中国科学G辑物理学力学天文学2005,35(6):573~608物理计算的保真与代数动力学算法Ⅰ.动力学系统的代数动力学解法与代数动力学算法王顺金”张华(四川大学物理学院理论物理中心,成都610064)摘要用常微分方程描述的动力学系统的演化方程的数值求解及其保真问题首先引进时间平移算子,把经典动力学系统的常微分方程的初值问题提升为偏微方程的初值问题,纳入量子物理的代数动力学框架;将动力学系统的时间演化的局域徽分规律和整体积分规律,用李代数和李群的语言具体表示出来;用代数动力学方法求得了用 Taylor级数表示的局域收敛的常微分方程的偏微分形式的精确解和 Taylor级数系数函数的解析表达式,在 Taylor级数表示的局域精确解的有限项截断近似下,建立起一种基于时间平移偏傲分算子的常微分方程的数值求解方法代数动力学算法.从代数动力学算法的观点考察了辛几何算法和Runge-Kutta算法的保真问题关键词物理计算的运动学代数几何保真和动力学保真经典动力学方程的代数动力学解法常微分方程的代数动力学精确解和代数动力学算法科学规律和常微分方程有着密切的关系.定量的科学规律,大体分为两类离散变量的规律和连续变量的规律.基本的科学规律,特别是物质运动的基本规律,如物理学基本定律,大多数是连续变量的规律.连续变量的科学规律又分两类:(i)用常微分方程描述的规律,如质点运动的经典力学规律、天体运行规律、用有限个变量描述的化学规律、生物学规律、神经网络规律、气象学规律,甚至经济学规律等等;(ⅱ)用偏微分方程描述的规律,如物理学中用多变量函数描述2005-02-21枚稿,200509-19收修改稿中国煤化工国家自然科学基金(批准号:10375039.90503CNMH③子加速器因家实验室核理论中心基金资助项目** E-mail: swang(home. swjtu.edu.cnSCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy574中国科学G辑物理学力学天文学第35卷的经典场(如电磁场、流体场)方程、量子力学中的 Schrodinger方程、统计物理学中的各种输运方程、量子场论中的各种场方程等等此外,在求解科学(特别是物理学)中的偏微分方程时,人们常常把问题化为常微分方程求解(如数学物理方法中的分离变量法和按已知函数基矢展开如Fourier展开的、截断的、近似的方法等).由此可见,常微分方程的求解在科学问题的计算中占有十分重要的地位物理计算的保真包括运动学保真与动力学保真两个方面.物理学是精密的科学,物理问题的解答需要精确的数值结果.因此,物理计算的保真问题是物理学研究的基本问题.物理系统的动力学时间演化规律是由运动方程的时间演化算子的结构决定的,物理计算保真就是运动方程时间演化算子的结构的保真.因此,物理计算保真问题的内涵由运动方程的结构的内涵决定,它包括两项内容(i)运动方程的运动学变量的代数几何结构的保真,简称运动学保真或代数-几何保真.具体说,就是要保持运动学变量的代数关系及其不变量和相应的空间几何不变量的精确度.(i)运动方程的动力学群结构的保真,简称动力学保真,或速度、加速度、能量等动力学守恒量保真.具体说,就是要保持动力学轨道和所有动力学守恒律的精确度物理计算保真问题的提出有以下理由:物理运动方程是连续的微分(积分)方程.物理运动方程一般很难求得精确解,常常需要数值求解.数值求解中的差分近似和网格离散化近似,以及无穷级数的有限项截断近似,都要破坏运动方程及其解的结构,造成数值解对于精确解的偏离.物理计算保真的任务就是:在数值求解时,在对方程进行的离散化和有限化近似过程中,尽可能保持运动方程的结构及其相应的守恒量不变,或者,把数值解对于精确解的偏离控制在设定的精度以内在物理计算保真问题中有两点需要说明:(i)运动学保真中运动学变量的代数保真与几何保真的一致性.按照Kein的观点(爱尔朗根纲领,几何与代数是一致的:空间几何由空间不变群确定,而空间不变群的生成元组成一定的代数因此,空间几何的研究可以归结为空间不变群的生成元的代数的研究.例如:欧氏几何由E(3)=0(3)+T(3)不变群确定,而相对论时空的几何则由L(4+74)=Poincare不变群确定.