Taylor定理的应用

跨世纪2008年7月第16卷第7期 Cross Century,June2008,vol16,No.7127Taylor定理的应用韦洁华(广州南洋理工职业学院基础部,广西,贵港,510980)【摘要】本文通过实例介绍 Taylor定理在证明不等式、导数的中值估计行列式的计算、定积分的近似计算及定积分计算、关于界的估计、函数方程金融数学中的应用。【关键词】 Taylor定理;不等式;中值估计;行列式;定积分;界;函数方程;AaR;债券中图分类号】013【文献标识码】B【文章编号】1005-1074(2008)06-0127-02Taylor定理:若∫"(x)在[a,b]上连续(x)在(a,b)x)2内存在则Ⅴx,x∈[a,b],3在x与x之间,使得下式成立因此,fx)=f(x)+fx)++n/”()(x-)”+R(x),、(1) min ox,xe(0,),(x)=f(a)+f(a)f: (a)f(°(a)2!(x-a)2+A+证明原式等价于八(x)=mnx,nx-2>0,因(0)=f)(x-),=(0)=0(x)=sinx5mc2x-1)+ bsin xsec'r>0,根据行列式的性质,对于任何k∈N,有4=a(a-b),又故f(x)>0(当x∈(0,0))原式获证根据行列式求导法则,有fn(x)=mfn1(x),fn-(x)=(n-1)f2(x),A,2(x)=2f12导数的中值估计例2设f(x)二次可微,(0)=f(1)=0,maxf(x)(x),f1(x)=1,所以f(x)在x=a处的各阶导数为f(a)=n(n-1)A(n2,试证mn(x)≤-16证明:因f(x)在[0,1]上连续,有最大最小值,又因k+1)a(a-b)"k(k=1,2,A,n-1)f("(a)=n(nmaxf(x)=2,f(0)=f(1)=0,故最大值在(0,1)内部达1)A2·1,从而到所以3x∈(0,1)使得fx)=a(a-b)“1+.(a-b)2(x-a)+D,1)a(af(x0)于是f(x)为极大值由 Fermat定理,有f(x)==0b叫("1)A2a(x-a)1+-1)21在x=x处按 Taylor公式展开,3v∈(0,1)使得:0=(0)=f(x)+()(0-x)2=2+f(x)x2若中国煤化工)b];0=(1)=(x)+1f(n)(1-x)2=2+fn)(1-若a≠CNMHG作者简介:韦洁华(199~),女,广西费港市人,广州南洋理工职业学院基础部助教从事高等数学线性代数概率论等基础课程的教学与研究。128跨世纪2009年7月第16卷第7期 Cross Century,June2008,vol16,No74定积分的近似计算及定积分计算式给出例4∫f(x+h)=ftx+h)此式两端同时对h求导,减去f1x),除以h,然后令h0取极解:原式=d=1(1-2+x2-A)d=1限即得(x)=0,(x)为二次函数7在金融数学中的应用7.1在VaR计算中的应用ⅤAR模型,自20世纪90年代被引人到风险管理中,已经成例5求定积分bdx的近似值。为金融机构和监管当局所广泛采用的风险度量和管理工具。解:该被积函数的原函数不是初等函数,故用牛顿一莱VaR模型的常见计算方法有参数法、历史模拟法和蒙特卡罗布尼敛公式是无法求出其精确解的,考虑的泰勒展开,模拟法其中的参数法就是由资产价值函数的黍勒展开来计能方使的求出其近似数算,并且依据函数展开阶数的不同,分为dela类方法和gamma类方法。考虑一个投资组合X=(x,x2,A,x)「其中X,isin( Axx21,2,A,n表示第i种资产的投资权重,t时刻所有资产的价7!3!5值向量V=(v1,2,A,,),组合X的价值为v=∑x,在下sin( ex一个时段内,组合价值变动为4=△,假设每种所以资产价值都由K个市场因子确定,且这K个市场因子服从联合正态分布,F=G1J2,Af),则AV按照一阶泰勒展开得in( ex△=∑x洲(F,)、m(F,)因为-2(1,故;=d由此得出dla参数法;若将投资组合的价值变动函数按照二阶泰勒公式展开,则得 gamma参数法。9461,误差R<1!;<0.5×10-37.2在债券定价中的应用在债券的定价及投资组合风险值的计算中,平均期限是一个重要的概念,它衡量基础产品价5关于界的估计格相对于基础利率变化的幅度。一个20年期的债券也许只例6设f(x)在[0,1上有二阶导数,0≤x≤1时有17年的平均期限.这意味着,如果利率上升2%,该债券f(x)|k≤1,|f(x)|<2试证:当0≤x≤1时,|f(x)|≤3价格将下跌34%;而利率下跌1%时,债券价格则上升17证明:1)=f(x)+(x)(1-x)+f)(1-x)2%,若每次用vaR模型来进行计算,工作是十分烦琐的.举例来说现有一个5年期的票面金额为100美元的债券,年利f(0)=f(x)+f(x)(-x)+f(n)(-x)息为10美元计算当利率从10%变化到11%或15%时,债券的价格变化.如下表所以(1)-f0)=f(x)+(x)+)(t)(1-x)2-f(n)表1债券的价格变化x)≤|f(1)|+o)+31()(1-x)2+10%11%15%利息(s)10毒108纸n)kx2≤2+(1-x)2+x2≤2+1=31086函数方程中的应用期限(t)5Sy例7设f(x)在(-∞,+∞)内有连续三阶导数,且满足方贴现因子Dn(0.62090.59880.4972f(x+h)=f(x)+hf(x+h),0<0<1(6和h无关).