概率方法的应用

2010年4月廊坊师范学院学报(自然科学版)Apr.2010第10卷第2期Journal of Langfang Teachers College( Naturnal Science Edition)Vol 10 No概率方法的应用车明刚(吉林师范大学,吉林四平136000【摘要】通过实例讨论了概率论在其它数学分支中的运用,一方面显示出概率方法在证明某些数学问题时的简明性,另一方面也体现了数学分支之间的联系【关键词】概率方法;不等式;中心极限定理;数学期望The Application of Probability MethodsCHE Minggang(Abstract) This article discusses the application of probability methods by using some specific examples. It showsthebriefness of the probability method, at the same time it also demonstrates the linkage bet ween the branches of mathemat-(Key words] probabilistic methods; inequalities; the central limit theorem; mathematical expectation中图分类号〕0212〔文献标识码〕A〔文章编号〕1674-3229(2010)02-0022-02概率论是数学的一个分支,主要是研究随机现根据性质Ex2≥(Ex)可知,1∑a≥象统计规律的科学,有它独特的理论和方法,具有广泛的应用。本文通过构造概率模型,利用概率思想1方法来解决实际问题,从而使解决的过程变得直观简洁并使其具有直观的概率背景易于掌握。利用2概率方法在级数中的应用概率方法解决数学其它分支中的问题。一方面说明了数学各分支之间的内在联系,另一方面也启发我通过构造概率模型,利用离散型随机变量的概们从不同的角度来解决数学问题。率函数的性质可以达到级数求和的目的。1利用数学期望的性质证明不等式例题1求无穷级数∑aa的和其中an不等式的形式多种多样,针对不等式的具体形是等差数列(d>0,d为公差)。解建立概率模型,设随机试验E只有两个基式,构造相应的概率模型进而利用概率论的一些性本事件A和A,将E独立地做n次,在第k次试验质来证明不等式。中A出现的概率为p4;A不出现(即A出现)的概命题证明1率为q,其中证明设离散型随机变量X的概率函数为≤pk≤1,0≤qk≤1,pk+qk=1,(k=1P(X=a1)=,i=1,2,…,n,设A1表示事件A在第i次试验中出现(因为Ex2=1Sa:,EX=12,…,n),则有台p(A1)+p(A2)p(A1)+p(A3)p(A2)p(A1)+M凵中国煤化工[收稿日期]2010-01-15[基金项目]吉林师范大学教研项目CNMHG作者简介]车明刚(1971-),男吉林师范大学数学学院讲师硕士研究方向:奇点理论及应用。2第10卷·第2期车明刚:概率方法的应用2010年4月+p(A)p(A1)p(A2)…p(A-1)=1-p(A1)p(A2)令…p(A,),即则Pi+ p2 91+ P3 92+'+ Pn9192qn-IE(ni)=h+x,9192 qn由引理1得根据p,q取不同的值来求级数的和,P:= P(A:i=1,2,又∫(x)有界连续,由引理2,得其中a1>0为数列首项,d>0为公差,则imE{八[(∑/n)+x]}=f(h+x)ddd1dda,t3d a,+d即a,td…,1+(n-2)dlmS八(x+kn)m“=(x+h)a1+(na1+d..a1+(n-1)d4建立二元随机模型求解二重积分a1+ nd o所以通过建立二元随机模型,将二重积分的计算问题转化为概率的求解问题,利用模型的性质,可以简a1n→+a1n+…+al.aa-aa+ma化积分的计算。例题3计算二重积分Id-d(an+nd)=1d其中D为椭圆(+2)≤k,k>03利用大数定律证明极限解建立概率模型设(,n)服从二维正态分战周的年男通用数准内被红所通布此三重积分恰为G2落在椭(二+别)≤明一些复杂的极限。