变参数Lorenz系统的动力学特性研究

第14卷第4期南通大学学报(自然科学版)Vol 14 No 42015年12月Journal of Nantong University(Natural Science Edition)Dec.2015变参数 Lorenz系统的动力学特性研究解霞),黄洪斌2,陈翠萍1(L.南通大学理学院,江苏南通226019;2.东南大学物理系,江苏南京210096)摘要:为了研究参数漂移对混沌系统的影响,对 orenz系统的3个参数a、b和ε分别施加正态随机扰动,数值计算变参数 Lorenz a系统的解和最大 Lyapunov指数,研究系统参数受扰动的变参数 Lorenz系统的动力学行为和混沌参数区域,并和定参数 Lorenz系统的混沌参数区城作比较.计算結果表明:对处于亚稳态、周期态的 Lorenz系统施加一定的参数扰动,系统将产生混沌运动;变参数Lωrenz系统的混沌参数区域比固定参数 Lorenz系统的混沌参数区城更为广阔,文章提出的系统参数扰动法作为混沌反控制的一种新方法,能实现稳态系统的混沌化关键词:变参数 Lorenz系统;动力学特性;混沌; Lyapunov指数中图分类号:0415文献标志码:A文章编号:1673-2340(2015)04-0017-06Study on Dynamics of the Varying Parameter Lorenz SystemXIE Xia, HUANG Hongbin, CHEN Cuiping(1. School of Sciences, Nantong University, Nantong 226019, China2. Department of Physics, Southeast University, Nanjing 210096, China)Abstract: In order to study the influence of parameter shift on the chaotic system, normal random disturbance wasapplied to the parameters, and of Lorenz system respectively, and numerical solution and the Maximal Lyapunovexponent of this varying parameter Lorenz system were calculated. The behaviors and the chaotic region of varyingparameter Lorenz system were investigated and the differences between varying parameter Lorenz system and thenormal system with fixed parameters were later demonstrated. The results showed that the disturbance of parameters toLorenz system which is originally in meta-stable or periodic states can generate chaos, and the chaotic region ofvarying parameter Lorenz system is much wider than the fixed parameter system. The system parameter perturbationnethod proposed in this paper is a new way for anti-chaos controlling that achieve chaos control of the stable systemKey words: varying parameter Lorenz system; dynamic characteristics; chaos Lyapunov exponent自从1963年美国气象学家 Lorenz在模拟大气 Lorenz系统具有丰富的动力学特征,其至今仍吸对流建立的 Lorenz模型中发现混沌吸引子叫以后,引人们作更深入的研究s.系统的混沌运动是对初Lo系统便成为一个经典混沌系统.半个世纪以始条件极端敏感导致的长期不可预测的运动.通过来,国内外学者对 Lorenz方程作了广泛研究,发现计算 Lyapunov指数间、功率谱η等方法可以判断系统收稿日期:2015-05-08基金项目:国家自然科学青年基金项目(1104151);江苏省高等教育教改研究立项课H中国煤化工CNMHG作者简介:解霞(1981—),女,讲师,主要研究方向为非线性光学混沌E-mai:xiexia@mtu.edu.cn18南通大学学报(自然科学版015年是否为混沌运动.对于 Lorenz系统的混沌运动,陈R ,=Arandom (i=a, b, c)(2)关荣等人已给出明确的参数范围式中,A1表示扰动强度, random是标准偏差为1的从20世纪80年代以来,混沌控制的研究实正态分布随机数把式(1)所描述的系统称为变参现了从混沌态到稳定平衡态的控制田在90年代,数 T系统研究者发现混沌运动并不是百害无益,在很多场1.1未受扰动 L系统的基本动力学特性合混沌运动是有用甚至是必需的,如保密通信吗令A,=0(i=a,b,c),式(1)即为熟悉的生物神经活动叫、化学反应和机械系统等,动力系统的混沌化作为一个全新的问题被提出来.