分形的图像及应用

创新分形的图像及应用吕克林(河南省科学技术信息研究院,河南郑州450003)摘要]本文首先阐述了分形的基本概念,并具体介绍了一些典型的分形曲线和分形集,加深读者对分形的理解。重点描述如何生成分形的计算机图像,以及分形主要的应用领域,强調计算机科学与其他学科之间的紧密联系。关键词]分形;自相似;选代; Mandelbrot[中图分类号]TP3914文献标识码]文章编号:1671-0037(2014)12-94-3随着计算机图形学的发展,最近几年,分形作为一种艺术形1.2自相似性。自相似性是指部分与整体具有相似的性式已经相当流行。对分形有一个基本的了解,能提高人们的鉴质。在自然界中,具有自相似性的客观对象是非常多的。除了赏力,帮助人们更好地体会分形艺术的美。分形作为一门刚刚山形的起伏,河流的弯曲,树木的分枝结构外,生物体内也有许诞生的学科,正在许多领域开展应用和探索。很多传统的科学多例子,如血管或气管的分岔,神经网络等。抽象的自相似例子难题,都由于分形的引入取得了显著的进展。就更多了,例如数列012122312232334…,这是一个去掉奇数项1分形的定义后,仍然得到自身的数列。下文中将提到的 Cantor集是一个更1.1分形的出现。中国的海岸线有多长?很明显,这取决好,更有故事的例子于测量所用的标度单位。若以公里为标尺,会遗漏大量的细节,1.3维数。维数是重要的几何特征量,通常定义为表示对标尺越小,测出的海岸线就越长。随着计算机的迅速发展,人们象的一个点所需的独立变量个数。人们习惯认为空间是三维在讨论和处理一系列问题的时候,逐渐感到无法描述一些自然的,平面是二维的,直线是一维的,高等代数中还引入了高维空界普遍存在的对象,如海岸线,树木,岩石,云团,闪电等等。同间概念。然而维数有许多定义方法,下面介绍两种基于拓扑样对于星系分布,凝聚生长,湍流等复杂现象,也需要一门新的和测度论的定义。学科来描述。1973年,B.B. Mandelbrot在法兰西学院讲课时,首拓扑维数:经拓扑变换能转换为孤立点的集合D=0,变为直次提出了分维和分形几何的设想。 fractal一词由他所创,其原线的D=1,依次类推。意具有不规则,支离破碎等意义。分形几何是一门以非规则几Hausdoff维数:若用直径不超过x的小球去覆盖S,所需小球何形状为研究对象的学科,也被称为大自然的几何学因素屏蔽掉,并采用面向对象原则设计。服务层以平台共享信综上所述,“感知矿区”信息系统把“事前预防为主、事后取息模型为基础,提炼和抽取出一组业务层面的公共服务。服务证为辅”的智能安防新理念作为设计的出发点,它包括新一代智的设计采用面向对象、面向服务等原则,并统一透明部署在软件能防入侵系统、智能视频监控系统、重点部位防范系统、身份识总线上。由于物联网应用具有多样性和复杂性的特点,这就要别系统和来访人员信息管理系统,以及与公安部门联动的智能求物联网逻辑层能够向上支撑多样化的、差异化的业务应用。联网报警系统,对矿区大门、货物运输通道、围墙、主副井口、人4“感知矿区”信息化平台员出入通道等多个重要环节、重点部位进行全方位监控,真正做为实现“平安矿区”目标,有效应用感知系统采集到的相关到对危险因素的有效防范。当任何一个子系统检测到有异常情信息,建立基于“感知矿区”的信息管理平台至关重要。这个平况时都会自动报警,由矿区保卫人员根据报警信息及时处理,防台首先要能够适应矿区的管理模式,并能满足上级部门的安防止异常事件发生。随着物联网技术的深λ应用,“感知矿区”信要求,这个信息平台应具有以下的特点:其一,完整的报警功息系统也将得到更广泛的应用,不仅仅应用于矿区,该方案也可能。系统能够分析有物联网系统产生的异常情况,给岀完整的以广泛应用到其他类型企业、厂矿,以及党政机关、工业集聚区报警信息,通知相关人员做出相应处理,并且能够与移动、联通、等有安防需求的单位,市场前景较为广阔。电信网络链接,实现短信报警。其二,数据分析、整理和统计功参考文献能。其三,完善的数据查询功能,根据多种要求向多种需求人员∏余立建,王茜物联网/无线传感网实践与实验[H北京:西提供相应的查询功能。其四,数据与系统的安全管理。由于该南交通大学出版社,2010.