高斯消去法的应用

第23卷第5期(2007)河西学院学报vol.23No.5〔2007)高斯消去法的应用雷正红(西安电子科技大学,陕西西安710071)摘要:文章主要介绍了如何利用高斯消去法有效求解电路分析与设计中的线性代数方程组的方法关键词:高斯消去渎;线性代数方程姐;电路分析设计中田分类号:TP368.文献标识码:A文章编号:1672-0520(2007)05-0027-03、引言数矩阵A中的各元素的数值相差悬殊,可能达到在工程领域里,在进行系统分析和设计时,首10量级以上,这时候一般采用全选主元的高斯-先要建立系统的数学模型,不同的领域建立的数学约旦消去法来求解系数矩阵为稀疏矩阵的大型方模型不同,也就是数学方程式的形式不同,自然求程组解方法(或算法)也不同二、解法在电路系统的分析和设计中,在进行交流小信1、高斯消去法的基本思想号分析时,所列的方程是线性代数方程,可以采用般形式的线性方程组为高斯消元法或LU分解法;对于直流非线性分析1+42x2+…+anxn=b所列方程是非线性代数方程,可以采用牛顿拉夫a1x1+ank2+…+a2xn=b2森方法选代求解;瞬态分析,所列方程是常微分方程,一般采用变步长隐式积分法求解等等an1x1+an2x2+…+口mxn=b例如在电路的直流分析中,电容开路,电感短通常用向量矩阵表示,则上述方程可写成路,计算电路的静态工作点,在交流小信号分析Ax=b中,电路也先要进行直流分析,以确定半导体器件a1a12的跨导等小信号参数.在瞬态分析中,需求出电路在指定时间区间上的解,这时电路的方程是常微分4="na2…,b方程,求解常微分方程必须先求出电路储能元件上的初始电流或电压值,这也由直流分析来完成线性电路的直流分析所建立的方程是线性代数并记做A∈R",x,b∈R",分别表示A为nxn方程组,对于建立电路线性代数方程组的方法可以阶实矩阵,x,b为n维实向量Gas消去法就是将应用节点法或改进节点法,也可以采用表矩阵法和方程组(1)通过(m-1)步消元,将(1)转化为上双图法,这些方法都可以利用计算机自动建立,如三角方程组果我们建立好了电路的代数方程组AXx,一般「q…4「巧1「4可以利用高斯消去法和LU分解法来解方程组,实啁…‖|际上对于稍大些的电路(n>40),建立的矩阵A是个稀疏矩阵,矩阵含有大量的零元素。并且电路系a][x」Lb(2)中国煤化工收稿日期:2006-10CNMHG作者简介:雷正红(1971一)男,甘肃临泽人,副教授,主要从事梟咸电路设计和数字信号处理工作雷正红:高斯消去法的应用再回代求此方程组的解综上所述,高斯消去法分为消元过程与回代过下面记增广矩阵[4]-[4即程,消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组,再经回代过程求解a oai[91吗…网2.列主元素消去法首先,在A=A=(q)中的第1列选主元,即|a,1=max|al行为主元,若1>1,将A0|b0]的第行与第1行互换,再按消元公式第1步设q≠0计算l=1=2,3…,计算得到[A3|b]假定上述过程已进行(k-1属记为4=(4,…4),若用一剩[1607步,得到心1b1第k步,在A0中第k列选主元,i4>k,则[A)|b第一行加到第行,可消去a(=2,3,…,n),用中将与k行互换(若=k则不动),再按公式cms变换矩阵表示=1+,=1-4(3、(4)求出[A…b4令[A|b]=l]=团A1b]重复以上过程则得[A1b,如果某个k出现主其中=q-14,矽=2-h,j=2,元[A|b],如果某个k出现主元|4)=0(或≈0),方程没有唯一解或严重病态,否则可由一般地,假定已完成了(-1)步消元,即已将(5)求得解A0b0转化为以下形式:3.