Autocad还可以这么玩之分形

在压力容器设计中，最常用的软件就是AutoCAD了，AutoCAD除了用来画设备图纸，还能干什么呢？今天要介绍一下，如何用AutoCAD绘制出非常精美，精细的分形图形。

分形图是世界上最美妙的图形之一，它结构精细、反常，像是一头怪物难以捉摸。它的每个细节与它的整体如出一辙，分形是数学中最优美、吸引人的结构之一。

百度一下“分形”的图片，会出现大量用计算机绘制的分形彩色图片，图片都具有无限细节，自我复制，局部与整体相似等特性。这些图形往往是通过简单的函数，不断迭代生成的，却具有迷人的美感。

下面介绍几种常见的分析结构：

曼德布罗特

2010年10月14日，著名数学家、“分形几何之父”伯努瓦-曼德尔布罗特在美国因病逝世，享受85岁。他所提出的“分形几何”理论和出版的《大自然的分形几何》一书，不仅仅为世人带来一个神奇绝妙的美丽世界，而且分形几何在数学、物理学、生物学等许多科学领域中都得到了广泛的应用，甚至对流行文化领域也产生了重要影响。

“云层不是圆形的，山不是圆锥体，海岸线不是圆圈，树皮不是光滑的，光不是以直线传播的。”-曼德布罗特

下图就是一个典型的曼德布罗特集合图

牛顿分形

牛顿分形就是分形的一种，它与解方程的牛顿法(跟优化中的牛顿法是不同的方法)紧密相关，下面讲述如何画出牛顿分形。假如需要求解方程

其中， x 的定义域是整个复平面。如何求解这个方程的解呢？我们可以用牛顿法。牛顿法是一种数值解法，我们首先会估算一个“比较好”的初始值 x0 ，然后使用迭代公式

牛顿法可以确保，如果初始猜测值在根附近，那么迭代必然收敛。而且牛顿法是个二阶方法，收敛速度相当的快。下图是迭代一步的示意图

在 x1 处沿着方向

下降，与 x 轴的交点即为 x2 ，循环往复就能得到方程的根。

学过中学数学的我们都知道， n 次方程在复数域上有 n 个根，那么用牛顿法收敛的根就可能有 n 个目标。牛顿法收敛到哪个根取决于迭代的起始值。根据最后的收敛结果，我们把所有收敛到同一个根的起始点画上同一种颜色，最终就形成了牛顿分形图。下图中展示的是方程 x^3-1=0 的情形。

上图用Autocad编制程序绘制而成。

图中的三种颜色代表了收敛的三个根，分别为 -0.5+0.866i, -0.5-0.866i 和 1 。左上角都是红色的，代表了如果把左上角的点作为牛顿法迭代的初始值，最终会收敛到 -0.5+0.866i ，左下角是绿色，代表这些初始值会收敛到 -0.5-0.866i ，右边是蓝色，代表会收敛到 1 。神奇的是，中间的三个带状区域，是红绿蓝交错的，而且无限重复自己的细节。

朱利亚分形

朱利亚集合是一个在复平面上形成分形的点的集合。以法国数学家加斯顿·朱利亚（Gaston Julia）的名字命名。

朱利亚集合可以由下式进行反复迭代得到：

对于固定的复数c，取某一z值（如z = z0），可以得到序列

这一序列可能反散于无穷大或始终处于某一范围之内并收敛于某一值。我们将使其不扩散的z值的集合称为朱利亚集合。

茱莉亚其中一个方程的解集合如下：

图中系数为x=-0.75，y=0.01

希望拥有DWG文件一窥细节的朋友可以到如下地址下载

链接：https://pan.baidu.com/s/1eFvD8wVfbPrViGm8OohUtw 密码：nruj