(i)动力学保真使得运动学变量的代数和几何保真成为动态的运动学变量的代数与几何结构保真,而不是静态的运动学变量的代数和几何结构保真.为此要区分动态轨道和静态轨道:消去时间变量后的由运动学变量形成的轨道是静态的轨道,它是一个中国煤化工包含时间演化信息的动力学变量.静态轨道保真确保CNMHG代数和几何关系的不变性,可能造成运动学变量的动力头具与之相,可念轨道是在动力学SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法—1575群驱动下的运动学变量随时间变化的轨道,它包含这些变量的动态代数和动态几何的信息,以及由它们诱导出的动力学速度、加速度和能量等信息;动态轨道保真体现了动态代数-几何保真和动力学(速度、加速度和能量)保真两者的致性1常微分方程的代数动力学解法11多变量常微分方程组及其结构2由于高阶常微分方程组可以通过引进新变量降为一阶的,不失普遍性可考虑-阶常微分方程组n个变量,p个参数的一阶常微分方程组可写为x=F(an(t),x1),i=1,2,…n;M=1,2…p,(1.1)其中∝2(1)是方程所包含的参数,构成p维参数空间,与时间无关时为自治系统,否则为非自治系统X()为n维相空间的曲线.F包含对x;的代数运算,定义了方程的局域微分结构.按 Amold,F(x)称为相速度场V(X)=F(x)局域解的存在唯一性要求相速度场V(X)=F{(x)是局域连续可微的并具有紧性12多变量一阶常微分方程组的代数动力学13利解法考虑自治系统,an与时间无关基于F引进偏微分算子L(X,0x),F可改写为F(a,X)=L(X, dx)Xi,x立(1.2)Fa,XL(X,3x)确定了方程的局域微分结构,像量子物理一样,它是确定方程的解的时间演化算子的无穷小生成元,描述动力系统的时间平移特征,故可称为动力系统的时间平移微分算子.引进时间平移微分算子L(X,0x)后,方程(L1)可提升为偏微分方程,纳入代数动力学框架,其分量形式和矢量形式分别为(X)=ix,。X,X=Lx仿照量子物理学的方法,在收敛半径内,可求得(1.3)式的积分形式的迭代解,其矢量形式为X(X0,1)=X0+[(X)X(1tLrX中国煤化工(14a)其分量形式为CNMHGwww.scichina.com576中国科学G辑物理学力学天文学第35卷x(x0,)=∑(x0)xm=cxxm(14ab式给出自治的常徹分方程组的局域收敛的、用无穷 Taylor级数表示的偏微分形式的严格的解析解,初始变量Xo起着偏微分方程中时间变量以外的其他变量的作用.(14ab)式是单参数群的代数动力学解,是对常微分方程用有限差分进行数值计算求解的基础解(14ab)式的存在,要求下列导数Xo,(n=1,2,3.)在X0的局域存在,很多科学中的动力学系统都满足这一条件.下面将看到,上述条件与轨道相流X()是t的局域的C函数因而可做 Taylor展开这一条件等价,即与轨道的各阶导数x(L0(m=12,3.0)存在等价,但比起要求v(X)=E(X)是x0的局域的C"函数这一条件弱很多.下面的阿诺德反例(ⅶ,ⅷ)表明:即使V(X)=F(X)在X0的局域不是C函数,但导数Xo,(n=1,2,3∞)仍然存在因而仍可用代数动力学求得其精确的、解析的、局域的 Taylor级数解应当指出,当K(n=1,2,3.∞)存在分离奇点时,在这些分离奇点被隔离后的区域内,仍可用代数动力学求得精确的、解析的 Taylor级数解.这与常微分方程的通常解法的处理方法一样仿照量子力学,引进动力学系统的时间演化算子[X,1=c(x0,则(14ab)可写为X(n=X(Xo, t)=U[Xo, t]xo,X()=X1(X0,1)=OXa,1]X0(1.5)式很像量子力学的波函数的时间演化解,只不过这里的“波函数”是“坐标”的线性函数,而且要取常微分方程的“坐标”初值.如果用代表几率分布的x0的非线性函数p(X)代替线性函数X0,则(1.5)式成为广义 Liouville方程的解(13节)应当指出,与量子物理一样,时间演化算子Ux,=c4xo确定了方程整体积分解的单参数群的结构,即动力学演化的整体积分结构;时间演化算子UX0,的微分算子L(X0)是单参数群元的无穷小生成元,它起着系统的时间平移算子的作用,它和群元之间的关系是:无穷小生成元的指数化导致群元这一李群和李代数的规则.