分类讨论思想的应用

JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS TEST数学学刀责任编辑:王二喜分类讨论思想的应用文/陈德前在解题过程中,将某一数学对象按照一定的原则或标准分成若干类,然后逐类进行讨论并解决,再把这几类的结论汇总,得出问题的答案.这种解题方法就是分类讨论.分类讨论用的是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略.、含有绝对值符号时要进行分类讨论例1(2010年孝感卷)若lm-n|=n-m,且m|=4,ln|=3,则解:因为|m|=4,ln|=3,所以m=±4,n=±3又lm-n|=n-m,所以n-m≥0,即n≥m所以n=3,m=-4或n=-3,m=-4符合题意当n=3,m=-4时,(m+n)2当n=-3,m=-4时,(m+n)2=(-3-4)2=49所以(m+n)2的值为1或49温馨小提示:遇到含有绝对值的问题,一般需要去掉绝对值符号.这就要根据绝对值的性质进行分类讨论、当使用的法则、定理中国煤化工类讨论CNMHG例2(2011年毕节卷)已知+=c=C=k,则k的值是022JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS TEST数学学习解:当a+b+c≠0时,由条件可得:kc=a+b,ka=b+c,kb=c+a,三式相加得(a+b+c)k=2(a+b+c),;k=2;当a+b+c=0时,a+b=-ck、a+b所以k为2或-1.温馨小提示:有些运算法则、定理、公式的适用范围有一定的限制,在应用它们时必须就适用范围进行分类讨论在本题中,由(a+b+c)k=2(a+b+c)得到k=2,它的前提是a+b+c≠0,题目中没有这样的限制,因此需要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况讨论三、当已知条件中含有参数时的分类讨论例3(2011年南京卷)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数)(1)求证:不论m为何值,函数图像都经过y轴上的一个定点;(2)若该函数图像与x轴只有一个交点,求m的值解:(1)当x=0时,y=1,所以不论m为何值,函数y=mx2-6x+1的图像经过定点(0,1)(2)①当m=0时,函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点②当m≠0时,由函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点,则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根,所以(-6)2-4m=0,即m=9综上所述,若函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点,则m为0或9温馨小提示:对于参数问题,要根据参数的不同取值范围进行分类讨论.本题中不能误认为已知函数一定是二次函数,由于m的取值不同,可以是一次函数,也可以是二次函数四、当三角形高的位置不中国煤化工例4(201年黑河卷)已焦灬和长别为20cm和30cm,第三边上的高为10cm,则此三角形的面积为cm2解:根据题意画出图形,第三边上的高可能在三角形内,也可023续JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS TEST数学学习能在三角形外,要分两种情况求解利用勾股定理可求得BD=10V3CD=20V2.当高在三角形内时,如图1,此时BC=20√2+10√3,三角形的面积为(100V2+50√3)cm当高在三角形外时,如图2,此时BC=20V2-10√3,面积为(100V2图50√3)cm三角形面积为(100V2+50√3)cm2或(100V2-503)cm2温馨小提示:对于三角形的主要线段(角平分线、中线、高)来说,高的位置具有多变性,可在三角形内,三角形外或三角形的边上,当条件中出现高时,要注意分类讨论五、当等腰三角形的底不确定时要进行分类讨论例5(2011年安顺卷)如图3,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则P点的坐标为解:根据已知得OA=10,D为OA中点,则OD=5,作PE⊥OA于点E,满足△POD为等腰三角形的情况有以下三种:当PD为底时,如图3,PO=5,OC=4,根据勾股定理可得PC=3,因此,P点的坐标为(3,4当OD为底时,如图4,OE=25,PE=4,根据勾股定理可知OP≠所以这种情况不存在当OP为底时,又有两种中国煤化工B①当△ODP是锐角三角CNMHG图4,PD=5,PE=4,根据勾股定理可得DE=3,所以OE=OD-DE=5-3=2,P集!024JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS TEST数学学刀点的坐标为(2,4)②当△ODP是钝角三角形时,如图5,PD=5,PE=4,根据勾股定理可得DE=3,所以OE=OD+DE=5+3=8P点的坐标为(8,4)因此,满足要求的P点坐标是(3,4)或(2,4)或(8,4)温馨小提示:当等腰三角形的底边不确定时,需要对三边分别为底边进行分类讨论.本题中当OP为底时,有两种情况,即OD边上的高可在三角形内或三角形外,所以要进行两次分类,才能全面求解六、当中位数、众数、极差等含有变量时需分类讨论例6(2011年乐平卷)一组数据:2,3,4,x,若中位数与平均数相等,则数x不可能是()A.1D.5解:平均数为x+2+3+4,中位数随x的变化而变化,x有三种可能,分类讨论如下当x≤2时,中位数为2+3=2.5,由x+2+3+4-2.5得x=1;当2