关于半线性热方程整体解的注记

第30卷第6期浙江大学学报(理学版)o.30No.62003年11月Journal of Zhejiang University(Science Editio关于半线性热方程整体解的注记章志飞(浙江大学数学系浙江杭州310028)擴要:利用 Besov空间的热核刻画及压缩映射原理,研究半线性热方程a-△w=u|u|"的初復问题,得到了当初值m∈L(R)且M‖b,“x(p。=2,户>p)充分小时,樊体解的存在性及在一定条件下解的惟一蚀关键词:半线性热方程;整体解; Besov空间中图分类号:O175文獻标识码:A文章编号;1008-9497(2003)06-609ZHANG Zhi-fei (Department of Mathematics, Zhejiang University, Hangzhou 310028, China)Note on the global solution to the semilinear heat equation. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 200330(6):609-611Abstract: By using the heat kernel characterization of Besov spaces and the contraction mapping principle, the ial problem to the semilinear heat equation u,Au=ulul'is studied. The global existence of the solution is provedwhen the initial value uo is in I. o(R") and u, ll M! ).mcao, is sufficently small, where po=0,p>pa.Undersuitable conditions, the uniqueness of the solution is also obtainedKey words: semilinear heat equation: global solution Besov spaces研究半线性热方程则问题(1)存在解v∈C([0,∞),L)满足t"u∈C([0,∞),L)∈R”,t∈R+u(x, o=u(r)(1)而且使得如下条件成立的解是惟一的:初值问题整体解的存在性和惟一性,其中l=limr"‖a‖u=0.u(x,t),a>0.当∈L(R),P。=”>1时,问题注存在函数M∈D(R"),使得‖‖t("=1(1)有局部解.当‖ua0lu(x充分小时,问题(1)有b,“(≤7例如取∈Lh且lvop=1,可以证整体解口,作者利用 Besov空间的热核刻画及压缩m‖些‖b”-0因此,取k充分大,使得映射原理,证明了当。∈L(R”)且4e"v“下“m≤7,只要令=e"w即可i;--如-xp=2,户>户充分小时,问准备工作题(1)整体解的存在性,由于当p>p时,L(R")连续地嵌入B,"-},∞(R"),改进了文献[1]的结果.取径向函数中S(R"),使得0≤()≤1,当主要结果是≤时,(5)=1,当>时,(2=0令定理po=26>1,户>a+1,=n(1_1y(x)=2"中(2x)-中(x),中(x)=2”"(2x)a+1,M∈D,且存在y=Y(n,a)>0,使得y(x)=2"p(2x),j∈Z则对f∈S(R"),算子S和△(∈Z)分别定义为(2)Sf(x)=向*f(x),△,f(x)=中*f(x)收稿日期:200204-01作者简介:章志飞(1976-),男断江大学数学系博士生,主要从事调和oh中国煤化工CNMHG610浙江大学学报(理学版)第30卷定义2,称∫属于齐性 Besov空间B“(R"),t4t(g?≤‖a"l:s是指lesa|"a(s)|2xds≤Ct-eiluo‖g-.x,引理14设1≤q≤∞,<0,则对任意的f∈S'(R"),下面4个范数相互等价Ca-)景112d≤sup2‖△,f‖e(g")(5)Ct‖lal‖li..(g)+sup2”‖S,f|∠(gC(-s)-“ds‖v≤supr‖ef‖eg,(7)Ct‖uog:a:(”,+Cr”‖‖x从而有其中,e∫=G,*f,G(x)=(4x)e“为热核.supr∥nt≤C‖,xy+ClH引理2设p>p=,则L连续地嵌入齐(13)性BeoY空间E"+“(R)接下来估计‖a‖g-2m,=(g,应用 Young不等式,引引理3设e∫=G,*f,q≥p≥1,则f∈理1及引理2得L(R"),有lu1a2.()≤‖4°目;~霞,+efl≤Cxfg,(9)le-m6ju|x(5)|:gds≤证明应用 Young不等式便可证得,证略C‖ao‖2定理的证明C(-s)xkd≤首先将问题(1)转换成积分方程△alu(s)ds.(10)c(-分学“dtl≤积分方程(10)的解也称为问题(1)的温和解,通常,Cao‖b-2=gy+C‖v‖x+1温和解不一定是经典解,但由于e为C的解析半因此群,此时可以证明温和解即为经典解下面用文献|+1m-(g≤C‖2图,+Cl2x[7]的方法构造积分方程(10)的解(14)为此引人 Banach空间x,v∈X是指综合式(13)、(14)可得v(t,x)∈C([0,∞),L°),K;≤C‖4o‖”y+C‖a'‖x*1,(15)v(t,x)∈C([0,∞),l)imt"‖al‖le=0.根据式(15),令K,=2C‖。‖-2,只要取y>0使得2CK:≤1就有Banach空间X的范数定义为K,≤K,,j=0,1,2,…(16)I v l x=sup v(4) 8 Mmcr+ sup r" u(t)v R">由于n∈X,类似于前面的估计,可证定理的证明先构造逼近解,令imr"lu=0,j=0,1,2Ju'u(s)d因此,∈x,j=0,1,2,…下证存在u∈X,使得j=0,1,2,(11)当j→∞,u收敛于u,且a满足积分方程(10).令e由于∈D,应用稠密性讨论及引理1,易证t∈=v--,j=0,1,2,…(约定x-1=0),则有X,且有la'‖x≤C‖a。‖一((17)令K,=‖a+1x,下面估计K1,j=1,2,…,应用Young不等式及引理3得中国煤化工,从而CNMHG第6期章志飞;关于半线性热方程整体解的注记611∑‖o‖在某个区间[0,0)(8>0)使得,当r∈[0,6)时a(r)=v(r),也即当t∈[0,T,+8)时,(t)=x∑(CK;)(18)v().这与T.的定义矛盾,因此T,=∞定理得证因为CK.<1,所以}=。为X中的 Cauchy列,从而存在a∈X,使得当j→∞时,在X中收敛于u,感谢导师王斯雷教授和陈杰诚教授的指导!易证a满足积分方程(10)最后证明在条件(4)下解的惟一性设还有另参考文献:v∈X满足积分方程(10),则有supt"l(t)-v(t)‖°a≤0因为lmra=0,lim"‖v‖=[3] TRIEBLE H. Theory of Function Spaces, Monograph0,所以可取T>0充分小使得in Mathematics [M]. Boston: Birkha[4J CANNONE M. Ondelettes, Paraproduits et Navier-sup tolu()l∠tgStokes[M]. Paris: Diderot Editeur, 1995.[5] CANNONE M. a generalisation of a theorem by Kato于是可推出,当t∈[0,T)时,a(t)=v(t).令T,=on Navier-Stokes equations [J]. Revista MatematicaIberoamericana, 1997. 13(3):515-541sup{t∈(0,∞);a(t)=v(t)}.若T.=∞,则证毕[6] PAZY A Semigroups of Linear Operators and Appli-否则,t∈(T',∞),令r=t-T.,(s)=cations to Partial Differential Equations [M].v(T.+s),u(s)=v(T.+s),tNew York: Springer-Verlag, 1983.u(r)=e"u(T)+e(e-malulou(s)ds[7] KATOT. Strong L' solutions of the Navier-Stokes e-th applications to weak solutionsv(r)=ev(T)+|e(rn4lvl'v(s)ds.]. Math Zeit,1984,187(4):471-480(贵任编辑寿彩丽)因为t(T.)=v(T.),由上面的惟一性讨论,存在中国煤化工CNMHG