数学分析测试分析

数学分析测试分析陆竞(杭州师范学院数学系，浙江杭州310012)摘要:高校扩大招生后,数学专业基础课的教学大纲是否要作修改已经是业内人士所关注的课题。华东师大与杭州师范学院等高校承担了教育部高教司(世行贷款21世纪初高等理工科教育教学改革》项目课题的研究。为此对在校生进行了一系列数学分析课程的测试。本文对其中一次测试结果作了详细分析,从中可以了解到当前数学专业学生的学习现状,对教师的教学工作有-定的借鉴作用。关键词:数学分析;测试中圈分类号:C424.74文献标识码:A文章编号:1008 - 4894(2005)02 - 0099- 04数学分析始终是数学专业的最重要的基础课经过精心设计,不涉及一般的运算能力、技巧和模仿程，数学分析的教学水平在很大程度上代表了数学性的证明,只需要思考,辨别和判断,再加上测试是基础课程的教学水平。杭州师范学院数学系早在在整个课程学完后进行的，所有的知识点都应该已1994年即对该课程进行重点建设,并于当年在省教经被测试对象掌握。测试前也不作任何复习,训练育厅组织的专家组验收评估会上以优秀的等次获得和提示工作。总之，是在没有任何事先准备的情况通过。按照课程建设所制定的大纲以及一整套教学下进行的。因此，测试的结果很说明学生掌握的程规范,在以后几年的教学实践中,取得了预期的较为度。下面对第二次测试的数据统计作简单的分析和满意的效果。近年来,随着招生规模的日益扩大,新说明。本套统考题总分100分,有极限理论、微积设专业的不断增加,报考数学专业考生的基本情况分、级数理论。发生了一-定的变化,这在各层次的高校数学专业的教师,都有较深的感受,教学中也有明显的反映。数1试题学分析的教学是沿袭原有的教学大纲和规范,还是针对当前的实际作适当改革,是我们回避不了的现(1)计算. lim(1+)".(8)实问题,而且这类问题也已引起了有关部门的关注，(2)设y = arccos√1- x,求y'. (8')由华东师大主持的,有杭州师范学院等参加的教育(3)求不定积分In xdx. (8')部高教司《21世纪初高等理工科教育教学改革》项目,将对此作出客观的评价。课题组工作的重要- -(4)求幂级数2 nx"-1的收敛半径和收敛区域,环,是检测数学分析的教学水平。为此,课题组决并用初等函数表示它的和函数. (8' )定,对整个数学分析课程的内容进行三次不同侧重,(5)设z = arctan(x - y)*,求dz. (8')不同形式的数学分析水平测试。每次测试在几个高校同时进行。杭州师范学院选择刚进人第五学期学(6)求二重积分ffe+, ded ,其中D= |(x.,y)习的数学专业85位学生作为试验样本。由于试题≤1}. (8')收稿日期:2004- 12-03xdydz + ydzdx + zdxdy基金项目:教育部高教司《世行贷款21世纪初高等理工科教育.中国煤化工教学改革》项目课题(No.1282B01011)其中.FYHCNMHG的内侧. (8')作者简介:陆竞(1958-),男 ,浙江杭州人,副教授。(8)下面是某人写的一段证明:99“因为limxn = xo,所以Ve > 0,3N,当n >教学建议:加强导数运算的训练,增加求导计N,就有1x-xo1 N时,都有xn= xo.”(3)求不定积分|n xdx. (8')上述证明和结论是否正确,请说明理由。(8')测试评估:本题满分8分,从平均分7.7分看，(9)设函数f(x)在[a,b]上无界.证明:在[a,情况算是很可以的了。这是使用分部积分求原函数b]中必存在点xo,使f(x)在xo的任意邻域内都无的典型例子。说明学生对应该用分部积分求原函数界. (8')的最基本的类型掌握得还是比较好的,但遗忘积分(10)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上常数的现象还有发生。可导,且f(a) = f(b).证明:若f(x)在[a,b]上不教学建议:增加求不定积分的习题计算量,应是常数函数,则存在x1,xz∈[a,b],使f(x1) <0,强调不定积分理论,杜绝遗漏积分常数现象.f(x2) > 0. (8')(4)求幂级数2 nx"-1的收敛半径和收敛区域，(11)设F(x) =| f(t)dt. 请问,在什么条件并用初等函数表示它的和函数。(8' )下,有F"(x) = f(x)?说明理由. (10)测试评估:本题满分8分,其实只要在高等数学(12)试给出一个在(0,1)上连续有界,但非一中学过幂级数的有关知识,那么求收敛半径和收敛致连续的函数的例子.要求说明理由. (10')区间都是轻而易举的,因为涉及的极限的计算以及可以看出测试着重于了解学生对基本概念基本在端点处的数项级数的敛散性都是显而易见的。