Realized GAS-GARCH及其在VaR预测中的应用

第18卷第5期管理科学学报Vol. 18 No 52015年5月JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINAMay 2015Realized gas- GARCH及其在VaR预测中的应用王天一1,黄卓(1.对外经济贸易大学金融学院,北京100029;2.北京大学国家发展研究院,北京100871)摘要:论文提出了新的波动率模型 Realized GAS- GARCH,并推导了该模型的QMIE参数估计.该模型结合了 Generalized Autoregressive Score(GAS)模型的基本思路,把 Realized GARCH模型扩展到包含厚尾分布的情形,并采用了与厚尾分布参数相依的冲击响应函数.与简单的厚尾分布扩展模型相比,这种设定对于回报率中的极端值更加稳健.在基于沪深300指教高频数据的实证结果中,使用GAS冲击响应函数的模型对“在险价值”VaR的预测能力显著的超过了传统的厚尾 Realized GarCh模型关键词: Realized GARCH;冲击响应函数;厚尾分布;ⅤaR中图分类号:F830.9文献标识码:A文章编号:1007-9807(2015)05-0079-080引言差设定基于正态分布,后继研究9指出这种设定并不能拟合数据中的偏峰厚尾现象,并提出用从 Andersen等开创性的工作开始,越来越 Skewed+分布改进模型对厚尾分布拟合能力的方多的文献已经证实,使用高频数据可以获得波动法.文献[9]同时将冲击响应函数的幂指数放松率更精确的度量,并引发了相关领域的大量研为待估参数结果显示幂指数大部分都小于2,即究2-.由于 GARCH模型在传统波动率建模中原始的二次型设定存在设定问题的出色表现,如何将已实现测度与 GARCH模型以上现象显示, Realized GARCH模型设定冲进行结合成为研究中的热点话题对于两者的击响应函数对于收益率冲击的响应强度过大类结合,最直接的做法是将已实现测度以外生变量似的现象在日数据 GARCH模型中也常见.其的形式引人 GARCH模型,即 GARCH-X模型这背后的机理在于,不同尾部厚度的分布下同样大种方式虽然简单,但缺乏针对已实现测度的建模部分因此模型无法进行多步预测为了解决这个小的冲击其罕见程度不同分布的尾部越厚对于问题研究者提出了将已实现测度纳入 GARCH同样大小的冲击而言,其罕见程度越低③因此尾框架的 Realized garch模型,实证研究9表部厚的模型其冲击响应强度应该比尾部薄的模型明,相比传统的 GARCH模型而言,应用已实现测小如果对于任何分布都采用同样的函数设定,必度的 Realized garch模型对波动率建模预测能然会导致某些分布下,模型的冲击响应强度过度力有显著的提升原始的 Realized garch模型误或者不足实际上,现有的 GARCH模型最早都是①收稿日期:2012-09-20;修订日期:2013-07-01基金项目:国家自然科学基金青年科学基金资助项目(71201001;71301027);教育部人文社会科学青年基金资助项目(12YJc790073;l3Yc790146);对外经济贸易大学中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(14YQ05);对外经济贸易大学学科建设专项经费资助项目(XK2014l通信作者:黄卓(1978-),男,湖北武汉人,助理教授.Emil: zhuhuang@nsd.pk②国内已有文献5-6]比较了已实现波动率和 GARCH模型波动率之间的异同但是将中国煤化工③罕见程度可以用零均值检验的P值衡量,值越小说明冲击大于给定值的概率越小,CNMHG个实现值x而言,分布尾部越薄,对应的P值越小,即越罕见管理科学学报2015年5月针对误差服从正态分布设计的,对服从厚尾分布方程(3)将已实现测度与条件波动率经由测量方随机变量建模时(如收益率数据),其冲击响应强程形式联系起来由于u1作为测量误差进入整个度过大是必然的因此,对 GARCH模型进行分布模型系统,讨论分布设定的时候总假设u1~N(0上的拓展仅将误差分布修正成厚尾分布是不够1)间由于已实现测度的计算只基于交易时间的的,还需要将模型本身的函数形式做相应的修正.收益率而条件波动率对应的是从一个收盘到下正是基于这种思想,文献中提出了 generalized ar个收盘的收益率,因此并不要求φ=1.