混沌化Lorenz系统考虑未受扰系统的平衡点,令x=y=又称混沌反控制,它实现了系统由稳定态向混沌z=0,显然,若co>1,则系统存在3个平衡点:S态的转化对动力系统施加延迟反馈可使稳定系统(0,0,0),S=(±Vb0(c0-1),±Vbo(o-1,混沌化1目前对混沌系统动力学行为的研究和混沌控-1.当a=10,b。=8时,随参数c的增大,制与反控制的研究大多是基于参数固定的系统,系统由亚稳态区经过周期混沌共存区、混沌区、倍而在很多实际过程中会出现系统的参数随时间发周期窗口区到达周期态区域,其中混沌区域为247<生改变的情况,例如激光系统或电路系统在长时co<1459(如图la所示).当取经典参数a=10,运转后的参数漂移,化学反应中环境温度的不稳bo-3,c0=28时,系统具有一个典型的混沌吸引定对系统的影响等.因此,讨论系统参数受到扰动的变参数系统的动力学行为是非常有必要的,子,其最大 Lyapunov指数(以下简称MLE)为10861本文对 Lorenz系统的参数施加扰动,主要研究系统2个非零不稳定平衡点为(±84853,±84853,27)参数受正态随机扰动时 Lorena系统的动力学行为,1.2参数c受扰时的动力学特性我们把参数受扰的 Lorenz系统称为变参数 Lorenz系统(1)取参数a=10,b=3,且A.=A,=系统固定3个参数中的2个参数,分别对系统参0.考虑动力系统演化的时间尺度,本文中数值模拟数ab或c施加扰动,研究系统状态的变化,通过计算步长取0.015,系统参数每隔001s受扰动一计算最大 Lyapunov指数间,判断受扰系统是否处于次.图1b是系统参数受到强度为5的随机扰动下混沌态数值计算的结果表明:系统参数受扰会增的MLE图该系统的混沌区域为17<0<290,比加混沌出现的可能性,使混沌参数区域增大;对参定参数系统的混沌参数区域大很多.数a、b和c的扰动都能使亚稳态、稳态系统混沌图2a给出当c=28时,扰动强度A从0增化,具有一定的实际意义大到60的MLE图结果表明若未受扰系统处在混1变参数 Lorenz系统动力学特性沌态,对系统参数施加较大的扰动,MIE增大,系系统参数受扰动的 Lorenz系统可由下列方程统仍保持混沌运动图2b给出当0=160时,扰动描述:强度A从0增大到10的ME图.当A。=0时,MLE为0.0863,系统对应倍周期窗口的二倍周期x =a-x)态(见图3a);而当A增大到5时,MLE=21261,y=cx-y-z(1)系统进入混沌运动,混沌吸引子的2个焦点与定参数系统二倍周期轨道的焦点一致(见图3b).因此其中,a=马+R2,b=b+R,c=+R本文对处在周期山中国煤化工数c稍加扰动主要考虑扰动为双边正态分布的随机函数情况,且就会使系统CNMHG扰系统处于何强度可控.扰动项表示为种状态,当扰动强度A增大时MLE随之增大解霞,等:变参数 Lorenz系统的动力学特性研究050100150200250300350050100150200250300350A=0图1MEc曲线图(a=10,b8,A。=A=0)2.0图2MLE-A曲线图20bA= 5x-y平面相图(co=160)13参数a、b受扰时的动力学特性当cn=28时山中国煤化工,图4给出系统(1)取参数42=1,0=号,且A,=0CNMHG=0时扰动从U增大到10时,系统对应南通大学学报(自然科学版)2015年的MLE;图4b给出A。=0时扰动强度A4从0增大参数a、b分别受到扰动的MLE.结果表明,对处于到4对应的MLE.可见,MLE随扰动强度A或A,倍周期窗的系统,若对系统参数a或b稍加扰动,的增加有一定的增大,但变化幅度不大,系统的混其MLE迅速增加,稳定的倍周期运动转变为混沌沌运动状态依然保持图5给出c0=160时,系统运动,运动轨迹与图3b的混沌吸引子相似1.61.60.60.51.01.52.0253.03.54.0aMLE-A曲线bMLE-A4曲线图4MLE曲线图(co=28)的3.02.5E2.0aMLE-A曲线bMLE-A曲线图5MLE曲线图(co=160)14系统参数受扰引起的混沌化的大小有关变参数 Lorenz系统的MLE比对应的定参数变参数系统定参数系统Lorenz系统的MLE大对处在亚稳态、倍周期分岔窗口、周期态运转的系统施加系统参数扰动,能使制米州稳态、亚稳态运转的系统形成混沌运动,我们把这种现象称为系统参数受扰引起的混沌化.图6的虚线表示参数为a2=10,b0-3,0=12的未受扰亚稳态系统的x-t序列图,两对称稳定点的x坐标为x,=±5416;实线表示参数受扰系统的混沌运实线为系统在动度为1=2A-05A.=10时的混沌中国煤化工动,计算混沌运动的MLE=04719.需要指出的序列虚线为anCNMHG忧系统的序列图是,系统混沌化所需的扰动强度大小与a0,b。和co图6x-t序列图解霞,等:变参数 Lorenz系统的动力学特性研究参数受双边正弦扰动,令R=A·in(ot),图Thb2其他类型的扰动给出A=5,叫=5时的MLE=c0关系曲线,系统的以上讨论的参数扰动都是双边的正态随机扰混池区域为25