授。研究方向解析几何高等几何1引言高等几何将二次曲线作为主要研究对象而Paca定理是研究二次曲线的一个有力工具。平面上每三点不共线的五点唯一确定一条二次曲线。已知二次曲线上每三点不共线的五点利用 Pascal定理可以作出二次曲线的其它点从而作出二次曲线以及二次曲线上一点的切线。本文利用 Pascal定理证明了Branch定理及 Desargue定理。Pacl定理是关于二次曲线的点线结合的命题,因此利用 Pascal定理可以解决关于二次曲线的点线结合问题。Pascal定理:对于任意一个内接于二次曲线的简单六点形,它的三对对边的交点在一条直线上。Pacl逆定理若二次曲线简单六点形的三对对边的交点在同一条直线上,则此六点形必内接于条二次曲线。如果二次曲线退化为两条直线,则 Pascal定理就是 Pappus定理。Pappus定理:若A,B,C和D,EF为共面二直线mn上的两组共线点,且,A,B,C,D,E,F都不是m与n的交点,若BF与EC交于G若CD与HA交于H,若AE与DB交于I则G,H,I必共线。(图1)图1)(图2)2Paca定理的应用M凵中国煤化工2.1利用 Pascal定理证明 Branch定理CNMHGBranch定理是Paal定理的对偶命题因此由对偶原则直接证明 Branch定理,也可以利用射影性第28卷攀枝花学院学报第3期质证明 Branch定理,本文是利用 Pascal定理证明 Branch定理。Branch定理:对于任意一个外切于二次曲线的简单六线形它的三对对顶点的连线通过共点。证明:如图2,设l1,l2,l2,l4,l3,l构成了二次曲线r的外切简单六线形设l1与42的交点为P2与l的交点R为与l4的交点为Gl4与的交点为Q4与l的交点为S,与l1的交点为H,1,l2,4,l4,l上的切点分别为A,B,C,D,E,F它们构成了二次曲线r的内接简单六点形 ABCDEF。因此点P的极线为FA,点Q的极线CD为所以PQ的极点为FA与CD的交点L同理RS的极点为AB与DE的交点M,GH的极点为BC与EF的交点N由Pacl定理知L,M,N共线由配极原则有共线点的极线共点,即PQ,RS,GH共点。故外切于二次曲线F的简单六线形l1,4,与,4,4,的三对对顶点的连线PQ,RSCH共点。2.2利用 Pascal定理证明 Desargues定理Desargues定理是高等几何的重要定理之一,它的证明方法有:利用 Menelaus8定理证明 Desargues定理,建立射影坐标系,用代数的方法证明 Desargues定理,也可以利用立体几何的知识证明 Desargues定理。本文利用 Pascal定理证明 Desargues定理。Desargues定理以O为透视心的两个三点形ABC与AB'C,其三对对边的交点共线。证明:如图3设AB交AB'于L,BC交B'C'于M,CA交CA'于N,AC交B'C于S,AB交CC'于TAB交OS于U,AB交OS于V对于共线点O,B,B和A,C,S,由Paea定理的特殊情况 Pappus定理知os与AB的交点U,OC与AB的交点T,B'S与CB的交点M共线同理对于共线点O,A,A'与B,C,S有0S与B'A'的交点v,OC与BA的交点T,AS与CA'的交点N共线,对于共线点A,B',T与VV,S有AS与ⅥT的交点N,AU与V'的交点L,B'S与UT的交点M共线即三点形ABC与AB'C的三对对边的交点共线(图3)2.3 Pascal定理及其递定理在几何作图中的应用解析几何与高等几何都把二次曲线作为主要研究对象 Pascal定理及其逆定理是高等几何的重要定理,也是与二次曲线有关的命题给定确定二次曲线的五点如何作出这条二次曲线?已知二次曲线上一点如何作出二次曲线在此点的切线?如果仅用解析几何知识是无法解决这些问题,利用 Pascal定理及其逆定理,这些问题就会迎刃而解。例1已知每三点不共线的五点,求作此五点确定的二次曲线。解如图4设已知五点分别为P1,P2,P3,P4,P3,设P1干A计A任作直线b,设P2P3交直线b于MPP4交直线b于N;连结Pm、P1N,设PM中国煤化工定理的逆定理知P为五点P1,P2,P,P,P所确定的二次曲线上的一点CNMH次曲线上的其它点,从而作出由五点P1,P2,P3,P4,P5所确定的二次曲线第28卷张三华:Pacl定理的应用第3期(图4)(图5)例2已知二次曲线上一点,求作二次曲线在此点的切线。解如图5,在已知二次曲线上任取不同于已知点P的四点A,B,C,D,对于二次曲线的内接六点形PPABCD,作PA与CD的交点L,AB与DP的交点M连结LM,LM与BC的交点为N连结PN由 Pascal定理知PN就是所作的切线2.4利用 Pascal定理解决共线点问题在初等几何中,有关共线点的命题是较难证明的,与二次曲线有关的共线点命题更是如此, Pascal定理是关于二次曲线的点线结合的命题,因此利用Paca定理能够比较简捷地证明有关二次曲线的共线点问题。例3内接于圆的两个三点形ABC与AB'C中,AB交A'B于P,BC交BC'于Q,CA交CA于R,求证P,Q,R共线。证明如图6,由题意知简单六点形ABCA'B'C内接于圆,简单六点形ABCA'B'C的三对对边的交点为PQ,R,因此由Paca定理知PQ,R共线(图6)(图7)例4设两个四点形ABCD与A'BCD都内接于一条二次曲线,AB交A'B于P,BC交B'C于Q,CD交C"D于R,并且P,Q,R在一条直线上,DA交DA于S,求证S也同一条直线上。证明如图7设CA交CA于T由已知有内接二次曲线的简单六点形的 ABCA'B'C三对对边的交点为PQT,因此由 Pascal定理知P,Q,T共线。内接二次曲线的简单六点形ABCA'DC'的三对对边的交点为SR,T,由Paca定理知S,R,T共线,又P,Q,R共线,故P,Q,R,R,T共线。参考文献[1]朱德祥初等几何研究[M]北京:高等教育出版社1985[2]梅向明等高等几何[M].北京高等教育出版社,2000H中国煤化工[3]何青Pacl和 Desargues定理证明的另一种表述及其极限(7):142-144.CNMHG科学版),207[4]魏雪梅邓坤贵 Pascal定理和 Desargues定理的一个推论及其应用[数学通报,200,(2):39-40