理论及方法的掌握程度。共有85名学生参加。这次教学建议:加强幂级数概念的教学,要求学生测试反映数学分析教学中的不少问题,一些学生基必须掌握幂级数收敛半径的求法,能利用幂级数逐本功不扎实,既不理解抽象的数学概念,又不会做简项求导与逐项求积解决部分问题。单的计算题。这里有一些客观上的原因:有的认为测(5)设z = arctan(x- y)*,求dz. (8') .试与自己切身利益无关;有的抱怨没有给出复习时测试评估:本题满分8分,考查多元函数的微间等。对此,必须认真思考仔细分析才能找出原因,分,本质是求两个偏导数。由于对底与指数均是变量进而把数学分析的教学工作做好。因而于测试结束的函数的求导本来就掌握得不尽如人意,现在又是后,对结果进行统计和分析,提出了对问题产生的看多元,又是复合,又是微分,有些人难免就犯糊涂了。法,给出了教学建议。教师在多元部分的教学中,可能对求导会重视不够，也应引起主意。2卷面分析教学建议:加强多元函数的偏导数和全微分的每题得分情况见表1,具体分析如下:教学,增加这方面的作业量。(1)计算lim(1+ 2)". (8)(6)求二重积分e2++ dxdy,其中D= {(x,y)测试评估:本题满分8分,考察对重要极限的掌1 x2+ y≤1}. (8')握情况。所有参加测试者都给出了正确结果,说明最测试评估:本题满分8分,考查用极坐标变换求基本的极限还是掌握得可以的。二重积分的最基本的例子。因为所有参加测试的学(2)设y = arccos√1- x2,求y'. (8')生都给出了正确结果,有理由相信,对这类问题学生测试评估:本题满分8分,考查学生对复合函数掌握的是较好的。求导的掌握程度。应该说函数并不复杂,然而结果却教学建议:从结果看,学生对极坐标变换掌握出乎意料之外。有的连y = arccosu 的导数公式也忘得较好,这与教学中对这部分内容的正确处理有关，了,还有些链式法则已淡忘。至于结果不加绝对值符应继续收共百告的戴出中国煤化工号更是不在少数。这么基本的考题都做的不理想,当然会影响不定积分,多元微分的学习。打好基础的重THCNMHGJ|xdydz + ydzdx +要性由此可见一班。zdxdy,其中s为球面x2+ y2+ z2= 1的内侧. (8')100●测试评估:本题满分8分,只要还记得高斯公生干脆空着。其实只要把几何直观与中值定理结合式,同时注意到侧的概念,那么拿到8分没有问题。起来就不难得到结果。得分如此之低的原因与其说之所以有差不多- - 半的学生为0分,当然是因为他是Lagrange中值定理掌握得不够深人,倒不如说是们已经不知道高斯公式为何物了。现在的学生已习导数的几何意义没有真正掌握。教学建议:加强微分中值定理和判别函数单调惯于考前听有关的复习课，而按要求,本次测试之前不复习,不划范围,所以出现这种情况也是情理之性法则的教学。中的。(11)设F(x)= [f(t)du. 请问,在什么条件教学建议:加深第二类曲面积分的教学和用高下,有F"(x) = f(x)?说明理由。(10)斯公式计算第二类曲面积分的训练,强调第二类曲测试评估:本题满分10分，微积分基本定理说，面积分与曲面所选的侧向有关。(8)下面是某人写的一段证明:f(x)连续,则F'(x)= f(x)。既然是基本定理,应该“因为limx.= xo,所以Vε > 0,3N,当n >很好掌握,现实情况却不容乐观,得5分的学生是因为没有说明理由。看来教学中对最基本的理论问题N,就有1x。-xo1<ε,由ε的任意性,可得x= xo.还要加强。因此,当n > N时,都有xn= xo.”"教学建议:加强微积分基本定理的教学,教学上述证明和结论是否正确,请说明理由。(8')中要求学生重视积分与求导互为逆运算的条件。测试评估:本题满分8分,利用e的任意性说明(12)试给出一个在(0,1)上连续有界,但非一某些量是无穷小量或者是0,在数学分析中是经常致连续的函数的例子.要求说明理由。(10)见到的。得4分的学生或者知道这个说法是错误的，测试评估: 本题满分10分,只有少数几个学生.但就是不能正确地表述，或者只能举一个反例说明给出了正确的例子并进行证明..对-部分学生而之。这反映了学生学习中有不求甚解的作风,这是学言,一致连续本就比较难懂,非一致连续并且有界就习的大忌。更头疼了。象这类比较体现学生程度的考题,大致上教学建议:加强极限的ε - N和e - 8理解的准就是这个水准,我们应该有一个切合实际的估计,在确性教学。(9)设函数f(x)在[a,b]上无界。证明:在[a，教学中才能把好尺度,不至于对学生作出出乎他们能力之外的要求。b]中必存在点xo,使f(x)在知的任意邻域内都无教学建议:加强函数的一致连续性的教学,着界。(8')测试评估:本题满分8分,可以说是全军覆没。