系统与因特网连接,企业内部网络要设有相应的防火墙、网络隔2杨丙根,物联网在平安校园建设中的应用[J无锡商业职离等设备,确保信息的安全传输。其五,友好的人机界面。一个业技术学院学报,2010友好的人机界面是各类软件应用系统的基础。通过对多种组件[3]张飞舟,杨东凯物联网技术导论[M]北京:电子工业出版的合理组织,才能搭建起丰富多彩的物联网应用平台。其六,基社,2010于 SQL Server的数据库和BS架构的访问模式。 SQL Server数据库可以满足大量信息的需求,BS架构的访问模式可以使得访问作者简介:郑刚,(1982-),男,硕士研究生,工程师,研究方更加方便和实用。向:企业电气信息化的规划与实施工作创新论坛·技术创新l的最小数量记为N(x),则维数D1=-lin复数c,如果复平面上的一个点是自由的,就把这个点涂成白色否则就涂成黑色,此时边界就呈现出了 Julia集的图形。如果能14分形集。目前还很难给出一个分形的严格定义。但可依据自由点的逃跑速度给它涂上渐变的颜色,就会得到非常美以效仿生物学中,通过列出生命体的一系列特性来解释“生命”丽的图案。不同的复数c决定不同的Ja集。的概念。下面给出分形集合的一些性质:一是 Hausdoff:维数大Julia集的自相似性似乎不很明显,但实际上,任何 Julia集均于其拓扑维数;二是具有近似的或统计的自相似性;三是从整体能由它自身的拷贝覆盖。然而这些拷贝都是通过非线性变换得到局部均难以用传统的几何描述;具有精细结构,即任意小比例到的,这里的相似与前面是有着本质区别的下的细节;四是一般可以用非常简单的递归性方法定义。可以2.5 Mandelbrot集。仍然考虑z=x2+c,取定Z=0,计算哪看到分形的理论工作还有待加强。现有的研究多集中在计算机些c是“自由的”。用相同的作图方法可以得到 Mandelbrot集的模拟与维数计算,对分形的认识还有待深入。图形。 Mandelbrot的特殊之处在于,将它的边界放大,会显示出2典型的分形曲线与分形集许多微型缩影,但没有一个是和母集完全相同的2 I Von Koch曲线。1804年,瑞典数学家 Von Koch发现最后介绍一个定理:复了一种曲线,它处处连续,却处处不光滑。在分形理论的建立过数c对应的Juia集有连通性程中, Von Koch线占有重要的地位。 Von Koch曲线的生成方的充要条件为,c是从法:首先从一个简单的图形出发,反复进行同样的操作:将当前图 Mandelbrot集内部选出的。形中的所有直线段用段折线(生成元)代替,让操作次数趋于无其实,通过c在 Mandelbrot穷,就得到了 Von Koch曲线。不同的原图形和生成元决定了曲集中的哪个区域,可以推断线的不同形态。最常见的是对正三角形,用右图的生成元进行操Jia集的特征,预测的范围作,所得曲线的形状像一朵雪花,称为Koch雪花曲线。雪花曲线远不止连通性。把的周长没有上界,因为每次操作图形的周长都增加1/3Mandelbrot集比作 Julia集的22 Sierpinski三角形。分形不难从曲线推广到平面图图解目录表是很贴切的。形。1916年,波兰数学家 Waclaw Sierpink提出了三角形。它的3分形的计算机图像构造方法如下:从等边三角形开始,每次把图中所有等边三角形3.1计算机图形学。计算机图形学研究如何用计算机生四等分,去掉中间的一个小三角形,不断重复分割与舍弃的过程成处理并显示图形。分形理论的创立和发展都和计算机图形直到无穷。 Sierpiski三角形两种常见的推广:对正方形用类似的学密切相关。Jlia曾研究过 Julia集并使当时的复分析达到了很生成规则,得到的图案叫 Sierpiski地毯。三维空间中,从一个正高的水平,只是由于当时还没有计算机,因而使他们的研究中方体开始,将所有的正方体27等分,去掉体心与面心处的7个小断。分形的创始人 Mandelbrot详细地研究过Jula的手稿,借助正方体,反复操作得到 Sierpiski海维体。 Sierpinski集具有分形的计算机为工具,才使研究开花结果。科学可视化可以将抽象的典型特征:经典几何无法描述,局部放大后和整体完全相同。它概念和数据形象化,帮助人们更好地认识和理解问题。有些问们曾被称为是病态的几何图形,因为在周长(表面积)趋向于无题只有借助计算机,依靠实验数学的方法,才能得到丰富的直穷大的同时,面积(体积)却趋向于0观的启示。