广义索末菲积分快速算法及架空导线与地下导线间互阻抗的计算

第21卷第9期中国电机工程学报Vol 21 No 9 Sep. 20012001年9月Proceedings of the CSeeC2001 Chin. Soc. for Elec Eng文章编号258-8013(2001)09.0043-04广义索末菲积分快速算法及架空导线与地下导线间互阻抗的计算邹军,袁建生,马信山〔清华大学电机系电工新技术研究所北京100084)FAST EVALUATION OF GENERALIZED SOMMERFELD INTEGRALAND THE MUTUAL IMPEDANCE CALCULATION BETWEEN OVERHEAD CONDUCTORSAND UNDERGROUND CONDUCTORSZoU Jun, YUan Jian-sheng, MA Xin-shanSchool of Electrical Enqineering Tsinghua University Beijing 100084 ChinaΔ BSTRACT: An efficient approach to calculate the generalized媒质电磁场求解的关键问题。一般说来根据场点ommerfeld integra GSI), which is based on the discrete compl和源点之间的距离、媒质参数以及频率范围等条件image method; is presented. GSI is separated to the sum of two GSI的计算可采用解析近似法、数值积分法和解析tems, one of which is the approximate value obtained from an ana-数值积分法1近年来离散复镜像法由于有较好Prony s method another of which的计算精度和合理的物理意义,已经成为计算GSIan emendatory integral acquired by an adaptive quadrature. The e-的重要方法。但是对于有损媒质中的CSI直接采nendatory integral kernel is the difference between the original anthe asymptotic integral kernel and converges very fast. The validity用离散复镜像法计算精度不够理想还需借助于比of the method herein is proved by the numerical solution of the mu较耗时的优化技术或采用函数近似处理技术23al impedance between overhead power lines and underground有限长架空电力线路与地下通信电缆之间的互telecommunication lines. It is shown, compared with the conventinal阻抗计算是电力系统对通信系统电磁干扰研究的基integration method, that the method herein can increase the calcula-础。文4时论了考虑架设高度时有限长导线间电tion efficiency more than 20 times感的计算但其没有考虑位移电流的影响不适用于KEY WORDS Dower line; communication i;irne;较高频率的情况同时其计算中尚涉及无穷级数的generalized sommerfeld integral计算。摘要提出一种基于离散复镜像法的广义索末菲积分(GSI)针对上述问题本文提出了一种快速计算GSI快速计算方法。该方法将(S表示为离散复镜像近似值和的解析数值方法。该方法将CS表示为离散复镜积分校正项之和其中离散复镜像近似值采用P方法得像近似值和快速收敛的积分校正项之和增加积分到解析式求出积分校正项以原积分核与逼近积分核之差作校正项充分保证了GS的计算精度。架空电力线与为校正积分核采用自适应积分法求出。架空电力线路与地地下通信电缆互阻抗的数值计算结果表明,与常规下通信电缆互阻抗的数值计算结果表明该方法比常规数值的数值积分法相比同样精度下采用本文方法可提积分方法计算效率可提高20倍以上。高计算效率20倍以上。关键词电力线路;通信电缆;阻抗;广义 Sommerfeld积分中图分类号M726.3N13文献标识码2计算方法图1是平行有限长架空电力线与地下通信电缆引言中国电机工程学报第21卷建立局部坐标(0-n)有限长电缆位于平面x2内,式中R+2表示为线段CD在其上建立局部坐标0-5)其中则1可表示为AB平行于CDx1平行于2,r为AB和CD上任意-jh, R两点间距离。根据 Sommerfeld偶极子场理论架空R(6)电力线和地下电缆之间的互阻抗可表示为41)。ZWiNds(1)式中Rl△的积分核引入了λ)和其渐进函数W40+1c",J则(2)Fa2(u1)之差,/△为快速收敛的积分。