最优化的量子操作

第33卷第2期湖北大学学报(自然科学版)Vol.33 No.2_2011年6月Journal of Hubei University( Natural Science)Jun，2011文章编号:1000 - 2375(2011)02 -0136 -03最优化的量子操作杨涛,徐国旺,闫旭东(湖北工业大学理学院,湖北武汉430068)摘要讨论物 理系统在不同的正交态之间演化所需要的时间.首先讨论了两能级系统,随后进一步讨论多能级系统.发现对多能级系统而言,在任意两个正交态之间演化的时间是两能级系统的2倍.这有利于在量子调控时,进行最优化的量子操作.关键词正交态;最优化;量子操作中圈分类号0413. 1文献标志码A量子调控是目前量子信息领域的前沿热点问题之一.对于一个孤立的物理系统,如何确定量子系统态的数目,以及孤立系统从一个态演化到另外一个可区分态需要多长时间,是量子调控必须回答的问题.在一般的考虑下,这是两个独立又相关的问题.首先,考虑在给定的物理限制下,系统可能处于多少个可区分态上,这是一个古老的问题,关于可区分态的数目的计算直接导致普朗克常数引人到实际的物理学中,而且同时也是统计力学的基础口这个问题可以直接从量子力学中找到答案,也可以通过计算宏观极限下系统可达到的相空间的体积来找到答案2.本文中讨论系统从一个可区分态到另外一个可区分态演化所需要的时间,并且讨论系统在单位时间内历经的最大可区分态的数目.这和量子调控中单位时间内可操作数目密切相关.对一个量子系统而言,可区分态的概念很好定义,即如果两个态是正交的,它们就是可区分的.量子态演化所需时间在以前文献中已经有相关的报道[3-8] ,但是并没有给出一个确切的结果.特别地,一- 个量子系统从一个正交态演化到另外一个正交态所需要的最少时间以前也已经用能量的方差来确定[~7].在本文中,将直接用系统的平均能量给出一个普适的下限.而且,对-一个宏观系统而言,增加能量就意味着系统正交态之间的演化速率正比例地增加了.1动力学演化的最大速率这一部分简要分析一个量子系统演化的速率.在能量基上,量子时间演化能够通过频率分量的叠加来描述.这样容易知道,给定一个最大的能量本征值,态演化的频率应该遵从关系式: v≤hne (1如果取系统基态的能量为零,并考虑长时间的演化,那么正如下面所讨论的,这个关系式是正确的.此外,给定系统的平均能量E,有一个类似的关系式:v≤E(2)这里再次取基态的能量为零.关系式蕴涵如下物理意义:使用适当的单位,一个宏观系统的平均能量数值上等于单位时间内系统演化经过的正交态数目.这也是系统长时间演化的最大速率,其值是系统.在两个态之间震荡频率的2倍.2正交态演化需要的时间这-部分将讨论一个给定的物理系统从一个任意的状态演化智门中国煤化工需要的最少的收稿日期: 2010-07 -20TYHCNMHG作者篱介:杨涛(1962 -),男,副教授;闫旭东,通信作者,教授,E-mail:yxdyxd2010@163. com.第2期杨涛等:最优化的量子操作137时间. .任何一个量子态都可以写为其能量本征态的叠加:|ao>= Ec|E.>(3)这里以及整篇文章都将假定系统有离散的能谱,并且态已经被标记，即相应于能量本征态的{| E,>}的能量本征值{E,}是递减的.为了简化计算,仍选取基态的能量为零,即E, =0.取t为态|ao)演化到其-一个相应的正交态的时间.以下将证明,对一个固定的平均能量,时间t遵循如下的关系式:t≥4E(4)这个结果某种程度上令人惊奇,因为先前的结果给出关系式是以能量方差描述的: t≥4AE (5这暗示着如果给定平均能量,为了获得非常短的演化时间必须要求非常大的能量方差.下面将证明情况并不是这样的.首先态(3)演化--段时间Ot后,相应的态变为:|aw)= Ec.eA |E,)(6)现在计算Q(Ot)= =1c。|'e毕(7)想要找到最短的时间Ot使得Q(Ot) = 0.注意到:Re()= .100(54)≥21+.*(1--(5*=+(i(5))=1- 0sr+ Im(Q) (8)这里使用了不等式cos(x)≥1- 2(x+ sin(x)),仅对x≥0有效.注意到对I的任意值,只要Q(0t)=0，4EAt(9)就有Re(Q) = 0,Im(Q) = 0,因此方程(8)可以化简为: 0≥ 1-工 p因此系统从态(3)演化到其-一个正交态所需要的最短时间为Ot = h/4E,方程(4)获得证明.3正交态的循环在上一部分已经知道,给定平均能量E的量子系统在两个正交态之间演化的最短时间为h/4E.现在,我们计算-一个量子系统演化经过N个正交态所需要的时间.在这-部分,将证明任何的演化经过N个相互正交的态的循环所需要的时间为t≥NE(10)从这个式子可以看出,对形成封闭循环的长时间演化,两个正交态之间的演化时间将较(4)式增长一倍. .