23 Cantor集。G. Cantor在1883年构造了如下的一类集3.2仿射变换。仿射变换是计算机图形学中几何变换的重合。将区间0,1三等分,保留两边的闭区间,再对这两部分重复要内容,是一种R2上的线形变换相同的操作,直至无穷。最后得到离散的点集称为 Cantor集。Cantor集有明显的自相似性和精细结构,还有和 Sierpinski集相似的特点: Cantor集包含的元素是不可数的,但是它的长度是0。另外, Cantor集是一个闭集(关于极限封闭),而且[O,n内的任何其中e和f对图形进行平移,r和q是放缩比例,是绕原点旋个实数,都可以表示成3个 Cantor集中元索的和。实数全体是转的角度。分形构图中一般只需相似变换,即r=q的情况。仿射个不容易被传统思维接受的概念。举例来说,任两个有理数变换通常也会写成:x=ax+by+cy=dx+ey+f之间都存在一个有理数,这是很难直观想象的。换句话说,用再个仿射变换由六个参数写出,分形通常需要一组仿射变精细的显微镜去看数轴,它的密集程度都没有变化,假想你是一换。例如对于 Sierpinski三角形,三个变换分别将原图向三个顶个数轴上的有理数,你无法知道站在你两边的是谁。在G.点收缩到原来的一半大小。Cantor所生活的时代,如果有分形理论,这些看似荒谬的结论,应3.3迭代函数系统。分形图形具有自相似性,其定义往往该比较容易被人们接受。就是递归的,最朴素的生成方法是不断对当前图形使用各种仿24 Julia集。Juli集是由法国数学家 Gaston Julia在1918射变换。由于直线段经仿射变换后还是直线段,对于三角形只年发展了复变函数迭代的基础理论后获得的,研究2,=2+c这要把顶点变换后相连即可。图形越来越复杂后,记录当前图案变换在复平面中所生成的一系列让人眼花缭乱的变化。每个变得困难。迭代函数系统( Iteration function system)更多采用复数对应平面上的一个点。给定c和a之后,通过迭代可以得到的是随机算法:由一系列仿射变换按随机顺序,对一个初始点反连串复数。如果所得复数的模长是发散的,也就是这个点最复作映射,并记录下它变换的轨迹,最终这些点会“填满”整个分终可以“跳”到无穷远的地方去,我们就称Z是“自由的”。取定形图形的区域。IFS通常依据变换后的面积大小,给每个仿射变创新换设定概率,这样做是为了让点尽量“平均分布”,避免点很难不同的投资者,交易金额不同,而买卖决断的方法却是大致相同跳人”某个局部的。另一个例子来自城市规划。当城市发展到一定规模时,会34 Ultra Fractal Ultra Fractal是一款强大的分形作图软产生新的开发区和卫星城,这些新的区域也有相同的发展模件。它最大的特点在于可以简单地改变参数,定义新的公式。式。以半径变化的圆模拟城市,可以研究城市“分裂”的临界值软件还采用了多种加速算法,能够快速绘制图案和哪些因素相关4分形的应用5分形杂谈4.1艺术设计。早在1999年,中国科技馆就举办过“分形5.1认识的改变。《数学分析教程》全书的最后一节给出了艺术展览”。网络上也可以找到大量的分形艺术作品。在计算两个函数,一个处处连续处处不可导,我们在上文已经看过一个机如此普及,计算机辅助设计技术成熟的今天,分形在艺术设计例子。另一个函数连续且填满一个正方形,也是利用分形思想领域的前景是十分乐观的。相信在不久的将来,分形会以印染构造的。 Mandelbrot在《自然界的分形几何》中提到:“我赞扬这品或装饰品的形式,点缀人们的现代生活。些早年的数学家,他们为我提供了这样的结构,使我能够将它4,2凝聚生长。一些树木的形态看起来像是分形,树干可串在一起思考,从而发现其宝贵的价值。同时,我也责备他们以在不同的位置分出树枝,每个树枝又继续分为枝杈。分形在因为他们虽然构造出许多精彩的反例,却没有发现他们内在的原始植物(比如苔藓和海藻)上更加明显,因为对于高级植物,生联系,反而认为那是不正常的事情,从而忽视了真正的内涵。”科物规律的作用过于复杂,掩盖了数学模型。所以我们选用一个学史上的每一次争论都推动科学本身向前发展。