2.1待定系数a和b的确定式中c=3(4π,joo),Ao=m√p0eo,k1=a1和b1可采用Pomy方法确定5由于 Prony方OVulE法是对实变量函数的逼近而F2(u1)的变量u1为复变量因此尚需改变积分路径以适合Pron方法。图n1=√2-4和c0分别为真空磁导率和电容2是入平面和m1平面积分路径示意图根据积分核的率,为大地相对介电常数为大地电导率为r性质,可选择平面和u1平面的第一象限作为在xoy平面内的投影:为第一类零阶 Bessel I函数; Rieman面的上半页,该页内积分核无极点。设积分Kh>0)和xz<0)分别为电力线路的架设高度W1沿实轴路径C进行且在A=T时可作积分截断和地下电缆的埋深。(T的估计方法见文6])映射至u1复平面中对应路径C和点T。根据积分围线定理积分路径C可变为沿直线C1进行反演至λ平面对应积分路径C1C图1架空电力线与地下电缆布置示意图图2λ平面和a1平面积分路径示意图Fig 1 Schematic diagram of an overhead powerline and an underground telecommunication lineFig 2 Schematic diagram ofintegration paths in the complex 2 and uI plar令(x)=21e-"则式2)可变换为取积分路径C1为3W:=[x)=(m)…从)从+()2=h(+1,(x-=12]0≤≤(7)Fa(u1)e“i,Jλp)=1△+lan式中xr=RfuT)k1]r=hna(T)k1l沿C1对Kλ)作解析开拓则(3)Kt)=F(√u1)+k)0≤(8)式中Fa2(u1)为rA)的渐进函数;为Wx1的采用Pony方法对t)作逼近则近似闭合解析表达式;△为积分校正项。若Fa2(u1)可表示为ftAe(9)(4)由式(7)比较式(4)和式(9),可确定待定系数和式中a;和b;为待定系数;N为展开项数。由式3)和式4)利用 Sommerfeld积分恒等式A第9期邹军等:广义索末菲积分快速算法及架空导线与地下导线间互阻抗的计算式中D=1+、yT2.3本文方法的适用范围在Pony方法N个展开项对应2N个采样点综本文通过对积分核有效的近似得到了快速收合考虑计算精度和计算效率,般N=5~10即可敛的校正积分。数值计算的经验表明,计算频率在达到较好的计算精度。10Hz以内大地电导率和电容率取实际参数时本2.2积分校正项的计算文方法具有良好的计算精度和较高的计算效率。当积分校正项为计算频率高于10时采用 Prony方法逼近GS的1=[(A)-Fm1)}e,)积分核十分困难需增加采样点以保证逼近精度此时消耗确定Fa(u1)上的时间已经相当可观从而(1)整体上计算效率并没有改善不宜采用本文方法。式10)可沿实轴积分路径C进行此时J可应当指出对于高频段和甚低频段,般可采用鞍点用多项式精确逼近。应当指出,虽然渐进函数法或采用准静场条件导出近似解析公式Fa、(u1)的采样点在积分路径C1上但是根据解析原积分核实部函数解析开拓的唯一性定理,可保证在积分路径校正积分核实部C上Fa(u1)亦是Kλ)的渐进函数。在Co上支点A=k附近Kλ)变化剧烈,F(u1)在该点附近逼近精度较差,Ⅰ△修正的正是来自于这一部分的积0.02分误差。取εn=1J=0.02S/mf=0.5MHzh4048.0mz=-0.8m=100m图3、图4和图5分别图4原积分核与校正积分核的实部随自变量x的变化是原积分核和校正积分核的模、实部和虚部的比较。Fig 4 Real part variation of the original integralkernel and the emendatory integral kernel versus 10.04原积分核虚部0.04原积分核模校正积分核虚部校正积分核模003402WYNNes1020.3404图3原积分核与校正积分核模随自变量λ的变化图5原积分核与校正积分核的虚部随自变量λ的变化Fig 3 Module variation of the originalig. 5 Imaginary part variation of the original integralintegral kernel and the emendatory integralkernel and the emendatory integral kernel versus akernel versus independent variable 1从图3图4和图5表明原积分核减去其渐进3计算实例函数后已经具有快速收敛的性质。在积分路径上在实际计算分析中,常用参数为导线间单位长按JA)的零点将无穷积分区间划分成若干子区度的互感系数M,它与式1)定义的阻抗有如下关间以相邻两个零点作为1个积分区间各区间采用系:M=Zjol)其中l为两平行线路的平行长度自适应 Simpson积分法。这一积分法能根据函数变算例1采用文4惨参数架空电力线路和地下化激烈的程度自动调整积分步长适合振荡函数的电缆布置如图1所示各段坐标为:A(008m,(1积分。