注意到周期条件对组成初态的能量本征函数给了一个严格限制.如果| E,)贡献给初态|ao),循环时间长度为r,那么一-定有E,t/h=2xk, ,这里k,是整数.简化记号,有E,=k;e1,这里e1= h/t.这样,最初的态可以表示为|ao> = 2c, |nei)(11)虽然描述并不包括简并的情况,但是简并的情况也符合本文中的讨论.假设t=r/N是连续正交态之间的间隔.注意到et/h=2π/N,那么,m次时间间隔后，可以得到 =21c, |e=m(12)令|d,|= 2 |cr+N |2 是所有系数的求和,那么 =21d,|e-贺(m-m)=8mm (13)上式最后一步是因为这些态是正交的.注意到,如果所有的n都有|d.|' = 1/N,那么上式最后一个等号满足.现在计算平均能量和正交演化时间之间的关系.一般的平均中国煤化工Cn+IN 1nT lNVTCHCNMH G(14)E=e21.湖北大学学报(自然科学版)第33卷但由于2|cr+N |'(n+lN)≥2 |Ce+IN |'n=n|d,1",并且|d,|°= 1/N,于是有(15)点六-.(N2=)由于e: = h/τ= h/Nt ,这个可以直接导出关系式(10).注意到如果所有的系数c,对n≥N都为零,那么上面的不等式变为等式,因此对态,三六| nεl>(16)方程(10)可以取等号,也就是可以以最短的时间演化.4总结本文中讨论量子系统在正交态之间的演化所需要的时间.对于两能级系统,证明演化所需要的时间跟系统的平均能量有关,同时也证明系统在多个正交态上演化所需要的时间，而且发现对多能级系统，长时间演化导致平均在两个正交态之间演化所需要的时间是两能级的2倍.这对于寻找量子系统的最优化的调控方式,具有重要的理论价值.参考文献:[1] Klein M J, Planck. Entropy and Quanta, 1900-1906[J]. The Natural Philosopher, 1963(1) :83-108.[2] Maslov V P, Fedoriuk M V. Semi-classical approximation in quantum mechanics [M]. Dordrecht: Reidel,1981.[3] BenioffP A. The computer as a physical system[J]. Int J Theor Phys, 1982.21: 177-201.[4] Feynman R P. Quantum mechanical computers[J]. O)pt News, 1985,11:11-20.[5] Levitin L B. Physical limitations of rate, depth, and minimum energy in information processing[J]. Int J TheorPhys. 1982 ,21: 299-309.[7] Fleming G N. A unitary bound on the evolution of nonstationary states [J]. Nuovo Cimento A, 1973,16:232-240.Optimal quantum operationsYANG Tao, XU Guowang, YAN Xudong(College of Science, Hubei University of Technology, w uhan 430068, China)Abstract Discussed the time needed for a system that evolves among different orthogonal states.Not only the two energy level system but also the system with many energy levels were discussed. Wfound that the time needed between any two orthogonal states for the system with many energy levelswas double that needed by the system with two energy levels. The results were important for optimaloperation on a quantum system.Key words orthogonal states; optimal ;quantum operation(责任编辑赵燕)中国煤化工MHCNMH G.