关于 Sylow 定理的应用

第39卷第8期西南师范大学学报(自然科学版)2014年8月Vol. 39 No.8 Journal of Southwest China Normal University(Natural Science EditionA2014DOI:10.13718/,cnki.xsxb.2014.08.026关于 Sylow定理的应用张良才,聂文敏,张苗重庆大学数学与统计学院,重庆401331摘要:通过例题的形式给出了《抽象代数》的经典内容— Sylow定理的一些典型应用,加深了对 Sy low定理的理解,凸显了它的重要性关键词: Sylow定理; Sylow p子群;有限群中图分类号:O152.1;G420文献标志码:A文章编号:1000-5471(2014)8-0137-04挪威科学家L. Sy low在1872年发现了著名的 Sy low定理,该定理提供了群的算术性质和结构性质之间的巧妙联系,它是有限群最基本的研究结果之一,也是高校数学专业学生的基础课程—《抽象代数》的经典内容之一. Sy low定理不仅指出了一类子群的存在性,还讨论了这类子群的一些性质. Sylow定理在有限群的单性、可解性、共轭性、正规性、幂零性等许多方面都有着广泛的应用,因而 Sy low定理是研究群论特别是有限群的重要工具,文献[3-4]分析了 Sylow定理的概念及其证明.在本科教学过程中,应用Sy low定理去解决问题是比较困难的.教师在教授这一内容时,除了要让学生了解Syow定理的内容外,更重要的是教会学生如何使用 Sy low定理.本文从教学的角度出发,通过例题的形式,阐述了如何让学生逐步掌握使用 Sylow定理的技巧和方法,讨论了 Sy low定理在硏究 Sy low子群的个数、共轭性、阶极大性、包含性等方面的应用,加深了学生对 Sy low定理的理解,凸显了它的重要性.文中符号与术语参见文献[5预备知识定义设G是有限群,且|G|=pm,其中p是素数且pYm,则称G的p'阶子群为G的一个 Sy lowp-子群Syow定理设G是有限群,p是能整除|G|的最大的p的方幂,其中p是素数,则(1)G中必存在p阶子群P,且P是G的 Sylow p-子群;()G中任意两个 Sy low p-子群都在G中共轭;(ⅲ)设Syl(G)表示群G中所有 Sylow p-子群的个数,则P∈Syl(GSyl, (G)I=I G: NG(P)Syl, (G)I=l(mod2 Sylow定理的应用21确定有限群的 Sylow p-子群的存在性及其个数例1证明:196阶群G必有一个 Sylow子群,它是G证根据 Sy low定理,因为|G|=196=2·72,所中国煤化工ow7-子群,与其共轭的子群的个数k=7t+1应是196的因数.因为196=2CNMHG、"所以q=0,即k=1.于是P是G的唯一的 Sylow p-子群.从而PG①收稿日期:2014-04-14作者简介:张良才(1971-),男,重庆巴南区人,副教授,主要从事代数与群论的研究138西南师范大学学报(自然科学版)http://xbbjb.swu.cn第39卷例2试确定4次交错群A4的所有 Sy low子群解因1A4|=2·3,故A4有 Sy low2子群(阶为4)和 Sy low3子群(阶为3)因为K4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}显然是A4的一个 Sylow2-子群,且易知K1证令P是G的一个 Sylow p-子群.若IG|=p",则G的中心C的阶大于1.又因G不可交换,故C≠G,即C是G的非平凡正规子群,这与G是单群矛盾.因此,|G|至少有两个不同的素因子.于是Lec pcg这样,如果P是G的唯一的 Sylow p-子群,则P便是G的一个非平凡的正规子群,这与G是单群矛盾.故G的 Sylow p-子群的个数k>1例4设G是有限群且|G|=p,且(p,q)=1,q≠1(modp).证明:G有一个正规的 Sylow p-子群证设G的 Sylow p-子群的个数为k,则k≡1(modp).但由于k|G|=p((p,q)=1),故k=1P,q·P又因为p≠1(modp),p≠1(modp),而题设q≠1(modp),所以k≠p,q,P从而k=1,即G只有一个 Sylow p-子群,进而是G的正规 Sylow p-子群2.2有限群的 Sylow p-子群的共轭性例5设G是任意一个群,而K是G的一个有限正规子群,且P∈Syl(K).证明:G=Ne(P)K证任取x∈G,则由于P≤K