上述结果表明,经典物理演化方程向相空间的初值函数空间的提升,就达到与量子物理类似的演化中国煤化工程的解向线性函数子空间的投影又回到了经典演化方CNMH解法与其他解法的重要区别.因此,在代数动力学解法,习红兴忉埋存在着深刻的联系与类比,量子物理与经典物理的动力学演化与李群和李代数的本质性联系得SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法577到了充分体现常微分方程的上述偏微分方程解法使常微分方程描述的这一动力学系统变成由时间平移偏微分算子驱动的代数动力学系统,因而可用代数动力学方法求解常微分方程值得指出的是.常微分方程可用偏微分方程求解这一事实,初想起来很难理解:相空间的变量X:作为方程的解x1(r)是时间的函数,怎么在偏微分方程中竟然成为独立于时间变量的其他变量?但是,仔细考察常微分方程的初值问题就会发现:常微分方程的相空间变量的初值X的确是独立于时间变量之外的其他变量而常微分方程的解的确是坐标初值变量和时间变量的多元函X()=X(X0,1),在下面将看到常微分方程的代数动力学解法,正是利用了这一个微妙的、为人所忽视的事实1.3多变量常微分方程的代数动力学解法的正确性下面对代数动力学解法的正确性给出一般的证明,即要证明:偏微分方程(1.3)的解(14ab)或(5)式是常微分方程(1.1)的解,而初始变量{X}成为偏微分方程的、除时间变量以外的坐标变量.1.3.1证明1:用微分算子代数运算直接证明把(14a,b)或(1.5)式对时间求偏导数,有dX, (Xo, t)drX,=U(Xo, OL(Xo)Xo =U(Xo DFi(a, Xo),最后一步用到由(13)式得到的下式:i(X)X1=F{(X).利用以下恒等式[L(X),X]=(iX),[,、x=(2x),[,(iX)=(i+x),(1.7a)(x0)x(xo)=∑;((Xx0)x0)=D(x0,X0=X(x,)2(7)U(X0,1)F(a,X0)=F(a,K(r),(17c)可以把(1.6)式变为:X=F(a,X).这正是常微分方程(11).这就证明了:偏微分方程(13)的解(14a.b或(15式是常微分方程(1)的解,而初始变量X0}成为偏微分方程的除时间变量以外的坐标变量.1.32证明2:用广义刘维方程证明引进L的 Hermite共轭算子:(中国煤化工函数p(x,)满足的偏微分运动方程CNMHGwww.scichina.cor中国科学G辑物理学力学天文学第35卷以(x,)=(xD=(x)p(x当动力学系统是 Hamilton系统时,计=-,(1.8)式成为刘维方程(X,)=9(xL(X)P(X, t).因此,(.8)式是广义刘维方程(推广的刘维方程),适合于一般的自治的动力学系统,包括 Hamilton系统和非 Hamilton系统.类似量子物理学解法,(1.8)式的解为p(X,)=0+(x,1)p(X,t=0),O+(x,)=e,(1.IO)P为分布几率函数.考虑X对p的一阶矩及其时间演化方程为X,()=X, p(X, tdx=x, U*(X, D)p(X,t=O)dxJU(X, I)X)P(X, t=Odx=f(eX)p(X, t=O)dx. (ID)对于点状初始分布函数p(X,=0)=(X-X0),(1.1)式成为X(r)=e02xx1(X0,t)=X(t)R()的运动方程正是运动方程(11x,()=;()=e(x0(x0)x0=cxF1(aX)=EF(a,xX().(13)上式的推导用到等式(17)和(1.12)式因此,方程(113正好是常微分方程(11),而方程(1.13)的解(112)正好是常微分方程(11)的解(14a.b)或(1.5)式.这再一次证明了:偏微分方程(1.3)的解(14a,b)或(1.5)式是常微分方程(L.1)的解,而初始变量(X0}成为偏微分方程的除时间变量以外的坐标变量1.3,3证明3:用常微分方程的解按时间变量做 Taylor级数展开证明对于自治的常微分方程(1.1)(a不依赖于时间),按照常微分方程理论,当FA(a,X)非奇异可微和具有紧性时,在=0=0的邻域方程(1.1)必有唯一解X()=X(X0,1).