位错动力学与系统的全局分叉

第53卷第6期2004年6月物理学报Vol, 53, No 6, June, 2004100032902004/53(06)194006ACTA PHYSICA SINICA⊙2004 Chin. Phvs.So位错动力学与系统的全局分叉罗诗裕)邵明珠")韦洛霞)刘曾荣)(东莞理工学院东莞523106)2(上海大学数学系,上海200436)(2003年6月17日收到;2003年7月21日收到修改稿)在位错动力学的 Seeger方程基础上,引入周期场作用,把位错运动方程化为具有硬弹簧特性的 Duffing方程,并利用多尺度法分析了系统的动力学特征,利用 Melnikov方法讨论了系统的全局分叉和系统进人混沌状态的可能途径结果表明,当b/a一定,Q不断减小时,系统逐渐向临界状态接近,然后经过无限次级联分叉进入混沌状态关键词:位错,分叉,超晶格,非线性PACC:6180M,0547,7550R由于超晶格的特殊几何结构,引起了人们对它的兴1.引言趣比如选择GaP作基片,沿[00方向生长等厚的GaP和GaAs,P1,薄层,由于在生长方向上晶格失配随着人类认识能力的不断提高,人们已经完成沿生长方向的各层将交替产生伸长和压缩形变,导或正在完成从线性认识到非线性认识的超越凝聚致(110平面沟道偏折,使直沟道变成了锯齿状的态物理中的非线性问题就是一类十分普遍而重要的“折沟道”这种沟道的特点是在界面处沟道平面连问题,比如热膨胀、热导率、晶格动力学、非线性光学续,一阶导数不存在.当然,这只是一种理想情况.实和半导体光磁电效应等都表现出了明显的非线性特际上,超晶格的沟道偏折是由于界面处晶格失配产征,非线性系统的一个重要特征就是它的振幅和生应力,应力集中产生位错,位错运动、钉扎导致晶位都是时间相关的函数一般情况下,非线性方程格形变正是由于位错存在,超晶格在界面处的沟道不存在严格解,而近似解大都利用摄动法摄动法有不再是折沟道,而是弯沟道其特点是界面处沟道平效的基本条件是小参数而对于大参数,系统则表现面连续,一阶导数存在出了另外一系列新的特征其中一个就是在参数变本文在 Seeger方程基础上,引入阻尼项和周期化的某个范围内,系统将出现级联分叉,而后进入混场(比如声场)作用,对超晶格界面的位错运动作沌状态,表现出了特有的内在随机性这种随机行为非线性描述事实上,引入阻尼项和受迫项后,位错的特点是系统存在一个奇怪吸引子.弱钉扎的电荷运动方程是一个具有硬弹簧特性的Dfng方程,利密度波系统和在外场作用下的位错动力学系统都表用摄动法讨论了系统的动力学特征,并利用现出了这种混沌行为Melnikov方法分析了系统的非线性动力学行为,导随着加速器技术的发展,人们对带电粒子与物出了系统走向混沌的临界值,分析了系统的全局分质相互作用进行了广泛而深入的研究.带电粒子的叉和系统进入混沌的可能途径在δ/a-图上,讨沟道效应和沟道辐射便是人们发现的重要现象之论了系统的混沌区和非混沌区.结果表明,当/a一.由此发展起来的沟道技术在固体物理和原子核定,不断减小时,系统逐渐向临界状态接近,然物理中得到了广泛应用,而且还成功地用它来研究后经过无限次级联分叉进入混沌状态;或者,当无量了形(应)变超晶格.所谓超晶格就是将两种晶格常纲的外场频率Ω固定,无量纲的系统参数δ/α逐渐数不同(或相近)的材料交替生长,形成的多层薄膜增加时,系统也将经过无限次奇阶次谐分叉进入混结构.由于超晶格的材料、组分和层厚等均可以人为沌(甚至在原子和分子尺度上)控制,可望得到均匀半中国煤化工晶格的沟道偏折由导体材料所不具有的光电特征值得注意的是,正是CNMH(道不再是直沟道,6期罗诗裕等:位错动力学与系统的全局分叉194l而是折沟道我们曾经用位错静力学方法,讨论了沟为如下形式的常微分方程道偏折的机理本文试图从位错动力学出发,进一步Eng§2ran2πd +204讨论超晶格界面附近位错的运动行为.也许正是由a3 sIn于位错的钉扎和堆积导致了沟道弯曲,但是,也可能22.与空间无关的情形由于位错运动的混沌行为导致界面附近应力集中使沟道畸形,甚至分层或“断裂”这就为超晶格的制备假设在滑移方向位错运动是均匀的,则系统的提出了更高要求,同时也为进一步改善材料性能提状态与x无关于是方程(4)化为供可能途径or2+F()=b(1)2.非线性运动方程其中F()由(3)式给出.方程(6)是无阻尼的位错动力学方程.