逆平行的应用

中学数学教学2012年第6期逆平行的应用浙江省瑞安市塘下中学叶挺彪(邮编:325204)定义11与△ABC外接例2设△ABC三边长为a、b、c,D为圆在顶点C处的切线l平行直△ABC内部一点,且DA=a,DB=b,DC=线A'B'称为AB的逆平行线c;∠DAB=a2,∠DAC=a3,∠DBA=B如图1,若A'B′逆平行于∠DBC=B,∠DCA=y,∠DCB=y2,求证AB且交CA、CB分别为点A′n) sin(a2+y:) sin(a3+B,则△A'B'C逆向相似于△ABC证明在DA所在射线上任取一点A,作莫要看它有点古怪,有时将起到出奇制胜的DA'B′=∠DBA=B1交DB于B功效.作∠DAC"=∠DCA例1从点P发出的三条射线与直线分别交X交DC于C于A、B、C(如图2),设PA、PB、PC长分别为a如图3所示b·c,记△PAB、△PBC、△PCA的外接圆半径依不妨设DA′=bck,次为r、n.、n6,求证:ar=brb=c由△DAB'∽△DBA证明设∠APC△DAC∽△DA得图3∠BPC=BDB=ak,DC′=abk,在PA所在射线上任取=bDB,DBC'c△DCB点A',作∠PAB'=∠B因此BCBO交PB于B';作∠PAC′D’=·ab′k=ak∠PCA交PC于C图同理,AB′=ck,AC′=bk如图所示.不妨设PA′=bck,又△ABC的三内角:∠A=B+y,∠B则由△PAB′∽△PBA、△PAC′ca2+y2,∠C=a3+A3△PCA得故由正弦定理可得结论PB= uck. PC= abk定义2与四面体D-ABC外接球在点D隈一一4PCO△FB,处的切面平行面称为平面的递平行平面因此BC=BC设a的逆平行平面截四面体D一ABC交三棱依次为A′、B、C',如图4,显然△A'BC′三边同理,A'B′=AB·,AC'=AC,硬依次逆平行于△ABC三边.又∠BAC=∠PCA-∠B=B,事实上,若侧面DAB交切面于直线l,则l是∠ABC=∠PCB-∠A=a△DAB外接圆的切线,而A'B'∥l,于是A'B'逆ACB'=∠A+∠B=x-(a+B),平行于AB因此在△A'B'C′中由正弦定理得例3设四面体D一ABC底面△ABC三边BC·aAC·kAB·ck分别为a1、b、c,与才中国煤化工2stnac2,则以a1a2、b1b2、C1HCNMHG即rc.2012年第6期中学数学教学37利用导数证明不等式中构造函数策略探究湖北省大冶市第一中学黄俊峰袁方程(邮编:435100不等式的证明因其灵活多变、技巧性强著以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即x-1-ln2x称.很多复杂的不等式证明,如果能灵活构造函2alnx>0.故当x>1时,恒有x>ln2x数,并利用导数,往往能获得简捷解决,而构造相2alnx+1应函数是关键.如何构造、从哪里构造函数,许多评注:第(Ⅱ)问利用第(I)问的结论很容易同学找不到突破口,下面就此问题进行探究证明;(2)在判断函数单调性的过程中,可能需要直接构造对不能直接确定符号的部分还要构造函数例1(2010年安微理科18题)设a≥0,2等价构造f(x)=.r-1-In2x+2alnr(x>0).(I)A例2求证:当a≥1时,不等式e-x-1≤F(x)=xf(x),讨论F(x)在(0,+∞)内的单ax2elxl调性并求极值;(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>2对于x∈R恒成立In'r-2alnx+1解(1)当x≥0时,要使e-x-1≤解(Ⅰ)略2一成立,只需cs2+x+,即只需证(Ⅱ)分析本题要证明的不等式x>ln2x2alnx+1是由已知函数f(x)>0变形而来要明1≤,令f(x)则证明此不等式,只需要研究已知函数f(x)=xl·e-(x+1)e1-ln2x+2alnx(x>0)的单调性Cx)=ar t(e)2证明由a≥0知,F(x)的极小值F(2)=又a≥1,x≥0,故f(x)≥0,即f(x)在2ln2+2a>0.于是,对一切x∈(0,+∞),[0,+∞)上是增函数,故f(x)≥f(0)=1,从恒有F(x)=xf(x)>0.从而当x>0时,恒有成立f(x)>0,故f(x)在(0,+∞)内单调增加.所证明在图4中,设有用的副产品:△A'BC′三边为a1′、b1′、例4若以a1、b1、c1为三边,以a2,h2,c2为ma:b:ci=araz其对棱有四面体存在,则以a1a2、bb2、c1c2为三边,以b2c2、a2c2、a2b2,为其对棱有四面体也存在事实上,不妨设DA′=利用此命题可将与四面体边长有关的关系b2c2k(k为比例常数),则由式通过这命题转化为四面体的一些新的关系式△DAB'∽△DBA得从而达到探索有关规律的一种途径AB′DA′DB,所以CICak参考文献梁绍鸿.初等数学复习及研究(平几)[M.北京:人民同理a′1=a1a2k,b1=b1b2k教育出版社,1979.17利用例3中的△AB'C三边关系,为探索四2孔令恩中国煤化工换.数学通面体的有关新规律提供了一种途径,有关四面体讯,1995HCNMHG不等式的探索,见文[2].同时我们顺便得到一个(收稿日期:2012-09-26)