Cantor集的性质及应用

第27卷第2期大学数学vo.27,№,22011年4月COLLEGE MATHEMATICSApr.2011Cantor集的性质及应用李翠香,石凌,刘丽霞(河北师范大学数学与信息科学学院,河北石家庄050016)[摘妻] Cantor集是实函数论中一类重要的集合.本文从定义、性质及应用三方面研究了 Cantor集.目的是帮助初学者对 Cantor集有一个较全面的认识[关键词] Cantor集; Cantor函数;反例[中图分类号]O174.1[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(201)020156-03Cantor集是德国著名数学家 Cantor构造的一类特殊的点集.,它的特殊的构造过程使它有许多奇特的性质,这些性质常常是数学工作者构造反例的基础.它的巧妙构思也为我们解决某些数学问题提供了方法和思路.对它进行全面深人地研究,对学好实变函数论及相关课程有重要的促进作用1 Cantor集的定义第1步,将区间[0,1]三等分去掉中间的开区间(,2);第2步,再将剩下的两个闭区间.3][分别三等分,各去掉中间的开区间(3)和(3)一般地,在第n步时,对第n1步剩下的2-个闭区间分别三等分,各去掉中间的开区间,如此继续下去,就从[0,1]中去掉了可数个互不相交的开区间,剩下的集称为康托尔集C.设G=[o,1-c,则G=0r,其中P为第n步去掉的第m个区间区间长为由作法可知,{I=}为一列互不相交的且没有公共端点的开区间,G是开集令F表示第n步剩下的2”个闭区间的并集,则由定义可知C=∩Fn另外由p进制的表数法可知C可用下列3进制来表示2杂xx…,∈0,2)}={2232x1,x,…,…”∈01)}2 Cantor集的性质性质1C为没有孤立点的闭集,即为完备集证因为C=[0,1]-G,G是开集,所以C为闭集中国煤化工)没有公共端点,所以C没有孤立点CNMHG[收稿日期]2009-1228[基金项目]国家自然科学基金项目(10771049);河北师范大学精品课建设项目(JPKc0807)第2期李翠香,等: Cantor集的性质及应用157性质2C没有内点,即为疏朗集证任取x0∈C,及它的任一邻域U(x0,8),存在n使得3<8.当去掉手续进行到第n步时,剩下2个长度是3的互相隔离的闭区间,x0必含于某一闭区间I,从而IcU(x,3-")cU(x0,8),进行第n+1步,去掉了I的中间开区间,故U(x0,8)C.所以C没有内点性质3C为零测度集证由可数可加性知mG=∑∑m=∑3=1,所以mC=1-mG=0性质4C为具有连续基数c的集.证由(1)式可知集合C与集合{0.x1x2x3…x1,x2,x3,…∈{0,1》对等,而后者正是用二进制表示的区间[0,1]中点的全体.从而C具有连续基数正是 Cantor集这些奇特的性质和它的巧妙构思,为构造一些重要反例提供了启示3 Cantor集的应用例1 Cantor集为以下论断提供了反例:(i)可数集的测度为零,但测度为零的集未必可数;(i)非空的没有孤立点的闭集的测度未必大于0;(i)非空的没有孤立点的闭集未必含有内点;(iⅳv)孤立点集必是疏朗集,但疏朗集并非都为孤立点集例2 Lebesgue可测集全体μ的基数等于直线上的所有集合所成的集B(R)的基数证显然有≤B(R).另一方面,因为 Cantor集C的测度为0,所以它的任何子集都可测,且为零测度集,故B(C)≤P.又因为C=c=R,故B(R)=B(C≤综上有=B(R)例3对任意的A:0≤A≤b-a,存在完备集EC[a,b],使得mE=A证当λ=0,b-a时,分别取,[a,b即可.当0<λ