合成推理的插值实现

第28卷第2期华中理工大学学报Vol.28 No. 22000年2月J. Huazhong Univ. of Sei. &. Tech.Feb.2000 .合成推理的插值实现李凡姜华庆饶勇(华中理工大学计算机科学与技术学院)摘要:在对采用合成推理规则进行模糊推理的机制进行分析的基础上,给出了利用插值法也可以得到相同结果的原理.在此基础上用实际例子说明了采用插值法实现合成推理的方法,结果表明采用插值法可以等效地实现合成推理.关键词:合成推理;插值法;可能性分布;模糊推理中图分类号: TP11文献标识码: A .文章编号: 1000- 8616(2000)02-0017-03.形扩展,R是U到V的模糊关系,D是V上的模1合成推理的基本原理糊子集,它就是由合成推理得到的推导结果.由上述分析可见,合成推理的机制是将论域U上的一合成推理“方法的基本思想是:假定X和Y个模糊子集C变换到论域V上的一个模糊子集是分别定义在论域U和V上的两个语言变量,AD的过程.这一过程可以表示为一个函数映射:y和C是论域U上的模糊集,B是论域V上的模糊=f(x),其中,x和y分别定义在论域U和V上，集,且有规则p:IF X is A THEN Y is B,若给定而模糊关系R就相当于一个从论域U到论域V观察事实q:XisC,则利用合成推理得到的推理的映射,它将U中一个元素u映射为论域V中的结果为D=C。R,这里“。”表示合成运算,推理一个模糊集[3].结果D是论域V上的模糊集,R是笛卡尔积UX映射函数y= f(x)可以通过对模糊关系矩阵V上的模糊集.R的反模糊化得到.通过对事实q:X isC中模糊若采用可能性分布的概念[2],则上述规则和子集C的反模糊化得到X的确定值x,下一节中事实可表示成可能性赋值方程p-→lx.r)=R,q-、将讨论其具体实现方法.这样,合成理的结果即为IIx=C,其推导结论应为r←IIx。lIlx.y.=C。R.y= f(x).这是一个确定的y值,可以根据需要转若取最常用的max -min算子,则可得到pc.R=化为V上的模糊集,但在大多数实际应用中,采max{pc(u) ^ pPr(u,v)}.用的是将合成推理的结果反模糊化为一个确定上述的合成推理原理可以看作是对要求解的值,如工业控制等.这里,也采用将合成推理规则问题先应用特指/合取原理,再应用投影原理所得所得到的结果反模糊化,然后将它与利用函数y=f(x)所得到的结果进行比较.到的结果[21.它可用图1表示.2利用插值法进行合成推理、R- CnR在上一节的讨论中,语言变量X和Y是在有限集内取值的,这样就可以用有限维模糊向量和模糊矩阵分别表示模糊集A,B,C和R,而对于映古射函数y=f(x)中的x和y可以在论域U和V中国煤化工从模糊矩阵R导出的图1合成推理的基本原理图1中,C是∪上的模糊子集,C是C的柱.;MHCNMHG条件的序偶(u,v)利用插值法得到的,而序偶(u,v)是对模糊矩阵R按收稿日期: 1999- 10-08.作者简介:李凡(1943-),男,教授 ;武汉,华中理工大学计算机科学与技术学院(430074).基金项目:国家高性能计算基金(99313);华 中理工大学科学研究基金(M99015) 资助.18华中理工大学学报2000年取最大隶属度值的反模糊化后得到的,即:对于模若采用取最大隶属度值的反模糊化方法,可糊矩阵R中的一个X值u,其对应的Y值v在X得=u行,有最大的隶属度值,若同时有多于一个的. y= 4.5.(2)最大隶属度的Y值,则对Y值取算术平均.这样，下面,对例1通过对模糊关系矩阵R反模糊若X在有限集A中取值,且A中有N个元素,则化后采用插值法来实现推理.可以得到N个序偶(u,v),这就是函数f的插值首先对模糊关系矩阵按前述方法反模糊化节点.这样就可以利用已有的插值方法求出函数后,可得序偶(1,5),(2,4. 5),(3,4),(4,3. 5),f的具体公式y= f(x).(5,3).利用插值法可得函数为.同理,对事实q:X isC中的模糊集C同样按y= 5.5- 0.5x.(3)取最大隶属度值后反模糊化,即得到X的确定值.再对模糊集C按前述方法反模糊化,可得X的确x,此时,推理结果即为y=f(x).由上述讨论可定值x=3,代入式(3),可得见,推理结果就是在被插值点x和N个插值节点y=4.(4)之间求f(x)的插值问题.可见,式(4) 和式(2) 的结果是比较接近的,但在有多个规则且观察事实已知的情况下,用却不完全一-样.这种不一致与模糊关系矩阵R的插值法来实现模糊推理的原理和方法与上述情况构造和反模糊化方法的选取有关.例如,在本例是类似的.中,若按Zadeh的算术规则,则式(1)应为ue(x，y)= min{1-μa(x)+pn(y),1},其关系矩阵R应3两个例子为00.25 0.5 0.75 1.01例1若规则ρ和事实q分别为0.25 0.5 0.75 1.0 1.0p:IFXisATHENYisB,R =| 0.5 0.75 1.0 1.0 1.0|q:X isC,0.75 1.0 1.0 1.0 1.0其中语言变量X和Y分别在有限集U和V中取1.01.0 1.0 1.0 1.0)值,且U=V=1+2+3+4+5.模糊概念A,B和利用合成推理得到的推理结果为.C分别定义为A=1.0/1 +0. 75/2 +0.5/3+IIy= IIx。llx.r=C。I0. 25/4,B=0.25/2+0.5/3+0.75/4+1. 0/5,C0.75/1 + 0.75/2 + 1/3+ 1/4 + 1/5.=0.5/1+0. 75/2+ 1.0/3+0.75/4+0. 5/5,则由按同样的取最大隶属度值的反模糊化方法,可得.上述条件可写出如下的可能性赋值方程+4+.5]:(5)q:X isC→IIx = C,而通过对模糊关系矩阵R反模糊化后得到的插p:IFXisATHENYisB→lI(x.r>=R.