(1)试证:f(x)是一次或二次函数年金因子(-m3.7913.64733.3520证问题在于证明:f1x)=0或fTx)=0.为此将(1)式对h求导注意θ和h无关,我们有零息票部分6209:59.88849.72f(x+h)=f(x+h)+h1x+h)(2)年金(-D)x)3791836.4733.528从而x+b)-(x)-(x+h)=6f(x+助h).令h→0取极中国煤化工9.36883248限,得;f(x)-6f1x)=f(x),f1x)=2ef1x)aYHCNMHG若6≠,由此知fx)=0,f(x)为一次函数;若0=,(2)跨世纪2008年7月第16卷第7期 Crois Century,June2008,vol16,N.7129学习型社会中成人教育现状及其发展趋势徐炳(黑龙江大学成人教育学院教学部,黑龙江,?,?)【摘要】成人教育是面向社会所有成人的一种学习教育形式,在学习型社会的建设中具有重要的地位和作用。然目前我国的成人教育中还存在许多问题这必然影响我国建立学习型社会的目标。因此,有必要研究成人教育发展中的问题并给子解决,以充分发挥成人教育在建立学习型社会中的作用【关键词】学习型社会;成人教育终身教育【中图分类号】C72【文献标识码】B【文章编号】1005-1074(2008)07-0129-02近年来,我国党和政府部门十分重视“学习型社会”的建每个人的学习能力就业能力和创业能力,使自己的潜能得到设党的十六大明确提出把在2020年“形成全民学习终身学充分发挥,才智得到充分的展示,实现个人价值。习的学习型社会促进人的全面发展”列为小康社会的一个从社会角度来看,“学习型社会”是社会发展的必然要重要目标,并强调要“加强职业教育和培训,发展继续教育,求。经济全球化的今天,国际竞争日益激烈国际间的竞争表构建终身教育体系。成人教育是终身教育的一部分,是一种现在人才的竞争上,重视教育,培养创新型人才,实现人的自非常适合所有社会成员学习能满足其不同学习需求的开放和全面地发展,从而为社会创造更多更好的价值和财富,从性教育形式。同时,它也是促进社会进步与和谐发展的有效而推进社会的变革与进步,成为全球化的大趋势。建立学习途径,与学习型社会的建设紧密相连,关系密切。在这个意义型社会。因此,社会向每个成员提出了不断学习,更新知识和上来说,成人教育的发展对于学习型社会的建设就具有十分技能的要求。重要的促进作用,是促进学习型社会形成的重要途径2学习型社会的成人教育的现状对学习型社会内涵的理解成人教育的对象都是社会成人,他们参加成人教育学习党的十六大提出构建“学习型社会”的宏伟目标。根据的过程其本身就是学习化社会建设的一部分;同时,他们接受十六大报告的提法所谓的学习型社会是以终身学习和全民成人教育后又回到社会继续扩展学习持续学习这不仅仅是学习为核心内涵的。他们自我完善的行为,而且对学习型社会的建设也是一种扩从个人角度看,学习型社会是个人生存和发展的需要。展、促进、推动。因此,重视和发展成人教育应该是发展各类随着信息时代的到来,科技日新月异,知识更新的步伐加快,教育,优化教育结构增强教育供给能力的重要环节。然而,从竟争也日益激烈。个人要想在激烈的竞争中取得一席之地,目前的成人高等教育发展现状来看既有先天不足的问题,也就需要不断学习,不断“充电”,更新知识和技能以应对社会有后天跟不上社会经济发展的因素。其表现为:需求。同时,“学习型社会”为社会成员提供良好的学习环2.1社会对成人教育存有偏见传统思想认为,成人教育境,社会的每个成员都享有学习的权利都有接受教育的机是非正式教育,就是“用金钱换取文凭”,成人教育和正规教会,人人都在实践终身学习,全体社会成员通过学习不断提高育相比被认为是“低人一等”。这种偏见的长期存在必然影麦考雷( Macaulay)利用泰勒展开式的第一项求出该债券平2同济大学应用数学系.高等数学(上册)[M].北京高等教育出均期限为3.791.用平均期限法预计:利率从10%上升到版社,1987:260-26311%,债券价格下跌3.91%,即新价格为96.21美元;而3华东师范大学数学系数学分析(第三版)[M],北京:高等教育出利率从10%上升到15%,价格下跌18.96%,债券价格变杜,202为81.05美元,因此当利率变化不大时,平均期限法的预计Cormac Butler.风险值概论[M].上海:上海财经大学出版社相对准确;但当利率变化较大时误差较大,麦考雷用凸性及2002:137-153凸性的修正值重新估计,得到了非常满意的结果.凸性(用y衰2引率变化表表示)表示的是秦勒展开式的第二项,再用12XyX(r)2进行调整(△r为利率变化),如表2。(该债券的凸性用泰勒利率变化公式易算为19.37)平均期限我们发现与债券的实际价格非常接近;但极大地减少了平均期限估计值3.791%18.95%工作量麦考雷正是通过泰勒展开式求出了修正的平均期限和凸性值;而布莱克( Black)和斯科尔斯( Scholes)利用它建中国煤化工2.421%立了著名的期权定价模型。CNMHG18.95%+2.421%8参考文献1装礼文数学分析中的典型问题与方法[M]北京高等教育出版债券新价格3183.47社,1993