就像 G. Cantor简单实验:在圆形碟子的底部覆盖一层很薄的硫酸铜溶液,将铜的集合论起初被认为是“怪胎”一样,许多分形的现象在漫长的制的阴极立在中央进行电解,大约半小时后,析出的铜将扩展成时间里被认为是不正常的。而现在人们已经认识到,这些有饽几英寸的分形图形。有限制的扩散凝聚( Diffusion Limited于直觉和经典理论的现象,是合理且广泛存在的Aggregation)模型提供了很有说服力的模拟:在白色方格纸上,从52简单的规则。分形通过重复简单的操作,得到极复杂中心一个代表阴极的黑色小方格开始,以它为中心做一个大的图形。生命游戏依靠简单的规则,赋予了模型自我复制和进圆。圆周附近一个随机点释放出的粒子在平面上随机运动,直化的能力。我们再来看一个著名的例子, Langton蚂蚁从一张白到它离开这个圆或与到达与黑色方格相邻的格子为止,这个格纸的某个方格开始爬行,按照如下规则:一是如果它进入了一个子也被涂黑。模拟得到16000个~黑色方格时的效果,与实验结白色方格,就将其涂成黑色,并左转90度。二是如果它进人了果很相似。DLλA模型尽管描述起来很简单,然而对于为什么产个黑色方格,就将其涂成白色,并右转9度。在前500步中,它生分形的树枝形态,现在还没有严格的理论解释,但毫无疑问这不断回到原点,留下一系列相当对称的图案。此后的10000步是一个非常引人注目的现象。中,图形变得混沌。突然,仿佛终于拿定主意要干些什么,它不43模拟自然景物。喜欢3D卡通片的人,一定知道 Pixar断重复着一个104步的过程,画出公路一样的带状图案。自然界工作室。在绘制山峰和树木等自然景物时,用直线、圆弧,样条曲的神奇无处不在,水分子居然知道如何构造雪花,使其具有复杂线去建模生成,逼真程度就非常差,那么 Pixar又是如何用电脑制的对称性。这些分子能够自行“装配”起来,既没有建筑师的指作这些美丽风景的呢?很自然地想到利用分形,也就是我们常说导,也没有结晶形式的模版,大尺度上的形状完全是依靠短距离“分数维的山峰”。下面是一种简单的生成方法:从一个三角形开的相互作用产生的。最后引用MI教授 T Toffoli的一段话,“几十始,取三边中点,各自在垂直方向上移动一个与边长成正比的随亿年来,自然界都在不停地计算宇宙的下一个状态,我们要做的机量,再将它们相连,形成四个新的小三角形。用同样的办法继实际上也是我们唯一能做的,就是跟着这硕大无比的计算过程前续分割,直到分辨率极限为止,就得到了充满褶皱的山峰。进,并企图发现它的哪一部分恰好接近我们所希望的地方。”Pixar绘图计算机如今广泛应用于医学成像、工程设计、虚拟6结语电影和动画制作等领域分形现象普遍地存在于自然界中,是它受到广泛关注的根44图像压缩。设想我们要存储一幅 Julia集的图像,如果本原因。分形作为一门年轻的学科,在广大科学工作者的共同用位图来存储,需要记录每个像素的颜色,占用大量空间。当然努力下,无论是理论还是应用方面都取得了巨大的进展。分形可用标准压缩技术对其进行压缩,但事实上只需要记下复数c,的创立是数学与计算机科学结合的典范,如今计算机科学正在就可以在任何时候重建这张图片,而且不会遗漏任何细节,甚至逐渐渗透到各个学科当中。作为计算机专业的科技工作者,同比原图更清楚。上面是一个极端的例子,却很好地说明了IFS码样要关注其他学科的发展,重视它们和计算机科学之间的联系压缩技术的关键,在于存储迭代函数系统而不是存储图像。实参考文献际操作时,首先把原始图像分解为一些相连的颜色稳定的小块,[]胡瑞安,胡纪阳,徐树公分形的计算机图像及其应用从大量的仿射变换公式中选出能产生相似效果的,记录对应参北京:中国铁道出版社,1995数作为编码。IFS编码是一种有损压缩,其失真率与压缩比有2]张济中分形M]北京:清华大学出版社,1995.关。IFS的优点在于对自然景物和细节丰富的图像,压缩比很3]常庚哲,史济怀.数学分析教程[M],北京:高等教育出版高还原效果较好。同时IS编码在缩短处理时间,自动生成,失社,2003真度准则等方面,还有大量问题有待解决。5郭凯声,等数学游戏「M]北京:科学技术文献出版社,19994.5经济学与社会学。分形理论在对价格波动,利率变化作者简介:吕克林(1960-),男,本科,高级工程师,研究方证券指数的研究中有很好的表现,因为群体行为存在相似性。向:计算机应用