值函数同样为若按Mamdani的最小运算规则[6]，则有(6)Pe(x,y) = pa(x) A pB(y),(1)再把对模糊集C反模糊化得到的X的确定值x=3代入式(6)中,可得[0 0.25 0.5 0.75 1.000.250.50.750.75y= 4.(7)可见,式(7)和式(5)的结果是完全一样的.式中,R=|0 0.25 0.50.5 0.5|例2设A,B,(i=1, 2, 3，4)和C是U= .0 0.25 0.25 0.25 0. 2500V=1+2+3+4上的模糊集,且若采用合成推理,可得到如下的推理结论:A|= 1/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.2/4，Iy = IIx。II(x.y>=C。R=A2= 0.7/1 + 1/2十0.8/3十0.5/4,(0.5 0.75 1.0 0.75 0.5)。中国煤化工+ 1/3+ 0.8/4，{0 0.250.5 0.75 1.0、+0.8/3+ 1/4，YHCNMH G0.25.0.50.750.75b= 0.3/1十0.5/2 + 0.7/1 + 1/4，0.250.5 0.5 0.5| =B2= 0.4/1 + 0.6/2 + 1/3 + 0.7/4,0 0.25 0.25 0.25 0.25B:=0.7/1 + 1/2 + 0.8/3 + 0.6/4，0jB= 1/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.3/4，0/1十0.25/2十0.5/3十0. 75/4十0. 75/5.C= 0.5/1十0.8/2 + 0.8/3 + 0.4/4.第2期李凡等: 合成推理的插值实现19规则与观察事实如下: p;: IF X is A; THEN Y is(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).利用插值法可得函数B,(i=1，2, 3, 4),q:X is C,将它们分别转换为为可能性赋值方程并按Mamdani的最小运算规则,y=5-x，(9)则有对模糊集C反模糊化,可得X的确定值x=p;→Ilx.r)== R,2.5,代入式(9) 中,可得pR,(xr,y) = 4A,(x) A hn,(y) (i = 1,2,3,4)，y= 2.5，(10)q→IIx=C,可见，式(8)和式(10)的结果是-样的.R= R∪R2∪R3∪R;参考文南0.5 0.6 0.7 1.0][1] Zadeh L A. A Theory of Approximate Reasoning.0.7 0.7 1.0 0.8in: Hayes J E, Michie D, et al, Eds. Machine Intel-0.8 1.0 0.8 0.7|ligence (Vol.9). New York: Elsevier, 1979.1.0 0.8 0.8 0.6[2]李凡.近似推理.北京:科学出版社,1995.Iy = IIx。II(x.rn)=C。R=[3] 汪培庄.模糊集合论及其应用.上海:上海科学技术出(0.5 0.8 0.8 0.4)。版社,1983.0.5 0.5 0.7 1.0][4] Zadeh L A. Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of0.7 0.7 1.0 0.8 |Possibility. Fuzzy Sets and Systems, 1978, 1(1): 30.8 1.0 0.8 0.7~28(1.0 0.8 0.8 0. 6)[5] Yager R R. An Introduction to Applications of Pos-sibility Theory. Human Systems Management,0.8/1 + 0.8/2 + 0.8/3 + 0. 8/4.1983，3: 246~ 269采用取最大隶属度值的反模糊化方法,可得y= 2.5.(8)[6] Mamdani E H, Graines B R. Fuzzy Reasoning and itsApplications. London: Academic，1981.而对模糊关系矩阵R反模糊化后,可得序偶To Realize the Compositional Inference by Interpolation MethodLi Fan Jiang Huaqing Rao YongAbstract: Based on the analysis of the mechanism of fuzzy reasoning by compositional rule of infer-ence，the principle of how to achieve the same results with interpolation method is presented. Usingpractical examples，the approach to realize the compositional inference by interpolation method isdemonstrated.Key words: compositional rule of inference; interpolation method; possibility distribution; fuzzy rea-soningLi Fan Prof. ; College of Computer Sci. &. Tech.，W uhan 430074，China.中国煤化工MHCNMHG