小波变换及应用

第45卷第5期汽轮机技术Vol 45 No 52003年10月TURBINE TECHNOLOGYoct.2003小波变换及应用黄石红,付行军,王育(东南大学,南京210096)摘要:小波分析是信号处理中的一门新的学科,具有许多优良的特性及广泛的应用前景,简要地介绍了小波变换的基本原理,并给出在信号谐波有效值估计中的应用。关镛词:小波变换;多分辨率;谐波分类号:TP68文献标识码:A文章编号:100145884(2003)050268-02Wavelet Analysis and its applicationANG Shi-hong, FU Xing- jun, WANG YUSoutheast university, Nanjing 210096, China)Abstract: The wavelet analysis is a new subject in the signal processing. It has many good characteristic and applied per-spective. The basic principle of the wavelet transform is briefly introduced in this paper. The application of the wavelettransform in the estimation of the signal virtual value is also put forward.Key words: wavelet transform; multi-resolving power; harmonlous用离散的扩展因子a和转移因子b。令a=a,固定的扩展0前言步长a>1,b/a=mbq°,整数m,n=±1,±2离散的小波函数为:小波变换是在短时付里叶变换的基础上发展起来的种新型的变换方法,它是一种基于时频域的局部变换,能够离散的小波变换为比较有效地从变化的信号中提取突变信息,通过对基函数的伸缩、平移运算,达到对信号的多分辨率分析。啊m,)={)()当a较小时,时间分辨率高适宜分析高频信号,以便基本原理深人地观察信号的细节对瞬态信号出现的时间的估计较为准确。a较大时频率分辨率高适合分析低频信号,可以1.1小波变换及其性质看到信号的全貌。小波的这一特性被称之为变焦特性,正是函数p(t)被称为基小波则它满足这一特性使得小波在分析有多个信号叠加或信号在时间上q()d=0有部分交叠的信号类型时,表现出更好的适应能力,它通过选择a,b使ab尽可能地小,使小波变换的系数的峰值出此式说明具有振荡性,其本身就是一个波。现在不同的n上,有效地将它们分开。对于尺度及位移均离由基小波g(的伸缩和平移生成的函数,()被称为散变化的小波序列若令马=2,即只将小波在尺度上进行了连续小波离散而位移仍然连续变化这类小波称之为二进小波表示9,()=|a|"?)a,beR,a≠0式中,称为尺度因子b称为平移因子。9,()=2+(2)函数pnB()具有伸展(a>1)、收缩(a<1)的作用改变b可以实现函数φ(t)对信号∫(t)的平移及扫描。二进小波变换介于连续小波变换和离散小波变换之间,对于信号∫(t)∈(R)(即能量有限信号),关于小波它只对尺度因子进行了离散而在时间域上的位移仍然保持甲(t)的连续小波变换被定义为:连续变化保持着连续小波的一个重要的特性—平移不变啊(a4)=叫(yd-上.,()d性,因此被广泛应用于模式识别和信号的奇昇性检测中。上所述,小波变换最重要的特性在于它的“聚焦”性工程实践中信号往往通过采集器离散化因此小波使设中(x)是一基小波窗口宽度为At,窗口中心为,则小波收稿日期:2002-12-18作者简介黄石红(1958),男河北石家庄人。职称副研究员。从事电THt开分分市相立查多篇中国煤化工CNMHG期黄石红等:小波变换及应用t的窗口中心为:tA=ab+b,窗口宽度2应用为:A.=aAt同样地设φ(a)为p(t)的 Fourier变换,频域窗口中心从信号处理的角度来看,小波变换就相当一组不同的滤为a,窗口宽度为Aa,则有:q,(a)=ahe-p(ao)的频波器,如果将信号中的最高频率看做是1的话,那么各层小域窗口中心为:0-1,窗口宽度为,A.=1△波分解所占的频带如表1所列。由此,在时-频平面上构成一矩形面积,由ψ(x)所决定频的窗的面积是固定的,但其长、宽可发生变化。如图1所示。0-0.50.5-10-0.250.25-10~0.1250.125-0.250-0.06250.0625-0.1250~0.031250.03125-0.0625由此可以看出,在小波分解下,不同的尺度具有不同的时频分辨率能有效地将信号的不同频率成分分开。利用小波的分解系数来测量信号谐波的有效值,如果信号f(t)是以周期为T的电压信号则其有效值定义为:在高频处,时频窗变窄,时间分辨率低而频率分辨率高在低频处情形刚好相反。因此,小波变换能够将信号中不同的频率成分含量采用相应的时空域进行分解,从而能够将其中,c:的均方根值可表示输入信号f(t)中的低频正弦分量号中不同频率、不同时段的信息分别提取、分析(或基波)有效值,由c可重构低频(或基波)信号,以的均1.2值号的小波分解方根值表示为在尺度j下的子频带中的正弦分量有效值,可采用小波变换时,任意信号∫()ε(R)均可用多分辨由重构该子频带中的高频细节(或谐波)信号率分解公式表示为设信号谐波表示为:()=99,()+4响f()=∑an2r即由尺度函数表示的低通滤波器组,用于提取信号的慢变部式中为信号的基频其频率为工频S0H,a1为基波有效分,由函数表示的带通滤波器组,用于在-∞~J的尺度内,值;a,为第π次谐波的有效值。倌号通过采集器.样频率提取信号的细节信息。分解系数c:和d分别代表信号被取f=12,8kHx,得到信号序列fn),利用Daub24小波经多离散后的平滑近似信号(低频部分)和离散细节信号(高频分辨率分解得到分解系数c和d.小=1,2,…,J。由c得部分),其递推计算公式如下:到基波有效值,由d得到小于该尺度j的各个子频带中的谐波有效值。利用 MATLAB仿真分别取各谐波幅值a1=1,吗=1/3ya5=1/5,小波分析尺度j=1,2,…,6,得到各谐波信号的基式中,h(k)和b1(k)分别为低通数字滤波器和高通数字滤波谐波有效值列于表2波器的单位冲击响应。取h1(k)=(-1)(k),它们构成正交镜像对称滤波器组。c和44分别是c-1和b(-)和仿真值h1(-k)卷积后,二抽取得到的信号序列,所以小波多分辨率信号分解可用多抽样率子带滤波器组来实现。如图2所示。0.33350.33330.20650.2000k)一[2一(k)[23结束语小波变换以小波函数作为函数展开的基底在时域和频分解的目的是力求构造一个在频率上高度逼近2(R)域同时具有良好的局部化特性可以在多尺度上对信号进行空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当多分辨率的分析。小波变换已在信号处理领域得到了广泛于不同频带的带通滤波器。的应用,并且还在发展中。中国煤化工CNMHG