内的概率其中6,相互独立且~N(0,a2),~引理1(辛钦大数定理)设Xn}是两两独立N(0,b2),于是同分布且具有限均值m的随机变量则有x2=(a)+(2)-x(2),所求概率为m,其中s,=∑x:,m=E(X)。P(X2≤K)=I引理2设g(x)有界连续,而,一→,则对FEr>0, lim g(E )-g(E)=Oo5用蒙特卡洛方法近似计算定积分例题2设∫(x)为[0,+∞)上有界连续函蒙特卡洛方法又称随机模拟法,通过构造适当数,x≥0,h≥0时,则有的概率模型建立相应的随机试验,利用概率性质,m(x+Mn)!c“=fh+x)可以近似计算定积分。以下题为例,其实这种方法是建立在辛钦大数证明设1n}两两独立且同分布,~P(k定律h),由泊松分布的性质得YHa中国煤化工CNMHGe/√2rdxP(∑:)=相]=m(下转28页)232010年4月廊坊师范学院学报(自然科学版)第10卷·第2期[参考文献]4结東语[1]刘华杰.分形艺术[M].长沙:湖南科学技术出版社由迭代规则集和控制概率集以及仿射变换集构[2] J. Hutchinson. Fractals and Self Similarity[J].Indiana成的IFS系统,IFS吸引子仅由迭代规则集决定,与Uniw.Math.J,30(1981)p713-747概率控制向量和仿射变换集无关。在实际绘图中,控[3]T. Fujimoto,Y.Ohn,K., Muraoka,N. Chiba. Fractal制概率控制拼贴图形各部分落点的密度,仿射变换Deformation Using Displacement Vectors Based onExtended Iterated Shuffle Transformation[J.艺术科学论集则控制拼贴图形块的拼贴方式,使图形显示出层文志,vol.lNo3p.134-146次的效果,与自然景观更加贴近。目前已有的分形图[4]李晓燕,IFS码图像生成算法[].华中师范大学学报,形生成策略,多数依靠试探性实验去挖掘,对于分形1996,(4)图形的IFS迭代规则集、控制概率集以及仿射变换[5]李水根分形M北京:高等教有出版社,204.[6]林贻侠,朱铨范,等.吸引子在代系統中的作用[J].上集选择的理论基础尚待建立。海大学学报,1995,(5)(上接23页)解设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布,题,进行仔细观察和分析,构造适当的已知的一维则Y=∫(x)的数学期望为或多维随机变量模型;第二,分析一维或多维随机变J=E(f(x)=f(x)dx。量的相关性质(如概率函数或概率密度的规范性,数字特征等)及一些定理(如大数定律,中心极限定理其中等);第三,利用概率模型进行求解或证明即得。对于概率问题中的其他数学方法,也要针对解决的数估计J的值就是估计f(x)的数学期望的值由学问题,进行仔细观察和分析,进而采取适当的微大数定律,可以用f(x)的观察值的平均去估计积分方法或其他数学方法进行求解。f(X)的数学期望的值具体做法如下:[参考文献]先用计算机产生n个(0,1)上均匀分布的随机1林正炎等,当前概率学科中的研究机遇[]数学进展,2004,(4):159-161x,i=1,2,…,n然后对每个x计算八(x),最[2]刘璃娟,对一类积分问题的探讨[J上海工程技术大学后得J的估计值为八≈f(x),则在精确值n学报,2004,(3):30-35[3]周惠新概率方法的妙用[J].高等数学研究,2005,(5):=105时的模拟值为0.341355。数学中的各个学科都是相互联系的,熟悉数学[4][关]W费勒等胡迪鹅林向清译概率论及其应用中的各种方法,可以提高综合解决数学问题的能力。[M].北京:科技出版社,1980[5]复旦大学概率论(第10册)[M].北京:人民教育出版利用概率方法的关键在于根据不同的数学问题,去社,1979构造合适的概率模型然后利用概率论中的相关性[6]柯召,魏万迪,组合论[M]北京:科学出版社,1981质与定理解决问题。数学问题中的概率方法可以归[7]王梓坤概率论基础及其应用[M].北京:科学出版社结为以下三个步骤:第一,对于所要解决的数学问中国煤化工CNMHG28