伪除法及其应用

2012年03月内蒙古民族大学学报Mar.2012第18卷第2期Journal of Inner Mongolia University for NationalitiesVol 18 No. 2伪除法及其应用白根柱,孙飞(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽028043〔摘要〕本文利用伪除法很妤地解决了有理系数多项式带余除法运算中出现分式系数的问題。可应用于求两个多项式的最大公因式并求满足丢番图方程八(x)u(x)+g(x)n(x)=(f(x),g(x)的u(x),(x)以及判断多项式八(x)有无重因式。〔关键词〕伪除法;带余除法;最大公因式;重因式〔中图分类号〕015〔文献标识码〕A〔文章编号〕1671-0185(2012)02-0001-021引言在高等代数中,我们讨论了域上的一元多项式环,这样的环是 Euclid整环。而在 Euclid环上是可以进行带余除法运算的,这使得我们能够容易地处理给定的问题。但是有时很多研究对象不是 Euclid整环,比如说整数环上的一元多项式环。又如对某一多元多项式,当把它看成某一未定元的多项式时,它的系数是其他未定元的多项式,这种观点下的多元多项式全体就是一个环上的多项式环。基于问题的需要,我们必须讨论环上的多元多项式环2定义和主要结论设D是一个整环,D上的一元多项式的定义和次数同高等代数22我们讨论D上的一元多项式的全体D(x。设给定的多项式A∈D[x]的次数为deg(A)=n,A中的乘幂x的系数为an,则称ax为A的领式记为lm(A)=anx,an称为A的领项系数,记作c(A)=an,x称为A的领项,记作t(A)=x定义2.1设D为唯一分解环,A=∑ax∈Dx]。A的容度记作cont(A),定义为eont(A)=gcd(a,a1,…,an)。若cont(A)=1,且e(A)=1,则称A为本原的。A的本原部分记作pp(A),定义为p!A)=u(A)- A/cont((A)。为方便计,定义cont(O)=pp(0)=0。由带余除法,容易证明以下定理。定理22设f(x),g(x)∈Dx],(f(x)≥叭(g(x))且le(g(x)=b≠0,则存在q(x),(x)∈Dx]满足a(r(x)a(n2(x))>…>a(n(x))>…,故序列(x),(x),…,(x),…必终止于某n(x)。于是由定理23可知,有n(x)=gcd((x),g(x))。3实例应用定理22和定理23,先求出满足定理条件的商式和余式以及两个多项式的最大公因式,并得到整系数的相关等式最后每一个等式除以同一整数,即可得到满足条件的各个式子。例1设f(x)=x4-2x3-4x2+4x-3g(x)=2x-5x2-4x+3是Q(x)上的多项式,求a(x),v(x)∈Q(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=((x), g(x)).解:作伪除法2f(x)),r1(x)=-3x2+14x-15(-3)28(x)=(-6x-13)r1(x)+(56x-168)=(-6x-13)r1(x)+n2(x),2(x)=56x-168;6r1(x)=(-3x+5)n2(x)于是56(x-3)=22(6x+13)f(x)+(-12x2-32x-4)g(x)(x-3)=u(x)f(x)+u(x)g(x)。其中x这个方法还可以应用于判断一个多项式是否有重因式,在计算过程中每次带余除法都是在整数环中进行,最后列出满足条件的等式。考文献〔1〕张禾瑞近世代数基础(修订本)[M〕北京:高等教育出版社,1978〔2)张禾瑞,郝炳新高等代数(第三版)(M〕.北京:高等教育出版社,1983〔3〕张树功,雷娜,刘停战计算机代数基础(M〕.北京:科学出版社,2005.〔贵任校对郑瑛〕中国煤化工CNMHG