基本图形的应用

数里乾坤M2 C甚本图形的回用上虞春晖中学陈定昌-、用基本图形解答三视图问题」例1在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图1所示,则相应的侧视图可以为正视图(A)(B)(C)(D)解析:简单组合体一般由柱、锥、台、球等简单几何体组成.我俯视图们可以结合已知条件,分析各种可能性根据俯视图判断,几何体的图1“前面”是三棱锥,“后面”可能是半圆柱或半圆锥.再据正视图进一步分析,“后面”不可能为半圆柱,只能为半圆锥故选D小结:把已知三视图转化为相应的直观图是求解三视图问题的关键在解决三视图问题的时候,可以借助三棱柱、三棱锥、圆柱圆锥、长方体、正方体等简单几何体,将简单几何体的三视图与组合体的结构进行对比分析,寻找相同点「、用基本图形判断点线面的位置关系例2请写出下列命题中所有真命题的代号:①如果平面a⊥平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面B②如果平面a不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线平行于平面B.TH中国煤化工CNMHG32③如果平面a⊥平面y,平面B⊥平面y,a∩B=l,那么l⊥平面y.④如果平面a⊥平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面B解析:如图2所示,我们可以借助长方体ABCD-A1BCD1来判D断点、线、面的位置关系对于①,取平面ABB1A1为a,平面ABCD为BB,则a⊥B,在a内,直线AB1∥平面B,①为真对于②,取平面ABB1A1为a,平面ABCD为B,则平面a不垂直于平面B,但a内有图2直线AB∥平面B,②为假对于③,取平面ABA1为a,平面ABCD为B,平面AADD为y,则a⊥y,B⊥y,a∩B=AB=l,明显,AB⊥平面AA1DD,即1⊥y,③为真.对于④,取平面ABB1为a,平面ABCD为B,由AB1不垂直于平面ABCD,可知④为假.选①③小结:当我们面对判断点、线、面位置关系的选择题、填空题时,可根据已知的位置关系选取相应的基本图形,使题中点、线、面的相对位置关系与基本图形中一些特殊的点、线、面相互对应,再根据基本图形的性质作出判断.由于我们常常面对线面垂直和面面垂直这类关系,基本图形的选择以长方体和正方体居多.有时同学们也可以考虑其他基本图形,比如已知两个平面相交但不垂直,可考虑斜棱柱l、用基本图形求线线角、线面角、面面角例3如图3所示,在三棱锥A-BCD中,AB=BC=CD=DA,AAB⊥AD,BC⊥CD,二面角A-BD-C的大小为150°,则直线AC与平面BCD所成角的大小为解析:若将该三棱椎沿棱BD展开,使平面ABC与平面BCD重B合,则可得正方形ABCD.故可将三棱锥A-BCD看做由正方形C图3ABCD绕对角线BD翻折,且使二面角A-BD-C的大小为150的几何体.由此可借助正方形来求解如图4所示,联结AC交BD于点O,由正方形的性质可知,在D正方形沿BD折起的过程中,始终有AO⊥BD,CO⊥BD结合图3可知,∠AOC为二面角A-BD-C的平面角,且BD⊥平面AOC,∴平面AOC⊥平面BCD.∠ACO=1·(180°-150°)=15°即为所求角的大小小结:我们通常用定义法、等体积法和向量法求线线角、线面角、面面角的大小.但如果题中几何体的一个二面角按棱展开后是图4某个特殊的平面图形,或线线角线面角、面面角本身恰中国煤化工CNMHG33数里乾坤体、正方体或正四面体等几何体中的线线角线面角、面面角相互对应,我们就可借助这些基本图形巧妙地计算角的大小四、用基本图形探究特定的点或直线是否存在例4如图5所示,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,试问在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由解析:同学们一般会使用向量法或直接使用几何法解答例4.其实,借用长方体来解题更加简便如图6所示,我们可将三棱锥P-ABC放入长为5、宽为8、高为4的长方体BCFG-BCFG1中.其中,A为FG的中点,K为FG1的中点,L为BC1的中点.∵AB=AC,D为BC的中点,AD是BC的中垂线,也是长方体下底面的对称轴又O在AD上,∴O位于C长方体下底面的对称轴上.∵PO⊥平面ABC,又平面ABC∥A-f平面BCFG1,∴PO⊥平面BCFG1.根据长方体的对称性,可知P位于长方体上底面的对称轴KL上BBC⊥AK,BC⊥RK,∴BC⊥平面AKP,∴AP⊥BC假设图5存在符合条件的点M,则过点B可作直线BN⊥MC于点N二面角A-MC-B为直二面角,∴BN⊥平面AMC.又AMCAP,∴BN⊥AP.∵BNC平面BMC,∴AP⊥平面BMC,∴AM⊥BM,△AMB为直角三角形.在Rt△AGB中,由AG=4,GB=5,可求得AB=V41.在Rt△AKP中,由AK=4,KP=A0=3可求得AP=5.在Rt△PDCI中,由PL=2,LD=4可求得PD=2V5.:BC⊥平面KLDA,PDC平面KLDA,BC⊥PD.在Rt△PDB中,由BD=4,PD=2V5可求得PB=6在△ABP中,由余弦定理可得c∠MB=G、CAk=二>0,cos∠PBA=>0,可知∠MAB与∠PBA为锐DV413V41角,∠MBA<∠PBA也为锐角.∴在△AMB中,∠AMB=90°可图6以成立,即存在满足条件的点M.在Rt△AMB中,AM=ABCos∠MAB=V41·3Ha中国煤化工CNMHG34小结:例4要求探究立体几何题目中具有某些特定性质的点或直线是否存在,这类题目难度较大同学们可尝试将题中的几何体放入长方体、正方体和球体等基本图形,看看该几何体的边长、顶点是否与基本图形的边长、轴和特殊点吻合.有时也可以根据题干构造基本图形,使题中几何体的边长、顶点与基本图形的边长、顶点相互对应,再根据基本图形的性质分析和解答问题那些让你念念不忘的歌词生命不是过程,而是美丽旅程。风景有亮和暗,也有爱和恨。五月天《第二人生》每个人的生命都是一段独一无二的旅程。走过天真,又迎来青春,你选择怎样的路线,就能欣赏到怎样的风景。趁着青春勇敢去闯吧,只要努力过就不会后悔!中国煤化工CNMHG文: Rabbit35