我们假定,该解在t==0的邻域可做 Taylor展开为x(05x(0+2(1.14)另一方面,由(1.1)和(12)式有中国煤化工CNMHG=X)=F(, X)=LXX i(1.15)SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法579可以证明下面重要等式X1)=Cx1现用归纳法证明上式如果X=x1成立,则可证x)=DX1也成立事实上,由xm=-x1和(11)式有上式的证明用到L作用到常数上为零1x==0.由于(15)式成立递推可知,(1.16式一般成立.至此,我们用归纳法证明了X(=Cx1,利用(11)式,(1.16)式可改写为FLX在r==0处X)(t=0)=(X0)X0,时间有关的 Taylor级数解(114)式变为x,()=∑2xm(=0)=2∑2P(x0)xm=xxm=0xnx,(18这就证明了:技常微分方程理论所得的时间有关的 Taylor级数解在收敛半径内与代数动力学解法所得结果一样上式表明:x((=0)和X0到无穷阶都存在的条件是等价的这一证明告诉我们,无论用常微分方程理论所得的时间有关的 Taylor级数解,还是用代数动力学解法所得的偏微分形式的 Taylor级数解,只是在收敛半径以内的局域解.按照常微分方程局域解的扩展和延拓定理,上述 Taylor级数形式的局域解可以通过延拓,得到许多分片收敛的 piece-like解.这种延拓,类似于解析函数的延拓,逐步扩展区间,每个拓展的区间都有自身的收敛半径;而常微分方程在有限区间的解,是由若干个用 Taylor级数表示的被拓展的 piece-like(分片函数组成,每个分片函数都有自己的收敛半径,这些被拓展的 Taylor级数解的收敛区间彼此重迭并覆盖一个有限区间.这一点对数值计算是非常重要的代数动力学解法的意义在于,它证明了:任何自治的常微分方程,无论是线性的或非线性的,在解能用 Taylor级数形式的函数表示的局域条件下和局域意义上,都存在由分片函数组成的 Taylor级数解,而且给出了用偏微分运算计算Taylor:级数系数函数的解析方法从显式的解析解存在就意味着方程可积这个意义上讲,任何自治的、其解可做 Taylor级数展开的常微分方程都是局域可积和分片可积的通常的可积系统和不可积系统或混系统的区别可能是:“可积系统”的解可以用一个 Taylor级数表示,而不中国煤化工个分片收敛的Taylor级数形式的函数表示,而分片函数CNMH体不可积性”或混沌程度”的标志,这和量子系统在有限维不可约表示子空间总是“局域可积www.scichina.com580中国科学G辑物理学力学天文学第35卷的”(有守恒量子数完全集)是一致的.从这个角度看问题,“不可积性”或“混沌”是一个整体的概念,在局域考察时则缺乏明确的意义I4用代数动力学解法计算常微分方程的解析解的若干实例为了进一步验证上述代数动力学解法的正确性,展示如何用代数动力学方法求出方程的解析解,我们用下列8个实例展示代数动力学解法所得的结果与常规方法所得的结果是一样的.这8个实例有 Hamilton系统,也有非 Hamilton系统,表明代数动力学解法对一般动力系统适用(i)一维谐振子:系统的 Hamilton量为H=(p2+q2),运动方程为dH9=3=F9=P, p=(1.19)时间平移算子为L=ah a dH运动方程(1.19)ap aq dq dp dq P ap dq可提升为偏微分方程为X=LX, X=(, p)上述偏微分方程的代数动力学解的分量形式为q(9,1D1)=c4A%o=∑上p(,1)21a)p(go, po: t)=elo(g,Po)rPo(1.21b)为此,要计算C(X0)q0和(X0)P,所得结果为(X0)o=(-1)"qo22E(x)po=(-1)"po,+(x0)p=-(-1)"g,(1.22b)把(1.22ab)代入(1.21ab)式,得到正确的谐振子解为q(9o, Po; t)=go cost+ Po sint, p(go, Po: t)=Po cost-go sin(i)自由粒子运动:系统的 Hamilton量为H=p2,运动方程为H(1.23)时间平移算子为L=p②·运动中国煤化工方程(120),其CNMHG解为(1.21ab)式.