导数的应用研究

第29卷第2期西昌学院学报·自然科学版Vol 29. NO. 22015年6月Journal of Xichang College Natural Science editiorJun.,2015导数的应用研究徐建中(亳州师范高等专科学校,安徽亳州236800【摘要】导数是微积分中的一个重要概念,它建立在极限的基础上,本文运用了实际例题来说明导数在求极值问题、几何、实际问题和求极限中的运用。【关键词】导数;极值;几何;函数【中图分类号】O172.1【文献标志码】A【文章编号】1673-189(2015)02-0028-02导数在数学学习和生活中有着十分广泛的运跟曲线C在M点相切(圆心落于凹向的一侧)用,能够优化解决生活中的几何问题和实际问题,在M点该圆与曲线C有相等的一、二阶导数。试求下面分类解析导数在各个方面的具体运用。a,b,R的表达式。1极值问题解:将y看成是(1)式所确定的x的函数,在(1)定义:所谓极值,指最大、最小值,它要求极值式两端同时对y求导,得定义里的不等式在整个定义域里统统成立,也可以a-x说最值是整体极值,相对而言,前面讲的极值是局部极值,显然内部最值必为极值,反之未必,求最值(2)式再对x求导,得1+y2+(y-b)y”=0时,有时为了省事,在求出可疑点之后,不判断极y-b)2+(x-a)2大、极小,可将所有可疑点的值都拿来比较,其中最即p=-1+y(3)大、最小者就是整体最大、最小值简记z=x-aY=y-b,注意到上面yy"是曲率圆例1:求函数()-x-的极值及22上的最大、的导数,它们应跟曲线c的导数厂"相等最小值由(2)式得Z=-Y(x)z2+2联立解出Z,Y由(3)式得sn(x(x2-1)](3x2-1(x令∫(x)=0,得x=√3最后得a=xf(+P√3故/(x)在号处取极大值。因f()偶数,在33导数的实际运用处亦为极大值在现实生活中,常常会用到导数的一些性质或当x=0,±1时,对于所有的x都有fO)=f(1)=f-1)=定理来取得一些对笔者有帮助的数据,来更好的解0≤fx),故为最小值。f(2)=f(-2)=62f(x)wre[-22),故决实际生活中的问题f(x)在[-2,2]上最大值为6,最小值为0。定理(第二判别法):若函数∫(x)存在二阶导2导数在几何中的运用数,xo是函数f(x)的稳定点,即导数是微分学中的基础概念之一,利用导数知当f(x)=0时,而f"x)≠0,则识可以更好的研究和讨论函数图像以及曲线的当∫"x)>0时,xo是函数f(x)的极小点些性质当fx)<0时,x是函数f(x)的极大点例2:设fx)有连续二阶导数,已知曲线C:y=f(x)例3:测量某个量A,由于仪器的精度和测量的在点M(x,f(x)处的曲率圆技术凵中国煤化工做了n次测量,测量的(x-a)+(y-b)2(1)数值CNMHG收稿日期:2015-03-17*基金项目:安徽省教育厅自然科学基金项目(项目编号:KJ2013B153,KJ2013Z258);数学教育安徽省特色专业(项目编号20101184);亳州师专科研项目(项目编号: BZSZKYXM201302,2012yvc02,2012yc13,2012yc24)专项资金资助作者简介:徐建中(1979-),男,安徽庐江人,讲师,硕士,主要从事数学教育和微分方程方面的研究。第2期徐建中:导数的应用研究现取x作为量A的近似值。问x取何值才能使处的导数,记为f(x)。显然,f(x)在x处的导数还与a(=12…,n)之差的平方和文x-a)为最小?有如下的等价定义形式解:依题意,求函数f(r)-f(ro)f(x)=(x-a)+(x-a2)+…+(x-a),x∈R的最小值f(r)=lim∫'(x)=2(x-a1)+2(x-a2)+…+2(x-an)例4:设()=k证明m-a=k。=2nx-(a,+a,+……+a令∫'(x)=0解得稳定点马+a。证明:则有∫"(x)=2n>0f(b)-f(af(b)-f(0根据定理,稳定点““+是函数f(x)的极bb小点,因为函数f(x)是二次三项式∫(x)=mx2-2(a+a2+…+a,)x+(+a;+…+且二次项的系数n>0所以函数∫(x)在极小点两式相减444的函数值就是函数/()在R的最小值,05-(-k.bf(-00k+-0k即n个数4,a,…,an的算数平均值作为量A的近似值才能使函数f(x)取最小值。这就是经常用算数平因a→0,b→0,所以有b>0>a均值作为量A的值的理论依据。4导数在求极限中的运用又因∫(0)=k故当a→0,b→0时右端极限为零,定义若函数y=f(x)在其定义域中的一点x处所以等式成立。极限5结束语_f(x+△x)}-f(x导数在平常的数学教学和平时的实际问题中有着广泛的运用,为解决一些数学实际问题中提供存在,则称在x处可导,称此极限值为f(x)在x。快捷简便的方法。注释及参考文献:[]刘玉琏数学分析[M](上册)北京:高等教育出版社,19942刘玉琏数学分析[M](下册)北京:高等教育出版社,19943]装礼文数学分析中的典型问题与方法R北京:高等教育出版社,2006[4]刘崇丽应用数学教程M]北京:化学工业出版社,19985]史宁中中学概率与微积分研究M]北京:高等教育出版社,2010.application of derivatiXU Jian-zhongBozhou Teachers College, Bozhou, Anhui 236800)Abstract: The derivative is an important concept in calculus, which is built on the basis of the limit. The paperexplains the derivative in the application of the extreme problem, geometry, the actual problem and limit by usingactual examplesKey words: derivative; extreme value; geometry; function中国煤化工CNMHG