仿射变换的应用

第26卷第4期聊城大学学报(自然科学版)ol. 26 No. 42013年12月Journal of Liaocheng University( Nat. Sci.Dec,2013仿射变换的应用梁秀红1:3窦龙江2于兴江3(1.聊城八中,山东聊城252000;2.聊城文轩中学,山东聊城2520003.聊城大学数学科学学院,山东聊城252000摘要利用仿射变换研究了椭圆的性质关键词仿射变换,椭圆,圆中图分类号O182.1文献标识码A文章编号1672-6634(2013)04-0033-03仿射变换(见[1])是一种常见的变换其定义为定义称平面x到自身的一个变换T为仿射变换如果对r上的任意点P(x,y)与其像P(x,y)之间的关系,由公式下式确定x-a11x+a12ya13a11a12≠0.仿射变换保持图形的同素性和结合性所谓保持同素性就是把点(线)变成点,保持结合性就是把点在线上变成点在线上现在利用仿射变换把圆的几个性质推广到椭圆上我们知道,半圆上的圆周角是直角.现把推广到椭圆上图1半圆上的圆周角图2半椭圆的圆周角设椭圆的方程为则它的两个顶点的坐标为A(-a,0),B(a,0).设M(x,y)为椭圆上异于A,B的点,见图2.作仿射变换b中国煤化工收稿日期:2013-06-01CNMHG基金项目:山东省中青年科学研究奖励基金资助(Bs20l0SF004)通讯作者:于兴江, E-mail: yuxingjiang lcu.edu.cn.34聊城大学学报(自然科学版)第26卷则椭圆变成了单位圆:x2+y2=1,直线MB和MA的斜率分别为设椭圆上的点M在上述变换下变成了单位圆上的点M(x,y),而A和B分别变成A'(-1,0)和B(1,0)(见图1)易见直线MB和MA的斜率分别为(y)和(x+1),而这二者垂直所以(y。)(x。-1)(x。+1)(x3-1)于是利用公式(1)得kM·ks这就得到下述定理定理1设M是椭圆x+=1上的一点,A和B是椭圆的两个顶点则直线MA和MB的斜率之积为常数2013年高考数学(全国大纲卷,理科)有这样一道题椭圆C:4+x2=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2的斜率取值范围是[-2,1.那么,直线PA1斜率的取值范围是(B)3324由上述定理kPA即4现在一2≤km2≤-1,可见km1>0.所以-2kmA2≤kPA,k,≤一1m,即-2kA,≤一≤-1km,因此。≤kp,≤,所以答案为B我们知道,对于圆下面的结论成立从圆x2+y2=2外一点M(m,n)(mn≠0)向圆引切线MA和MBA,B是切点,坐标原点O是圆心则弦AB被直线OM垂直平分.见图3证我们知道,从圆外一点向圆引切线,若(s,t)是切点,则切线方程为5x+ty=r2.于是s2+t2=r2,s7tn将(3)代人(2),整理得到关于t的二次方程图3圆上弦AB被直线OM垂直平分+n2)t2解之得t=(m土m),其中,0=、m+n一如此,便得两组切点坐标r(mr-ng) r(nrB:(52,t2)=(从而弦AB的斜率为kA=2二2=-m直线OM的斜率为k=n,由于kkA=-1,所以OM与AB中国煤化工垂直此外,AB之中点的坐标为ts, t,tt2m2+n2CNMHG为y=nx,AB之中点的坐标显然满足OM的方程,这表明OM平分AB.现在,我们把这个结论推广到椭圆上第4期梁秀红等:仿射变换的应用给定椭圆从它之外一点M(m,n)(mn≠0)向椭圆引切线MA,MB,A,B为切点,O为坐标原点,见图4.作仿射变换则它把圆x2+y2=r2变成了椭圆把圆的切点变成了椭圆上的切点,把圆外的一点变成了椭圆外点,而坐标原点保持不动,设切点A,B的坐标分别为(s1,t'1)和(s2,t2),由公式(4)得x=2,y=b.于是图4椭圆上弦AB被直线(M平分(s1,t1)=n bt,)_/a(mr-nom十m)(1,!2)={a2,n2)=/a(mr+m)7g所以,AB的斜率为k=~bm注意在仿射变换下,M的坐标变成了(如、r^),所以QM的斜率为k≈如m,由于kamkb所以OM不垂直于AB此外,OM的方程为y=x,AB之中点坐标为2它显然满足OM的方程,此表明直线OM平分AB.至此,我们得到下面的结论定理2给定椭圆从它之外一点M(m,n)(mn≠0)向椭圆引切线MA,MB,A,B为切点,O为坐标原点则直线OM平分弦AB,且OM和AB的斜率之积是个常数参考文[1罗崇善庞朝阳田玉屏高等几何[M北京:高等教育出版社,200.The application of Affine TransformationLIANG Xiu-hong. DOU Long-jiang2 YU Xing-jian(1. Eighth Middle School of Liaocheng, Liaocheng 252000, China 2. Liaocheng Wen中国煤化工0Chim3. School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, LiCNMHGAbstract The ellipse properties is discussed by affine transformalionKey words affine transformation, ellipse, circle