函数toregressive score(GAS)模型框架在这个模型r(z)描述了波动率对于收益率的冲击响应⑦框架下,数据进入模型的函数形式是依分布不同本文选取已实现核估计2作为模型使用的而不同的④已实现测度在存在微观噪音的情况下,高频收益借助这个新框架,本文在 Realized GARCH模率之间会存在相关性,传统已实现波动率(real型下推导出与“误差服从厚尾分布”这一假设相 ized variance)的计算方法忽略了这种相关性,从适应的冲击响应函数,从而完善了基于厚尾分布而会导致偏误类似于异方差与序列相关稳健Realized GARCH模型。,并得到了 Realized( HAC robust)标准差的计算方式已实现核估计GARCH模型族内的一个全新的模型— Realized的计算方法为GAS-GARCH模型这种模型在误差服从正态分布时退化为原始的 Realized GARCH模型与简单RK=2E((4)修正误差分布的模型相比,新模型对于极端值的其中,K(·)是核函数( kernel function).这里沿袭反应更弱由于收益率序列常存在极端涨跌状况,文献中常用方式,使用 Parzen核作为核函数;能否准确建模冲击响应,合理应对极端值,对于波H是核函数的带宽已实现核估计相比传统的已动率模型在风险控制方面应用的效果至关重要实现波动率,因其专门针对高频收益率之间的相以沪深30指数高频数据为例进行实证探讨,结关性进行设计削弱了市场微观噪音导致的估计果显示:1)对计算“在险价值”( value-at-risk)ⅤaR偏误而言,使用 Skewed+分布可以得到更好的结果金融资产收益率数据中普遍存在着偏峰厚尾2)对极端风险状况,使用GAS冲击响应函数的模的现象,虽然 Realized GARCH模型结构本身能产型对VaR的预测能力显著地超过了简单分布拓生一定的峰度和偏度,但仍不足以拟合数展下的厚尾 Realized GARCH模型9据9.为此,沿袭传统 GARCH文献解决这个问题的思路,使用 Skewed-t分布1作为收益率的分布1模型基本设定bz原始的 Realized GARCH模型设定如下-2(1-5h1(1) f(zI v, s)In h, =w+Bln h-1+ yIn xr-1bc 1+bz +a'In x,=5+ln h,+T(z)+ou.(3)2(1+其中,x是已实现测度;x1,u1~N(0,1)且相互独立方程(1)和(2)合起来就是 GARCH-X模型,且④本文称这种性质为“分布相依性”( distribution dependent)⑤由于vaR预测更依赖于分布的设定,因此 Skewed+分布的偏态性质会产生重要的影响,这一点与厚尾 Realized GARCH模型对美国股市数据建模的结果不同⑥将测量误差改为厚尾分布并不能改变结果Realized GARCH文献[8中亦称r(4)为杠杆函数,因为其设定上允许波动率对收益YH中国煤化工CNMHGOT(x1)对杠杆效应进行了描述第5期王天一等: Realized GAS- GARCH及其在vaR预测中的应用4Ac(n-2E;,其中7-1由标准t分布定义,1=eb=√1+3A2-a2E1服从t分布.从而2(-2)e~F(丌(n-2)I从而其中,ν是自由度;控制了分布的偏斜,当>0时分布右偏,当《<0时分布左偏,当=0时模型(v-2)e'+1+b,/vBetal2’2退化为标准t分布(13)f(z)=27r(21)+:=2)(0由B分布性质有S,=E(VV原始文献中[8]设定冲击响应函数为二次型U+1t/44(1/2+v/2)2(1/2+v/2+1)形式2r(z1)=d1z1+d2(z2-1)(14)其自然拓展是放松函数的幂指数,让数据决定合适的幂次从而GAS更新项为dC(v,,d))(8)g(z, h,)=V,S其中C(p,,d)=E(1z2|“)对于给定的分布是个(n+1)x常数由于测量方程有常数项,函数设定中真正起(v-2)+z作用的部分是81z+821x14,易见,这一部分并不随模型中误差分布的选取不同而发生本质由于小括号内的系数不依赖于h,从而无妨设更变化为构建分布相依的冲击响应函数,将GAS模新项为型的思想运用到 GARCH模型上,设残差分布为(v+1)z2g(zu, h1,(>2)(16)f(x1,h2),并将h,视为数据驱动的时变系数构建h2的对数似然函数由于g(x1,h1)可以写成Beta分布,因此应用这种L=In f(z, h,)(9)函数形式进行更新的 GARCH模型又被称为Be求解MIE的 Fisher Scoring算法自然给出了系数 ta-t-GARCH10.当→∞时,误差分布趋向正态分h,的更新方程布,此时亦有g(x,h1)→2-1,即模型退化称为1=h+E(-L"(x1,h1))U(z1,h)(10)原始的 Realized garch模型.