全选主元高斯-约旦消去法a 42除列主元消去法外,还有一种消去法,是在A的所有元素a中选主元,称为全主元高斯约旦消去法,它是一种在整个系数矩阵中选取主元的消)去法,高斯-约旦法(全选主元)求解线性代数方程组的步骤如下:首先,对于K从0到n-1作如下运算:第k步,假定a≠0,计算全选主元从第K行、第K列开始的右下角子阵l==,=+1,k+2…,n(3)中选取绝对值最大的元素,并记住次元素所在的行号和列号,在通过行交换和列交换将它交换到主元记4=(0…0.4…,la),L4=I+le,素位置上,=Ⅰ-l4e,则[4“b)=[4“以b系数矩阵归一化其中a(,/a(k,k)→a(,力,j=+1,…,n-1af+)=a)-ha,i,j=t+1,常数向量归一化=b-l4φq(),讠=k+1…,nb(k,)/a(,k)→b(k,Dj=0,1,…,m-1;反复进行上述过程,经过n-1步消元,则可得系数矩阵消元(,)-呱(,k)·a(,门→a(,到[A|b0],即方程组(2),直接回代解(1i=0,,…,k-1,k+1,…n-l;j=k+1,…,n-1常数向量消元b()-a(i,k)b(k)→b(x=,x=(-∑x)/,k=m-1,山中国煤化工=0,m-1CNMHG所记录的行、列交换的信息进行恢复,恢复的原则如下,在全选主河西学院学报2007年第5元过程中,先交换的行(列)后进行恢复;原来的值计算的稳定性看,全选主元比部分主元法优越,行(列〕交换用列(行)交换来恢复但计算工作量稍大4.源程序般来说电路的系数矩阵通常是个稀疏矩阵,根据上面的算法编制程序.(省略)而且随着电路规模的增加,矩阵的阶数增高,稀疏、结论及思考程序也越大.例如,10个节点的电路,系数矩阵非通过实验,本算法采用双精度字长运算,运算零元素可能占50%左右;而100个节点的典型电路结果精确,具有很高精度中,非零元素仅占%左右,据统计,对于多数实际在电路的分析设计中,求解线性代数方程组AX=B电路,其矩阵中的非零元素数目在4m到6n之间(n一个基本问题.无论是线性还是非线性电路,无为方程阶数)这个时候就的采用稀疏矩阵技术论是频域分析还是时域分析,最终归结为AX=B所以,充分利用电路方程的特点,利用不同的在频域分析中,每个频率点要计算一次线性代数方方法高效求解代数方程组是非常有意义的.本文只程组;在非线性分析中,每选代一次要求解一次线介绍一些简单方法,实际应用中,可以根据代数方性代数方程组;在非线性时域分析中,每个时间上程组的不同特点选用不同求解方法.比如如果A是都要进行多次选代,在整个计算时间内则需要成百一个n阶对称正定矩阵可以采用平方根法;有时候上千次地求解方程;蒙特卡诺统计分析和设计所需得到的系数矩阵为对称但不正定可以采用改进平方要求解方程组得次数就更多了,因此有效求解线性根法;如果A为三对角矩阵考虑采用追赶法;如果代数方程组是电路分析设计的一个重要问题,直接变量个数较多,这个时候通常采用迭代法,系数矩影响电路设计分析的效率和质量阵如果为按行严格对角占优矩阵,则可以采用雅可在电路的分析设计中,电路元件的电导值差异比迭代法和高斯赛德尔迭代法等等很大,电路方程系数矩阵A中各元素的数值相差悬殊.一般我们可以采用双精度字长运算,其字长是参考文献单精度的2倍,由于字长增加一倍,误差的影响大宋国乡.数值分析队M,西安:西安电子科技大学出版大减小,可以获得足够精确的解,不选主元的高斯社,200(5)消去法可能会给数值稳定性造成很大的威胁,为了凹2来新泉.电路的优化设计队西安:西安电子科技大保证数值稳定性通常采用列主元或全主元法,就数学出版社,2005(1【贵任编辑:周玉云中国煤化工CNMHG