四模Lorenz系统的全局动力学研究

第32卷第5期江西科学Vol 32 No 52014年10月JIANGXI SCIENCEOct.2014dol:10.13990/j.isnl001-3679.2014.05.003四模 Lorenz系统的全局动力学研究李德雪,尹社会(河南工业职业技术学院,473000,河南,南阳)摘要:通过理论和数值模拟分析了一个四模Irem混沌系统的非线性特性和全局动力学行为。从对称性、耗散性、平衡点的稳定性、空间相图、时序波形图、分岔图等几个方面展示了系统具有丰富的动力学行为。关键词:四模 Lorenz混沌系统;分岔;耗散性;最终有界集中图分类号:03571;024182文献标识码:A文章编号:1001-3679(2014)05-0578-04Global Dynamics of a Novel Nonlinear Chaotic SystemLI Dexue. YIN ShehuiHenan Polytechnic Institute, 473000, Nanyang, Henan, PRC)Abstract: The globally exponential attractive set and non-linear characteristic properties of a fourmodes Lorenz chaotic system is further investigated by theoretical and simulative analysis. From sym-metry,dissipation, the stability of the equilibrium point, the phase diagram, time domain waveformand bifurcation diagram show the novel chaotic system has rich dynamic behavior.Key words: four-modes chaotic system; bifurcation; dissipation ultimate bounded set0引言引集的指数估计,并给出严格证明。数值仿真给出了系统的相图时序波形图、分岔图等,结果表混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的明了本文方法的可行性和有效性。不规则运动,但与真正的随机运动又有着本质的区别。混沌运动在动力学上是确定的,运动的内1数学模型及其主要结果部不稳定性导致了其运动的不可预测性。混沌系王贺元等研究的一个四模 Lorenz混沌系统统产生的混沌运动具有几个重要特征:初值敏感的方程为9性,临界水平和分形维。奇怪吸引子是相空间x=-x-y2+0.5z2+0.52+2c中的一个点集,随着运动时间的增加,所有轨线都y=-y+xy-z-0.5z2+0.502趋向于它。自从 Lorenz在一个简单的三维自治(1)z=-z+0.5yz+0.5y-0.5xx-0.5x系统中首先发现了蝴蝶混沌吸引子之后,又有新的混沌吸引子不断被发现,尤其是这些混沌系统u=-+0.5xz+0.5y2-0.5x-0.530其中:(x,y,z,v)∈R为状态变量,c为系统实的最终有界性被许多研究者所认识和研究8。参数。本文进一步考虑文献[9]所提出的混沌系统,通过构造新的广义李雅普诺夫函数簇给出了新的吸当c=11时,初值取(1,3,3,3),系统(1)的收稿日期:2014-06-26;修订日期:2014-08-08中国煤化工作者简介:李德雪(1977-),女,河南南阳人,硕士,讲师,主要从事非线性CNMHG研究。基金项目:南阳市科学技术发展规划项目(2013Gc035)。第5期李德雪等:四模 Lorenz系统的全局动力学研究579轨线的相图如图1所示,各个变量随时间演化的时序波形图如图2所示。如果初值发生细微的变化,系统的行为会发生明显的变化,如图3所示为初值取(1,3,3,3)和(1,3.0001,3,3)的时序图形8图4系统(1)在x对c∈[0,20的分岔图图1系统(1)在参数c=11下的轨线相图00120140160180图5c=-1时系统(1)的相图图2系统(1)在参数c=11下各个变量的时序波形图图6c=4时系统(1)的相图图3系统(1)在参数c=11下初值(1,3,3,3)和(1,3.0001,3,3)下的敏感性时序波形图70随着参数c∈[0,20]的变化,系统表现出极限环(周期轨或拟周期轨)和奇怪吸引子等不同的非线性行为,即出现Hopf分叉和混沌现象。下面通过数值模拟可以验证图4中的结论。THe牌江西科学2014年第32卷8:)9罗3图8c=9时系统(1)的相图图12c=18.7时系统(1)的相图图9c=10时系统(1)的相图图13c=20时系统(1)的相图图10c=16时系统(1)的相图图14c=30时系统(1)的相图2系统的界估计及数值仿真定理1:集合Ω=1(x,y,z,)1(x-c)2+y220020-20+z2+2≤c2,(c∈R)是系统(1)的正向不变集和最终有界集。证明:令V=[x2]为广义正定,径向无界的 Lyapunov函数,对v沿系统(1)的轨线对时间求导有,图11c=17时系统(1)的相图dyd t中国煤化工2ax-x2CNMHG0.5x2+0.5x0.5yz2+0.5yu2第5期李德雪等:四模 Lorenz系统的全局动力学研究581·-z2+0.5yz2+0.5y0-0.5x2-0.5x-12+0.5本文研究了参数c变化时系统(1)的部分动x+0.5y-0.5x2-0.5y2=-x2-y2-2-力学行为和全局吸引集,并且给出了相应的计算机仿真。由于该系统具有丰富的动力学行为,其令V=1(=0,可以得到四维超球面r:中混沌机理和分叉现象的研究还有待进一步探索r={(x,y,z,vo)1(x-c)2+y2+2+u2=e2,(c∈R)}。参考文献:在r外部,V<0,在F内部,V>0,因此,函数1]吕金虎混沌时间序列分析及其应用[M]武汉:武V(X)=V(x,y,z,)=x2+y2+2+v2只能在r汉大学出版社,2002.上取得最大值,如果记函数V(x,y,x)在r上的最2] Lorenz e n. Deterministic non-periods flows[J.JA大值为R,即,g(x,y,2)=Foms sci,1963,20(2):130-141[3]尹社会,张勇,张付臣,等,基于 Lorenz系统的强迫对于集合Ω={(x,y,,m)1(x-c)2+y2+z2Lorenz混沌系统的动力学研究[J.东北师范大学+12≤c2,(c∈R)},有rCg。应用反证法易证学报(自然科学版),2014,46(1):42-47imp(X(t,to,X),)=0。即集合Ω是系统[4]尹社会张勇徐鹏飞.一个三维混沌系统的动力学工→十(1)的正向不变集和最终有界集。行为及反馈同步[J]江西科学,2013,31(6):717当参数c=11时,系统(1)的最终界估计为,g={(x,y,,m)1(x-c)2+y2+2+u2≤121,其5]尹社会,张付臣,张光云,等 Navier-Stokes方程的动中Ω在空间0-xz空间中的投影如图15所示。力学研究[J/OL].计算机工程与应用,htp://ww.ki. net/kcms/detail/11. 2127. TP. 20130715 0936[6]张勇,尹社会,张付臣,等新混沌系统的全局动力学研究[JOL].计算机工程与应用,htp://wwwcnki. net/kcms/ detail11. 2127. TP. 20131017 1526004.htm.[7]张勇,尹社会,张光云,等多维混沌系统的全局动力学研究[J/OL].计算机工程与应用,htp://wcnki. net/kcms/ detail/11. 2127. TP. 20131017. 1526005. html[8]屈元举,谢芳森沈艳菲.一个新混沌系统的动力学图15当t→+∞时,系统(1)的正半轨线包含在研究和电路仿真[J].江西科学,2010,28(1):54三维球内3结论[9]王贺元,鞠春贤.四模 Lorenz系统的动力学行为及其数值模拟[J].高等学校计算数学学报,2010,32(2):99-105H中国煤化工CNMHG