引人阻尼项,方程(6)化为假定考察的位错是一段直的刃型位错,并假定位错线与x轴平行(即平行于超晶格相邻两个平面m ar+r di f(e)= bo(t),的交线),且一端被杂质钉扎通常,位错沿x方向其中γ是单位长度位错上的衰减系数方程(7)就的位移是位置x和时间t的函数,1956年,Seer是本文关注的位错动力学方程在研究金属内耗时首次描述了这样的系统,并导将F()按 Talore级数展开,并取前两项,可得出(x,t)满足偏微分方程a:92-()+m9,(1)其中F()=A-B,E()a2=8其中b是 Burger矢量长度,m是单位长度上位错的有效质量(m∝pb2,p是位错密度),a(t)是位错在A-(2)1(1+4)单位长度上受到的力E()是单位长度位错所对应a1(1+16a3)的势能,且是周期为d的周期函数.将E()按Fourier展开,并截断为如下形式假定时间相关的周期场均匀地作用在所考察的E()=E0-a2cos5,(2)位错上(比如将它放置在周期变化的声场中),并意到(8)式,方程(7)可进一步化为其中d是晶格常数,a和a2是小量(同E。相比)d由(2)式可得m dr2+ y5+AE-BE= ao bcosat,(10)其中a是外场振F其中a3=a2/a(11)注意到a1和a2是小量,于是,方程(1)左端的ψ=/o,0=(A/2b)2,E(日)可用E。代替;将(3)式代入方程(1),可得r=a0t,6=60ob/8V(12)83:2r则方程(10)化为无量纲形式dsd 2十(13)分两种情形讨论系统(10)是一个具有硬弹簧特性的Ding方程这21.与时间无关的情形是一个典型的动力学系统,文献[2,3]用摄动法对它假设系统处于稳定状态(比如系统经过比较长进行过研究.下面首先讨论在弱非线性情况下系统的时间后)则系统状态与时间无关,(x,1)退化为的动力下后再讨论大参数情况下系统的动a力学中国煤化工论系统的全局分(x),22=0,0(1)为常数a,则偏微分方程(4)化叉和CNMHG1942物理学报卷如果我们关心的不是方程的解,而是它的一般3.系统的主共振和次共振动力学特征,则从上式就可以直接看出位错运动时将穿过哪些共振线事实上,从方程(21)可以看出假设方程(10)中阻尼项和非线性项是一个小当Q≈0,1/3,3时,系统出现共振因为这三条共振量,则形式上可将它改写为线是在一次近似中出现的,这类共振又称为次共振.d'ys+o+ 2ep -e'=cosr,(14)在二阶或二阶以上的近似中将出现更多的共振线从上式还可以看出,Ω=1的这条共振线除了线性其中2H=a,而∈是小参数,也是形式参数当它是激励外,非线性也可以激励,这就是说,当位错运动形式参数时,只需在结果中令它为1即可当它是小时,将穿越a=0,1/3,1,3四条共振线其中a=1参数时,在方程中它仅代表该项是O()量级我们的这条共振线是必须避免的,而=0,3,1/3则是应利用多尺度法讨论系统(4)的动力学行为引人快当尽量避免的适当选择工作点,这些共振线是可以尺度T=τ和慢尺度T1=εr,并注意到避免的;即使不能避免,只要保证位错运动能够比较dr a do +eD,+快地穿过共振线(不包括』=1这条共振线),则材料仍然是安全的=(Do+ED1+…)2(15)=D+2eDD1+…4.系统的级联分叉与混沌临界值其中微分算子Dn=,于是,方程(14)可以表分两种情况讨论示为4.1.自治系统Dψ+2eDD1ψ+2epDψ+…+ψ-cycostO(16)根据定义,方程(13)的自治系统由问题归结为寻找如下形式的近似解y"+φ-y3=0ψ=ψ(70,T1)+ey(T,71)+…(17)给出,或者表示为将(17)式代入方程(16),并令ε的同次幂系数相等可得D'o +4其中g'=dg/dr.系统(23)有初积分Do,+r=-2Do D, Do -2RuDo wo -oH(49)=92+“-2-h.(2)(18)当h=14时,系统存在一对异宿轨道( heteroclin(18)式中第一个方程的通解可表示为orbit);当h>14时,存在一簇开轨道;当03(2(52)R()(49)该系统处于混沌状态.当6/a一定,Q不断减小时,可见,对于任一固定的a,当m充分大时,恒有不系统逐渐向临界状态接近然后经过无限次级联分等式叉进入混沌状态或者,对于』一定,参数8/a不断R(n)