文献分享 | Adv Water Resour：利用POD-DEIM方法对非线性模型（非承压地下水流）进行降维

非线性地下水流模型往往过于复杂致其计算量过大。降维模拟技术可建立原始模型的近似模型，其具有较低的维度和更快的运行时间。本文提出的降维模拟技术通过POD（特征正交分解）和DEIM（离散经验插值法）来实现。收集完整模型的解（快照）作为系统的物理状态，采用Galerkin投影来建立（处于完整模型子空间中的）降维模型。通过DEIM法添加插值点，消除降维模型对（原）完整模型维数的依赖。POD可以有效地降低整个模型的维数，DEIM可以进一步降低非线性计算的维数，从而加快求解速度。为了验证该方法可以在非线性条件下的非承压地下水流模型中应用，本文利用MODFLOW-OWHM构造了一维和二维数值算例。POD和DEIM作为一个模块包添加到MODFLOW中。试验结果表明，POD-DEIM与POD方法相比，其增加的插值在提高计算速度的同时，维数也有所降低。本文提出的超降维（降阶）方法适用于在空间和时间上精细离散化、以及状态变量非线性的模型。双重降维方法确保降维模型一旦构建，其可以在只在基于降维后的公式系统中求解。

Table 1 

Variable symbols and definitions along with appropriate units and initial default values.

Fig. 1. Algorithm for selecting the interpolation indices z j for j = 1, …, d .

图1 选择插值指数z _j (j = 1, …, d)的算法。

Fig. 2. The flow chart describes the process of collecting snapshots for both traditional POD and DEIM; constructing the snapshot sets and obtaining the bases; and solving with the POD-DEIM reduced model.

图2 该流程图描述了：POD和DEIM快照选择；建立快照集和基向量；用POD-DEIM降维模型求解等过程。

Table 2

Parameter and pumping values for the 2D test case.

Fig. 3. The 1-dimensional model shows the conductivity zones and the water table after 30 days of pumping, creating the unconfined conditions, for pumping rates of 100 and 200 m ³ /day.

图3  1维模型展示了30天泵水后的水力传导区和水位；泵水速率分别为100和200 m ³ /天（虚线和实线）。

Fig. 4. The domain of the 2D test case is shown with a model grid of 198 rows and 198 columns and six conductivity zones that span several orders of magnitude. There are five wells that pump at various rates and head-dependent features (river and drain) are included.

图4  2D算例研究区域由198行*198列的模型网格组成，且其含有六个不同的水力传导区（涵盖了七个数量级）。区内有五口水井以不同的速率泵水。区内也涉及了水头依赖特征模拟（河流和排水渠）。

Table 3

Model reduction results are displayed in comparison to the full, unreduced model.

Fig. 5. (Left) The results from the 1-D test are shown as a residual between full model head and reduced model head, for each of the 90 time steps in the POD-DEIM reduced model. (Right) A cross-section of head also shows a match between the full and reduced models.

图5 （左图）1维算例，90个时间步各步上，完整模型与降维模型（POD-DEIM模型）水头残差；（右图）截面水头结果表明，完整模型与降维模型结果相吻合。

Fig. 6. (Left) The error in the nonlinear approximation is shown to be at a maximum where the well is located, cell 107, and at the beginning of each time step. (Right) A time series of head at the well is also shown above a time series of nonlinear error at the well.

图6  （左图）非线性近似的误差在水井位置（网格107处）和每个时间步开始时达到最大值。（右上图）水井的水头时间序列和非线性误差（右下图）。

Fig. 7. The RMSE in head for each model cell is calculated over all time steps and shown over the model domain with DEIM interpolation points shown as dots. (a) Errors in h and (b) errors in Ah for the reduced model with d = 200 are shown. Also shown are the (c) errors in h and (d) errors in Ah for the reduced model with d = 250.

图7  计算了所有时间步下每个模型网格处水头的RMSE；DEIM插值点在图中以圆点的形式表示。（a）d = 200时向量h的误差；（b）d = 200时降维模型矩阵Ah的误差；（c）d = 250时向量h的误差；（d）d = 250时降维模型矩阵Ah的误差。

Fig. 8. The water table drawdown in selected regions is shown for the Full and POD-DEIM reduced model. Cross sections are shown for (a) 305 days at Well 3; (b) 305 days at Well 2; (c) 395 days at Well 1; and (d) 395 days at Well 2.

图 8  完整模型和降维模型选定区域的水位下降模拟结果。截面展示了（a）水井3的305天模拟；（b）水井2的305天模拟；（c）水井1的395天模拟；（d）水井2的395天模拟。

Table 4

Hydraulic head error statistics over 50 random samples for each ofthe 2D reduced models.

本文将传统地下水流模型降维技术与插值方法相结合以进一步对模型中的非线性组分进行降维。结果是非承压水流公式降维后能够完全在低维（空间）内不依赖原始（复杂）模型进行求解。这种额外近似可在对非线性项进行更快计算的同时仅牺牲很小的准确度。随着数值仿真模型越来越复杂，离散化越来越精细，模型域越来越大，过程越来越非线性，快速计算变得越来越重要。POD-DEIM方法显著提升了建模者快速获得模型解的能力。两个测试算例的结果展示了二到三阶的降维。POD-DEIM模型的一个关键优势是，其非线性运算是在降维空间内运行的。在嵌入模型或者模型优化时，模型的更快运行至关重要（例如参数估计、试验设计、资源分配）或者广义不确定性分析（如Monte Carlo）。虽然越来越多的优化算法充分利用了并行计算能力，但长时间的模拟运行仍然阻碍了在合理的时间内获得最优解。因此，像POD-DEIM等降维模型可以用于并行计算架构中以促进对复杂维度可行域的搜索。

   文章信息

Stanko Z P, Boyce S E, Yeh W W G. Nonlinear model reduction of unconfined groundwater flow using POD and DEIM[J]. Advances in Water Resources, 2016, 97: 130-143.

   DOI:

http://dx.doi.org/10.1016/j.advwatres.2016.09.005

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张锦鹏 | 供稿

   林永强 | 编辑

      陈磊 | 审核