有关调和性质的应用

2012年2月观周刊第8期总568期.February 2012 M i有关调和性质的应用°户淑茹②赵临龙(安康学院数学与应用数学研究所安康725000中图分类号:0185.1文献标识码:A文章编号:1008-925X(2012)02-0229-01摘要:利用调和分割的定义解决初等几何问题:如何做调和共轭点、证明一角的两边和它的内外交平分线成调和线束、一线段被它的中点和这直线上的无穿远点所调和分割、以及如何用完全四点形的调和性质作图关键词:调和分割中点无穷远点完全四点形The application concerning concordance propertyHu Shuru Zhao LinlongAbstract: The definition made use of to temper partition solution the elementary grade is several what problem: How temper conju-gate point and prove the both sides of dime with its inside the diplomacy divide equally line to become to temper line to tie, front-linesegment drive its middle point and this straight line up of the everlasting far order in harmony with partition, and how use up the inharmony with property of whole squareses to make diagram.Keywords: In harmony with partition MiddleThe everlasting far orders Complete square调和分割的定义:设A,B,C,D为共线的四点,我们把由于∠2=∠TOB,∠1=∠BOTAG:B犯定义为这四点按着顺序的交比,并以符号(ABCD)∴∠1=∠2,同理:∠3=∠4表达CAB, CD)=B当(AB,CD)=-1时,即C点分割线(由三角形中一个角的内角和外交平分线和对边的交点,调和分割对点段AB的值和D点分割线段AB的值只差一个符号(因而一个是从中学几何,我们知道三角形中一个角的内角和外角平分线内分点,一个是外分点),这时说C,D两点调和分割线段AB或将对边分成两线段的比值都和两邻边成比例(注意中学几何讲的对C与D于线段AB成调和共轭点偶是绝对量!),可见两条平分角线和对边的交点,调和分割对边但是,在调和分割中,两对点的关系是完全对等的,即当C与例3一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和D调和分割线段AB时,A与B也调和分割CD.若(AB,CD)=分割。1,便也有(CD,AB)=-1。证明:设C点为线段AB的中点,D。为直线AB的无穷远点例1试证一角的两边和它的内外交平分线成调和线束。证明:以下引用的角均系有向角,即则(AB,CD)=xABC(b,c),(b,d)=90-(c,b由于(ABD)=mD=1,因此(AB,CD=)=(ABC)=(a,a)=90°+(a,c)=90°-(b,c)由上题还可知,共线四点的交比,若第四点为无穷远点,那么(ab, cd)=sin(a, c)) sin(b,d)- sin[ 90"-(c,b)]一交比值等于前三点的简比值sin(a,d)·sin(b,c)sin[90°+(a,c)]例4调和点列作图:已知A,B,C求第四点Dcos(c, b)可以利用完全四点形的调和性质,解决问题cos(a所以a,b调和分割c,d例2如图1所示,AB为圆之直径,C为直径延长线上一点从C向圆引切线CT,证明:若C在线段AB本身上,如何作它的调和共轭点?完全四点形:如图3,平面内无三点共线的四点及其两两联线所D构成的图形称为完全四点形.并且完全四点形通过每一个对角点有组调和线束,即通过这对对角点的两边和对角三角形的两条边。现在给出第四点D作法:如图4.①过A,B,C作线外一点S,作线束SA,SB,SC作图:如图2,过点C作TT⊥AB,直接作TD⊥OT交AB延②在SC上取一点Q,并 AQXSB=T, BQX SA=R长线于点D,即D调和分割定点A,B,C③作RT×ABC于点D,即D点为(AB,CD)=-1的第证明:需证T在AB上的垂直射影,D是C对于AB的调和四点共轭点需证:A.Bb=-(Ab·B参考文[1]朱德样,朱维宗[2]李文铭,初等几H中国煤化工楼CNMHG①资助课题:映西省特色专业建设项目(2011-59);安康学院大学生科技创新项目(2011 AKXYDXS09)Q户淑茹(1989-),女,陕西省商洛市人,现为安康学院数学系09级学生。229