积分的截断根据误差限δ确定。设前n个589.4,0,8)m;C(1059.8,y,-0.8)m,D区间的积分值之和为S第n+1个积分区间的积(1589.4y,-0.8)m式6)中函数展开项N取分值为△Sn+1若积分收敛条件|△S+Sn1<δ满0表1为f=50Hz采用本文方法计算互感系数直到积分收敛条件满足。事实上由于校正积分核必4以及CCm结果的比较、以便验证本文方足积分停止,=S+△S,1否则重复上述过程与文算例2作为本文方法的应用可计算互感系数中国电机工程学报第21卷表2是水平距离y=50m采用本文方法和常规的的资助在此表示衷心感谢。数值积分法计算结果的比较。表2中第三行给出了以数值积分值为基准本文方法的误差。参考文献:表1不同计算方法结果的比较pH[1]彭仲秋( Peng Zhongqiu). Sommerfeld积分的计算 The evaluation ofTab 1 Comparison of results by means of different methodsmeerfeld integrals IJ]电子科技大学学报( Joumal of UEST of水平距离y/m文4]China)198544)88-97323.5mensional dipole above and withinground J]. IEE Proceedings-H,1991,1384)319326表2互感系数频率特性μHkm)[3]王建兰康彭仲秋 Wang Jian Lan Kang Peng Zhongqiu).有耗半Tab 2 Frequency character of the mutual induction空间天线问题中的广义 Sommerfeld积分( Generalized sommerfeld频率/Hz5000500000integrals for antenna problems in half lossy space IJ电子学报数值积分296.57134.4829.815.85TA Electronical Sinica ), 1995, 23(3) 104-107.本文方法296,93137,2830.695.61[4]崔鼎新李寒非( Cui Dingxin ,Li Hanfei)两条平行单导线之间的误差百分数/%1.22.082.低频互感系数( Coupling coefficients between two parallel conductorsin the case of low frequency IJ].电机工程学报( Proc of CsEe)从表2中可看出本文方法具有良好的计算精1984(1):33-43度。在普通P·Ⅱ333微机上采用常规的数值积分[5] Hamming R W. Numerical methods for scientists and engineer[ M方法计算一次大约耗时40~60s而采用本文方法New York: McGraw-Hill Book Company, 1973平均耗时2s左右。计算效率提高20倍以上6]王锡良彭仲秋 Wang Xiliang Peng Zhongqiu) Sommerfeld积分的近似级数展开( Approximateof sommerfeld inte-4结束语lsiJ]电子科技大学学报 Joumal of UEST of China)99120本文提出了一种基于离散复镜像法的广义7]沈燮昌( Sheng Xiechang)复变函数论基础( Basis of the complexSommerfeld积分的快速算法,其核心是将GS用function[ M]上海:上海科学技术出版社( Shanghai:ShanPony方法近似表示然后用快速收敛的积分对GSIience and Technology Press ) 1982的近似值作修正。本文方法适用于需反复大量计算收稿日期20000417;改回日期20006.06。CS的场氜例如频域法电磁暂态计算)有限长架作者简介空电力线与地下通信电缆互阻抗计算结果证明了本邹军(1971-)男博士生文方法的正确性和实用性。袁建生1959-)男教授博士从事电磁兼容方面的科研工作马信山1934-)男教授博士生导师从事电工理论与新技术、致谢电磁兼容方面的科研工作本文研究工作得到清华大学博土学位论文基金责任编辑丁玉瑜)一护护一护护小护护小护护一护小护护小护护一护护护小护一护护一护《中国电机工程学报》对论文摘要的编写要求摘要是科技论文的重要组成部分。摘要是以提供文献报道性摘要是指明一次文献的主题范围及内容梗概的内容梗概为目的不加评论和补充解释简明、确切地记述文简明摘要相当于简介。报道性摘要一般用来反映科技论文献重要内容的短文。其基本要素包括研究的目的、方法、结的目的、方法及主要结果与结论在有限的字数内向读者提果和结论。供尽可能多的定性或定量的信息充分反映该研究的创新之摘要大致可分为报道性摘要、指示性摘要和报道-指示处。性摘要3种类型。《中国电机工程学报》要求中文摘要篇幅以300个左右《中国电机工程学报》要求写报道性摘要的汉字为宜英文摘要应与中文摘要相对应