轻松一刻-等强度板圆板

各位可能听说过等强度梁，但是你听说过等强度板吗？回想一下，等强度梁上各横截面上的最大正应力都相等，那么等强度圆平板就应该是各点处最大正应力都相等。等强度梁将材料的性能用到了极限，所以是最节省材料的结构。如果能得到均布载荷下的等强度板，那么最优最省的圆平板解就完美解决了，从此做圆平板，朝着这个结构方向努力，就是最佳平板。

等强度圆平板长什么样子呢？不妨畅想一下：对于厚度和直径比小于1/5的受均布载荷的周边固支的圆平板，径向和周向应力按如下公式分布：

最大应力在板上下表面，

只计算下表面。得：

看到了吗？在中间部分它是一个椭圆。

此为一个双曲线线方程。两个方程的曲线如图：

所以板的形状大致为这样~

同理按照式4，可得另一个曲线

将两个曲线组合到一起（不要问为什么这样组合，就是这么任性，不要问我意义，NB不需要解释~）

这种圆平板的应力状态是否如推测的呢？为了验证这个圆平板的受力特性，可以用ansys做受力分析。为了简化建模，用直线代替双曲线（也可以ansys命令流的循环语句以直代曲建立近似的双曲线模型）板的模型。

本ansys模型使用轴对称单元plane82,边界条件为：中心轴对称，边缘直线uxuy=0，下边加载均布载荷p。

假设圆平板R为500，许用应力σr=137.5 ，p=1MPa，泊松比0.3，弹性模量为2×105MPa按照圆平板公式，下表面达到σr=137.5时的板厚为36.9（按公式1）。厚径比小于1/5，符合薄板的条件。用有限元建立模型：

划分网格

拐弯处

边界条件

求解：

从上图可以看出最大应力出现的地方是R角与直线相连处的下表面，可以理解成，我们用直线代替了双曲线，实际上是减少了板厚，削弱了，所以应力最大的方出现在削弱最大处。由于前半部分椭圆是按要求做的，为了证实推测，我们可以观察直线L4处（L4 位置见图6）的应力分布。

L4远离不连续区和转角区，其上的节点的号码从中心到边缘依次为135，137，139，。。。。。。，221，在节点135上，总应力为150.23，在节点221上，总应力为79.8。可以看出相差比较大。推测是由于此板并非标准的圆平板所致。为了证实推测，在模型中按比例减少长半轴αθ的距离。得到表如下：

可以看出当长半轴的距离为标准的0.818倍时，直线l4上的各个节点上的总应力大小几乎相同。证实了等强度板在r<0.83R（也就是中间83%的部分实现了等强度！）情况下形状为椭圆形。可以类比猜测，当R>0.83R时，其形状应为双曲线。（因为边缘与边缘结构有关，所以还有待实际证实）

结论：等强度圆板外形，中间部分为椭圆，边缘部分为双曲线。

有意思吧。