也就是说,只有当h,+g(z, h)误差是正态分布时,二次型冲击响应函数才有其如果误差服从标准t分布,方差方程式为对数线性形式n=∞p(2)2,其中z是标准t分布按合理性类比原始模型冲击响应函数的设定方式,照式(10)的算法可以写出适用于标准t分布的GAS型冲击响应函数up(4)x+21-2r(z1)=d1D= aIn p(r, Ih,2-I[(u+1)U+1)22(a-2中国煤化工(17)(12)虽然GAS型CNMHG设定仍然为82管理科学学报2015年5月2,但是由于系数随着冲击绝对值增大而减小,最aIn P(r, I h)终效果和二次型设定是不同的.从下面的模拟可以看出,式(17)定义的冲击响应强度明显比二次bz,(h, )+ay型低1+p-2针对 Skewed-分布计算过程略微复杂,这里22/bzb给出简要的步骤:化简得到对于za(υ+1)bz1(bz2+a)(v-2)(1-)2+(bz1+a)lnp(r|h1)∝h22对于z≥-a/b,计算过程完全一致仅需将1-替换ln(1+bz, (h,)为1+即可函数的形式,E(V)1-从而注意到r1=c2z1,有,=E(V)-=Var(V)-laz, (h, .,ha其中求期望的随机变量为z1故S中不包含z项ah从而GAS更新项完全由v决定由此可以得到从而有相应的g(z1,h2)表达式(u +1)(bz, +a)bz(x,)2(-2)1+[2(x≥-a/b)-1k2+(b+a)2-1=收(,a,;)m2+a)-1相应地,冲击响应函数可以写成“收盘价-收盘价”收益率(r).数据的本统计量r(1)=d1√(U,,a,b,x,)(bz2+a)+如表1d2[(,,a,b,x,)(bx2+a2)-1]模型估计结果见表2,不同模型标注意义如(21)下:N代表使用正态分布的模型,T代表使用t分虽然 Realized garch模型和随机波动率布的模型,ST代表使用 Skewed-t分布的模型,s表( stochastic volatility)模型一样拥有两个随机冲示使用GAS型冲击响应函数的模型,d表示使用击但是由于已实现测度的存在,模型参数依然可放松幂指数型冲击响应函数的模型,未标注或d的表示使用二次型冲击响应函数的模型.为节由极大似然估计( maximum likelihood estimation)得到由于z1⊥u2,对数似然函数可以分成两部分约空间,没有给出参数ω,,G的具体结果从结果上看,y在0.4左右,B在0.5左右对比传统的l(r,x;6)=y1n/八(|b)GARCH模型估计结果中 GARCH项系数远小于ARCH项系数的常见结果,此处明显变大的y显(2)示出已实现测度的在波动率预测中重要性中~1显示本文将 Realized GARCH模型中的方程(3)其中,f(z,h,)是收益率残差的条件分布;是收称为测量方程是有意义的d1<0,d2>0显示出益率数据;x是对数已实现核估计序列;6是参数的杠杆效应和文献中的一致,负向冲击导致波动向量;h由式(2)计算可得率上升幅度比正向大幂指数d<2显示二次型设本文使用沪深300指数206-03-22到定反应过度Sm油始函数的模型其自2011-03-11共1200个交易日1min的高频数由度大于三指数设定的据估计不同的模型,收益率计算方式使用常用的模型CNMHG第5期王天一等: Realized gas- GARCH及其在vaR预测中的应用表1数据基本统计量Table 1 Basis statistics for data统计量中位数方差偏度超额峰度0.248-0.4472.2153.3222.0323.8614.070表2不同模型参数估计结果Table 2 Parameter estimations for different modelsd(r,x;)0.5160.3941.047-0.170.0672087,88(0.036)(0.028)(0.018)(0.195)(0.034)0.5181.036-0.1740.1011.645(0.692)(0.814)(1.249)(3.305)(1.522)(0.335)0.990.0.0672106.75(T)(0.018)(0.034)(0.036)(0.236)(0.029)(0.333)0.4270.9790.1731.6327.9762107.98(T,d)(0.032)(0.024)(0.032)(0.019)(0.026)(0.252)(1.967)0.4332107.06(0.018)(0.022)(0.090)(0.047)(0.042)(0.929)01720.0697.840.2242124.85(ST)(0.312)(0.149)(0.181)(0.105)(0.013)(15537)(0.131)0.5120.4121.0110.1761.6427.82602232125.98(ST, d)(0.47)(0.73)(0.574)(0.520)(0.527)(0.337)(1.315)(0.319)l1.409-0.232127.72(ST, s)(0.027)(0.051)(0.032)(0.055)(0.016)(1415)(0.090)注:括号里面是标准误,未列出(N,s)是因为其与(N)等价按照模型估计的结果以t分布 