重讲透函数一致连续的实质。 由于函数的一致连续性是数学分析教学难点之一,建议采用电子教学等实数理论本就是学生们的软肋,他们可以熟练背诵辅助方法,加深学生的直观认识。W eierstrass聚,点原理和Borel有限覆盖定理。但很少能在具体问题中成功使用.这种现象不是孤立的,其总体评价实质还是没有真正钻进去再走出来。较好掌握基本概念和方法并能以之解题的学生教学建议:加强函数有界性与有限覆盖定理的可以说少之又少,只能说教学要求基本能达到,但效教学强度。有限覆盖定理的教学是数学分析的难点果不能令人满意。出现这样的现象，-是部分学生数之一,力求使尽可能多的学生能用它解决比较简单学分析的知识本就掌握得不够扎实，加之随着时间的有关问题。的推移,数学分析的许多概念已逐渐淡忘。再因为考(10)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上前不划范围,不组织复习,对于巳习惯于考前突击的可导,且f(a)= f(b).证明:若f(x)在[a,b]上不学生,更加感到不适应。这样的学习方法肯定是不对是常数函数,则存在划1xz∈[a,b],使f(x) <0，头的。 至少学习不是为了应付考试,应付考试的学习f(x2) >0. (8')不会中国煤化工到底有一个学风问测试评估:本题满分8分,只是Lagrange中值定题,学YHCNMHG概念理论方法是理的简单应用.尽管有相当的学生从感觉出发,使用不成问题的。.了Lagange中值定理。然而都不得要领,还有很多学101●表1得分统计表题号分值分布及人数平均得分(1)得分88’人数8:(2)62’5.5'30216(3)8'7.7'8C(4)6’5'3'-2' .0’32121746.1'(5)3'-2'2801:4.2'(6)85(7)0'3.9'384((8)104.8'(9)0.1'(10)(11)14433.3'(12)731.3'70-7960- 6950- 5940- 4930- 39总评261353.0土10.8百分率2.3%34 .9%30.2%16.3%Analyzing on the results of testing on mathematical analysisLu Jing( Deparment of Mathematics，Hangzhou Teachers College, Hangzhou, hejiang310012, China)Abstract: Since the number of recruiting students of higher education expended, whether it is necessary to modify the teaching syllabus of thebasic mathematical courses or not has been the topic of the specialists on mathematical teaching . The East China Teacher' s University and theHangzhou Teacher' s College now are undertaking the tasks set by the National Education Bureau to carry out a study on the project named as"The 21 century teaching reform on elementary and higher science and engineering subject education founded by the World Bank" . In doingso, we have been taking a series of tests in the mathematical analysis course on the university and college students. In this paper we just ana-lyze one testing results in detail B0 that we can know the real studying situation about the university and college students, which may be usefulto the university and college teachers in their teaching practice.中国煤化工Key words: mathematical analysis; testing .YHCNMHG