导数的“另类”应用

游求奥筒·名师专题讲座02年第1用徐文建,男应用二:判断方程根的个数中共党员,中学例2方程x3-6x2+9x高级教师,许昌市第一高级中学导数的10=0的实根个数是()B.2C.D.0副校长,河南省解:设y=x3-6x2+9x-10,求高中数学学科带导数得y=3x2-12x+9.令y=0,头人,2005年被得x1=1,x2=3.河南省教育厅评为学术技术带头列表:人,2005年8月荣获河南省数学技x(-∞,1)1(1,3)3(3,+∞能竟赛一等奖,2007年8月荣获河南省首批中小学教师教育专家称号,2008年3月被评为许昌市第10另类由表知,x=1时,y有极大值-6;批专业技术拔尖人才,2009年被河x=3时,y有极小值-10.南省聘为中学高级教师评委因为函数的极值均为负,且函数导数作为研究函数问题的新工河南徐文建y在(-∞,1),(3,+∞)上均为增函16具,在研究函数的单调性最值等问数,在(1,3)上为减函数,所以函数题时比用初等数学的方法要方便、简的图像只在(3,+∞)上与x轴有1中捷得多对于某些数学间题,若能恰个交点,故选C.学|当使用导数的方法,可以使问题得到作点评;本例是把方程的根的问题生很大的简化转化为方程所对应函数的图像同工数|应用一:数列求和轴的交点问题,结合导数的知识,通例求数列1,2x,3x2,过对函数的单调性及极值的研究,从化|nx”1的前n项和(x≠0)而大致得出函数的图像及其与x轴解:当x≠1且x≠0时,有1+的交点情况,也即方程的根的情况二x+x2+…+x-=1-x"本例应用了转化思想应用三:证明不等式版可将上式两边看做关于x的函数,两边取导数,例3已知f(x)=x2-x+c的定义域为(0,1),x1,x2∈(0,1)且x1≠x2则有(1+x+x2+…+x")’=证明:f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.即1+2x+分析:由于x1≠x2,则原不等式等价于(1-xn+1)(1-x)-(1-xx+1)(1-x)f(x1)-f(x2)即要证明函数f(x)的图像上1-(n+1)x”+nxn+1任意两点连线的斜率|k<1,也即曲线上任一点处(1-x)切线斜率f(x。)|<1.故本例可利用导数的几何意当x=1时,前n项和为+n)·n义,即切线的斜率来证明不等式证明:因为f(x)=2x-1,当00)型不等式的证列的通项进行联想,由求导公式(x")=nx1,可联想到它们是另外一个和式的导数,故运用导数运算明,都可以iiH中国煤化工CNMHG编辑徐利杰)使得问题的解答更加简明无论风雨,永远都要执著向前huakaihualuo17sui@163.com