现计算i(x0)%和(x。)p0,得到SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法—1(X0)%0=P0,D(X0)90=0n≥2),(X0)p=0(n≥1),(1.24)把(1.24)代入(1.21ab)式,得到正确的自由粒子运动解为q(40,Po;n)=qo+p2,p(q0,P;1)=P0(i)自由落体运动:系统的 Hamilton量为H=p2+8q,运动方程为dHdHdF时间平移算子为L=P西吻运动方程(1.25)可提升为偏微分方程(120,其解为(1.21a,b)式.现计算C(X0)q0和D(x0)p0得到i(x0)40=0,E(x0)90=-8,D(x0)q=0(n≥3(1.26a)L(Xo)PoL(Xo)po把(1.26a,b)代入(12la,b)式,得到正确的自由落体解为q 90, Po; t)=qo t pot--gt, p(o, Po; t)=po-gt(i)具有动量相关势的振子:系统的 Hamilton量为、、(p+q)+kqp,运动方程为9=3-=Fo= p+kq, p(127)时间平移算子为E=(D+k)-(9+6),运动方程(127)可提升偏微分方程(1.20),其解为(1.2lab)式现计算(X0)q0和P(x0)p0得到E2n(x0)q0=(k2-1”q0,+1(x0)90=(k2-1)y(p0+ka0),(128aL"(X0)P0=(k2-1)”po,D(X0)Po=-(k2-1)"(q+k0),(1.28b)把(1.28ab)代入(1.21a,b)式,得到正确的解析解为q(q0,P0;t)=Po + kqoin a, p(go, Po; t)=Po其中a=√1-k2,当k→0.m→1时,回到通常的谐振子解(v)粒子在周期性势场中的运动中国煤化工2-k运动方程为TrCNMHGwww.scichina.com中国科学G辑物理学力学天文学第35卷oh=E=p时间平移算子为L=Msi加运动方程(29)可提升为偏微分方程20)其解为(1.2lab)式.现计算"(X0)q0和(x0)p到5阶的表达式如下L(X0)q0=Pu=L Po, L(Xo) 40= Lpo=-k sin qoL(X0)q0=L' Po=-kpo sin go, L(Xo)q0=Lpo=kpo sin go +sin 2goL(Xgo=i po=kPo cos qo +kpo(cos 2qo-2sin2go)(又=如sm时?2sm2-kn(s24-2sn2q).(1.30)由此可以在5阶近似下,计算近似解.原则上可以计算 Taylor级数的系数到任意阶,给出任意阶近似下的数值解.使用 Hamiltion-Jacobi方程求得的解析解为1)q(o, Po, t)=2sin"(mSNI KI+6,m), p(qo, Po, t)=2m,[vkt+8, m],品土k,B=B-k0456=C-1(1.31)2(E0+g)其中SN,CN为 Jacobi椭圆函数,m,δ是初值(4o,p)的函数.级数解(1.2la,b)式的 Taylor级数的系数(130)与用(131)式计算的 Taylor级数的系数的关系为q(qo, Po, t)Dd"p(go, Po, r)(132)d具体计算表明,两者计算的结果相同(vi) Huygens振子(双势阱振子):系统的 Hamilton量为H=p2-2q2+q4,运动方程为Fa=P, p时间平移算子为L=P3-(4q3-4q),运动方程1.33可提升为偏微分方程(1.20)、其解为(1.2lab式.现计算(X0)9和(X0)p0到三阶的表达式如下:L(A中国煤化工CNMHGI)张华,王顺金.周期性势场中经典粒子运动的解析解,2006(待发表)SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法—1P(x0)%=Ln0=20-2,(x0)0=2p0=2p0-2p的,3L(X)Po=-4p 2q22q2(134)使用 Hamiltion- Jacobi方程求得的解析解为)q(q0,p,1)=√fDN√2ft+6k]p(90,p,1)=-√2(+E0)SN√2ft+kCN√2f+6k1,(1.35)E0,E0q0 +0,dDN其中SNCN,DN,为 Jacobi椭圆函数.