Realized布那般强烈GARCH模型为基础绘制了不同函数设定下的波图2给出了沪深300指数对数波动率(用已动率对于收益率的冲击响应曲线结果如图1.图实现核估计计算)与滞后一期的收益率之间的关中虚线是原始的二次型冲击响应函数的曲线点系除散点图外,为刻画两者之间的关系对两者线是放松幂指数型冲击响应函数的曲线,实线是进行非参数回归,结果见图中实线③作为对比GAS型冲击响应函数的曲线.从结果上看,原始设定的冲击响应是最强的,放松幂指数的模型冲将二次曲线拟合的结果以虚线形式给出可见,对击相应稍弱,这和估计结果中系数d<2是对应沪深300指数而言在极端收益率情况下二次的GAS型冲击响应函数对极端冲击的响应比另曲线型的冲击响应函数与实际数据表现差距较两种设定都弱,这是因为和正态分布相比,同样的大非参数曲线和图1中的GAS型冲击响应函数冲击对于厚尾分布而言并不如对于正态分布而言更接近,进一步说明对 Realized garch模型的改那么“极端”,因此模型的反应亦不需要如正态分进是有意义的H中国煤化工⑧使用的是局部多项式平滑方法( local polynominal regression).使用非参数方法而不是CNMHG目的是为了避免多项式拟合方式带来的对拟合曲线设定的依赖84一管理科学学报2015年5月模型参数由截止到当期为止的400个交易日的数2.==二次型函数据进行估计虽然统计上看收益率的长期均值并放松幂指数型GAS型不显著异于零,但是在预测短期ⅤaR的时候均值仍然是重要的影响因素.这里对于均值的处理方式是将日收益率的均值设为22日移动平均值,直1.0观地讲,这种处理方式假设了指数存在一个月的动量这里并没有直接在均值方程式里加入常数项,而是从收益率数据中减去收益率的22日移动平均值后再估计模型参数理由是:为了准确估计冲击(a)参数,应该选择相应长一些的数据但是收益率长图1不同设定的冲击响应函数期看基本是零,对于日收益率均值的影响更主要Fig. Iesponds function for different settin的来自于短期内的信息对数已实现核估计本文使用的评价方法是vaR预测评价中常局部多项式拟合次函数拟合用的“失败频率”方法.具体操作如下:1)对于t=i,使用t∈[i-400,-1]的样本估计模型自由度参数v,偏斜参数;,并进行步预测得到h2)使用v1,a,h1,和给定的临界水平a计算出VaR (a)10vaR(a)=μ1+Fs(a;t2,)√h1(23)10008006004002000004006008010滞后一期回报率其中=∑图2对数已实现核估计与滞后一阶回报率关系的非参数回归3)令V1=lr;>VaR1},向前一步并回到步n with In(rK)on first order lagged returns骤1)一个好的aR预测值应该使得经验失败率与标准 Realized GarcH模型的mpirical failure rate,EFR)等于计算时设定的临实证效果比较界水平a由于事件V服从两点分布,故可对如下零假设H:V1~ Binomial(a)构建似然比统计量前面的讨论给出了与厚尾分布相适应的ReLR= 2ln((EFR)"(1-EFR)"7)alized garCh模型设定,从最后的示意图上看,2ln(a"(1-a))~x2(1)(24)不同冲击响应函数的区别越到极端冲击情况越明显由于VaR的预测特别依赖于模型产生分布的其中N=∑v,EFR=N/N尾部性质,因此以VaR预测为例讨论不同冲击响表3给出了VaR计算中常用的3个临界水应函数设定下, Realized GARCH模型的表现使平(10%5%,1%)的结果,包括经验失败率对用的数据同上一节,即沪深300指数从2006应的似然比统计量,以及似然比统计量对应的p03-22到2011-03-11l共1200个交易日的高值p值衡量了模型的经验失败率和设定的理论频数据⑨本文将数据分为两段,使用后面的800失败率的n个数据点做样本外评价,预测下一期vaR使用的注意义和H中国煤化工不同模型标CNMHG从图1中可见,放松幂指数型冲击响应函数与二次型冲击响应函数的差别并不大,因此没有再单独给出前者的vaR预测评价第5期王天一等: Realized GAS- GARCH及其在vaR预测中的应用85一表3不同 Realized GARCH模型一步ⅤaR预测态也需要特别考虑.