Cantor集的结构及应用

Cantor集的结构及应用阮世华(莆田学院数学学院,福建莆田351100摘要] Cantor集是实函数论中一类重要的集合本文从 Cantor集的构造过程以及构造拓展中得到相关的应用.目的是帮助初学者对 Cantor集有一个较全面的认识关键词] Cantor集;结构;完备集[中图分类号]0174.1[文献标志码]A[文章编号]1671-5330(2015)05-0141-02Cantor三分集是 Cantor在解三角级数问题时1/p2的同心开区间;第三步,在留存的四个闭区间做出来的,它具有若干重要特征,常是我们构造重中再移去长度为1/p的同心开区间继续要特例的基础此过程,可得一列移去的开区间,记其并集为Cantor三分集G(开集),则G的总长度为8我们称Cn=[0将闭区间[0,1]三等分,去掉中间的开区间1]VG为类 Cantor集(当p=3时,C就是 Cantor1.2,剩下两个闭区间0,12.1.又把这分集)C也是非空完备集,且没有内点更一般的,已有文献对[0,1做相关的构两个闭区间各三等分,去掉中间的两个开区间,即造,所得到的点集也具有 Cantor三分集完全相同1278般地,当进行到第n次时的奇特性质,这里我们就不详述3 Cantor集构造拓展后的应用共去掉2个开区间,剩下2个长度是3的互(0,1)中的每个实数都可以唯一地表示为p相隔离的闭区间,而在第n+1次时,再将这2个进位正规表示“,其中p是任意的大于1的正整闭区间各三等分,并去掉中间的一个开区间,如此数Canr三分集与三进位中用不着数字1的小继续下去,就从[0,1]去掉了可数个互不相交的数集之间有对应关系.将[0,1]中的实数按三进开区间,剩下的集称为康托尔三分集P.众所周位小数展开,则 Cantor集中点x与下述三进位小知,由此构造的 Cantor三分集是测度为0的疏朗完备集,而且具有连续基数它的这一巧妙构思也数集的元x=∑a3,a=0,2一对应那么,为解决一些问题提供启示根据 Cantor集构造的拓广这个特点,我们可证2 Cantor集构造法的拓展明:用十进制小数表示[0,1]中的数时,其用不着在[0,1]中做出总长度为8(0<8<1是任数字7的一切数成一完备集意给定的数)的稠密开集.为此,取p=(1中国煤化小数表示[0,1]中的2δ)/δ,并采用类似于 Cantor集的构造过程:第的一切数也是完备集CNMH步,我们移去长度为1/p的同心开区间;第二步疋世小效与[0,1]中任一数表成在留存的两个闭区间的每一个中,又移去长度为0.a1a2…an…,其中an(n=1,2…)是0,1,…9中收稿日期]2015-03-10[作者简介]阮世华(1977-),女,福建莆田人,讲师,主要从事研究方向为多复变函数研究142安阳师范学院学报2015年的一个数,把[0,1]十等分,去掉第七个左开右闭例321设区间6.7及第八个左闭右开区间7.8,即10’1010’10E={x∈[0,1去掉其中的开区间5.8,于是表示式中a1=6an=2或7},我们有八个区间的每一个再进行十等分,去掉各自的第E是闭集;2E=c;③E在[0,1]中不稠或7的小数全部去掉6=0.59,然后把余下的七个左开右闭区间以及第八个左闭右开区间,即证:①若有{xm}CE:xm→x(m→∞),则又去掉一个大的开区间。于是表示式中a2=6或r=∑b,10(b,=0,1,2,…,9)类似于7的小数全部去掉(对分点的小数仍规定以9为循如果|xm-x1<10",那么在xm∈E时环节)继续这一过程,去掉的这些开区间有可数2或7(n=1,2,…,P-1),从而E是闭集多个,且彼此不相交,又无公共端点,与[0,1]也②如同0和1组成的数列类似,E=c无公共端点,所以[0,1]中用不着数字6和7的③由于E∩(0.28,0.7)=b,故E在[0,1切数成一完备集中不稠密.例2证明:用十进制小数表示[0,1]中的例421试作一个由无理数构成的完备集数时,其用不着数字5和7的一切数成一完备集证:用十进位小数可将[0,1]中任一数表成证:由于有理数集是可数集,所以可设[2,0.aa…an…,其中an(n=1,2…)是0,1,…9中3]中的有理数全体为{rn},n=1,2,…类似于的一个数字,把[0,1]十等分,去掉第六个开区间Cantor集的做法:第一步舍去含有r的端点为无理数的中央开区间,第二步再在余下的闭区间里5.6及第八个开区间,8,于是表示式中以同样的步骤操作,并依次将rn}挖去,…[2,a1=5或7的小数全部去掉3]VG即是1o=0.49,10=069·然后把余下的八个区[参考文献]间的每一个再进行十等分,去掉各自的第六个开1]程其襄,张奠宙,魏国强,等,实变函数与泛函分析基区间以及第八个开区间。于是表示式中a2=5或础[M].3版.北京:高等教育出版社,20107的小数全部去掉(对分点的小数仍规定以9为循[2]周民强实变函数论[M].2版.北京:北京大学出版环节)。继续这一过程,去掉的这些开区间有可数多个,且彼此不相交,又无公共端点,与[0,1]也[3]董大校. Cantor集的性质及其构造推广[J. Journal of无公共端点,所以[0,1]中用不着数字5和7的Yunnan Finance &Economics University, 2008, 23(5)切数成一完备集一般的,用十进制小数表示(0,1)中的数时,[4]江泽坚,吴智泉,纪友清实变函数论[M].3版北京高等教育出版社,2007其用不着数字a1和a2的一切数成一完备集,其中a1,a2是1,2…9中的数字The Structure and Applications of Cantor SetRUAN Shi-huaDepartment of Mathematics, Putian Univer中国煤化工, China)Abstract Cantor set is an important set in real functions thCNMHGhe applications throughthe construction process and generalized structure of cantor set. The aim of this paper is to help the beginnersKey words: Cantor set; structure; complete set[责任编辑:Z