初始条件(o,p)通过(∫,,E)进入方程的解(135).级数解(1.21a.b)式的 Taylor级数的系数(134)与用(1.35)式计算的Taylor级数的系数的关系为o”"q(q0,P0,t)l0m=1的,p具体计算表明,两者计算的结果相同(ⅶ)Amod反例1:该例子为非 Hamilton系统,其运动方程为:x=y(x)=x213,ν(x)在x=0点不可微,导致在该初始点的解不唯一.通常解法可给出初始点斯=0时的两个独立的解:(x)=0和12()。3也可给出与x2()相应的通解:x()=+D),但给不出包括x,x2的通解,因Ex0(m=12,3.)存在,故可用数动力学方法求解如下:相应的代数动力学偏微分方程为文=DxL=x23,通解为x()=e“x=∑一x·由上式,当石=0时,给出第一个解:x1(1)=0.直接计算有:Lx=x23,2xBx0=0n≥4)代入上述代数动力学解给出第二个通解:x(t)=(c+t当x(0)=0时,c=0,给出第二个解:x1()=·由此可以看出,代数动力学解法给出了与两类解x()和x2()相应的通解,这是偏微分方程中国煤化工首变量在内的多CNMHG1)张华,王顺金.惠更斯振子的解析解,2006(待发表www.scichina.com584中国科学G辑物理学力学天文学第35卷变量空间求解,给出的解自然要比只包含时间变量的解包含更多的信息.上述计算还表明:速度场在x=0不可微,但Cx在该点却存在,后者的可微性更好般,对于方程:文=P,当呈=n时,用代数动力学解法可求得有限项Tayr级数解;但当1>9≠”-时,用代数动力学解法可求得无限项 Taylor级数解(经P时间变量变换后,可求得x(t=0)=0邻域的解).这表明:即使F(x)的某阶导数在x=0发散,Cx仍然存在 Taylor级数解仍然存在(ⅷ) armold反例21:该例子仍为非 Hamilton系统,其运动方程为xv(x)=x2,由于速度场v(x)增长过快并且非紧,导致映射x(r)=()=g(x)R→R不是微分同胚的.常规解法给出通解:两支独立的解可由初始条件求得:当(=0,x=0)=x)时,求得:c=1,x()=,如=∑(h(x<1).这支解要求!xt<1,故可做 Taylor级数展开.当|xot>1时,需从初始条件(>0.x()=)求得:c1+种,x(x1b∑(x-6)(xlt>1),要求x(-1)<1才可做 Taylor级数展开.代数动力学解法如下.在t=0,x(t=0)=x)邻域的第一支解:从代数动力学方程:ⅸ=Lx,L=x20求得在(=0,x(t=0)=x)邻域的解:0)=e2x=∑x,直接计算给出2x=n!x()=e=∑,x=xxo1t<1).上述解也以可通过下列变换,化为非自治系统的运动方程用代数动力学解法得到.令td运动方程变为非自治的=-1x2=i)x,ix)=-12°代为动力学解为T中国煤化工fari(r'yCNMHGx(t)=Te- 1o=2 dr, atz. dT, L(r )L(E2)(Tn-)E( n )%oSCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法—1是时序乘积直接计算给出:jaL)12,jrrL)(巧)x点:)1“,0-(=-(x1/r<1或lx01t<1).因此,用代数动力学解法求解相应的非自治系统,得到完全相同的解.上述解法展示,如何用代数动力学解法求解非自治系统常微分方程:当L(X,t)中时间变量和空间变量可分离因子而且对时间变量的函数因子的多次积分可以完成时,时间演化算子的级数可以求得解析显式第二支解(xot>1)可以通过求解方程在(0,x(0)=x)的邻域的解得到.从代数动力学的偏微分方程:文=x,8ar,考虑初始条件x()=4,得代数动力学解为x0)=c2=∑(b的动,直接计算给出:C为=n!为n=0x()=x∑比x-)1-10(-、(t>111(-b)<1.