不同冲击响应函数设定对于Table3 One step VaR forecast for different Realized GARCH models结果有影响特别是在极端情况下的结果影响显著使用GAS型冲击响应函数的模型其预测能力模型经验失败率似然比比使用二次型函数设定的模型强.在1%临界水(N)0.2266350.1060.3410.559平上,使用GAS型冲击响应函数的模型比使用二0.106次型函数的模型其精度有显著提高,误差从0.090.1260.7222.5‰下降到1.3‰.这说明在建模中,使用厚尾0.0980.813分布的同时应该辅以相应的分布相依的冲击响应函数以获得更好的结果模型经验失败率似然比P值(N)0.0632.4473结束语(T,s)0.0630.II80.631为了进一步拟合收益率分布常见的厚尾性0.0540.2310.631质, GARCH类模型建模时往往以厚尾分布作为a=0.01误差分布然而,厚尾分布下采用与正态分布相同模型经验失败率似然比值的模型结构会导致模型对收益率的冲击响应过(N)6.2620.0120.0183.715度.为了解决这个问题,本文在GAS模型框架下(T,s)0.0183.7150.054以t分布和 Skewed-分布为例讨论了 Realized0.0080.5530.457GARCH模型合理的冲击响应函数设定,从而得0.12l0.728到了 Realized GARCH模型族内的一类新模不同风险水平之下,使用 Skewed-t分布的模型— -Realized gAs-GARCh,完善并发展了基于型总拥有最大的p值,并且一直不能拒绝零假设,厚尾分布的 Realized GARCH模型,对于厚尾分说明 Skewed-分布模型的一步ⅤaR预测能力最布而言新模型中波动率对收益率极端冲击的响强相比之下标准t分布模型的预测能力要弱一应比单纯改动误差分布的模型要弱.为了验证改些,有时候甚至比使用正态分布的模型还差这说进模型的尾部性质,使用沪深300指数数据进行了明对于分位数预测,特别是对尾部分位数的预测VaR预测的简单实证,结果显示,对于极端风险值的而言,单独使用厚尾分布可能是不够的,分布的偏预测使用 Skewed-t分布的新模型精度最高参考文献:[1]Andersen T G, Bollerslev T, Diebold F X, et al. 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National School of Development, Peking University, Beijing 100871, ChinaAbstract This paper proposed a new volatility model-Realized GAS-GARCH, and derived its Quasi-MlE es-timator for the model parameters. In the light of Generalized Autoregressive Score( GAS)modell 33, this paperextended Realized GARCH model to fat-tail distribution with an appropriated distribution dependent impulseresponse function. Compared with the simple distribution modification, the current model is more robust to extreme returns. Empirical results from HuShen 300 high frequency data show that the Realized GARCH modelwith GAS impulse response function outperforms traditional Realized GARCH structure with fat-tail distribuKey words: Realized GARCH; impulse response function; fat-tail VaR中国煤化工CNMHG