该局域解的分式表示显然可拓展到!xo1(-)>1的区域总之,由于速度场F(x)=x2的非紧性,方程的解分成拓扑分离的两支,代数动力学解法可以得到这两支局域收敛的 Taylor级数解,并可以逐步延拓得到所有局域解15 Taylor级数解的收敛性现在讨论 Taylor级数解(1.4b)式对时间变量t的收敛性.为此考察该级数第1项和第n项之比为in (xo)=dIn(L'XoLX∑F(X(1.37)由收敛条件:n(x0)7(X0)<1,得Mt的收敛半径n+1n→"+1;dIn(LX中国煤化工当F(x0)是幂函数,其最高次幂为m即CNMHGwww.scichina.com中国科学G辑物理学力学天文学第35卷dIn(LF,(X0)XT对于谐振子或具有动量相关势的振子∑F1(X0)dIn(LXPo9o=常数,T对具体的系统,级数解的收敛性和收敛半径,要具体讨论.但对于有限阶截断的近似数值计算,收敛半径为:T(Xx0,=[n+1要根据初值X0∑F(xaIn(L Xoi)X和近似阶n按上式计算1.6L的本征方程与守恒量任意物理量OxX)的时间演化方程为0X)=2x3x,=0.其解为Ox()-=e(ko)Ox01.i的守恒量C(X)满足:(x)=LC=0,的本征方程为LOn(X)=1On(X),其零本征矢的集合穷尽了所有独立的守恒量C=O(n2=0):io2(X)=0.在L的本征解表象中分析动力学系统的时间演化,有可能深入了解可积系统和不可积系统,规则运动和混沌运动的本质区别17动力学系统时间演化的微分结构和整体结构动力学系统的时间演化轨道有两种结构:局域的微分结构和整体的积分结构.从代数动力学的观点看,这是无穷小生成元的结构和群元的结构在动力学系统时间演化问题上的表现.常微分方程的代数动力学解法的优点就在于,它完整地描述了这两方面的结构:时间平移算子L是动力系统时间演化的单参数群的无穷小生成元,描述了时间演化的局域微分结构,而时间演化算子U(Ln)则是单参数群元(对 Hamilton系统为幺正群元),它描述了时间演化的积分轨道的整体结构.常微分方程的代数动力学解法把动力学系统的时间演化的单参数映射gx的抽象映射算子84用单参数群的生成元的偏微分算子具体表示出来,从而把这种动力学映射的局域微分结构和整体积分结构用李代数和李群论的语言完美的表示出来:按李群的指数化定理,把作中国煤化工算子U(C)用其CNMHG生成元L的指数化表示出来U(in)=c=∑SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法—I587在物理系统的数值求解时,对连续统的时间变量要实行离散化的差分近似,对时间演化算子U(L)要按其生成元实行有限项的 Taylor级数截断近似这种离散化的差分近似和有限项的截断近似,要破坏动力学系统的时间演化群元的局域微分结构和整体积分结构之间的完美关系:按L的N阶截断虽然保持了微分结构,但是却破坏了整体的和积分的群的结构,使得作为群的守恒关系的、在时间演化中的动态代数关系和物理量守恒定律遭到破坏.幸而,常徽分方程的代数动力学偏微分方程解法把作为单参数群元的时间演化算子U(1)用其生成元L表示出来后,其 Taylor级数的截断近似的误差是可以估算的,因而是可以控制的.这就导致了有效的和有实际意义的、物理上保真的代数动力学算法值得注意的是,动力学系统中的代数结构及其关系是按动力学规律进行时间演化的动态的代数结构与关系,不同于通常数学家研究的没有时间概念的静态代数结构与关系.在动力学系统中,运动学变量的代数结构与代数关系,代数守恒量和守恒关系,必须在时间演化的动态过程中加以考察.由于动力学系统中的代数元素是随时间演化的运动学变量,其时间演化由动力学(如 Hamilton量趋动,整个系统既有代数结构问题,又有动力学问题.因此,处理这种动力学系统的理论方法被恰当地叫做代数动力学.如果进一步研究代数动力学系统的运动学代数所作用的几何空间(如运动学代数所生成的群的流形空间或该群作用的几何空间),则这种空间的几何体也会在动力学的驱动下发生变化.这一代数动力学系统的守恒量,除了动力学守恒量外,还有由运动学代数结构和关系所决定的几何学守恒量.研究在动力学作用下和在动力学演化中,代数动力学系统的几何体构形随时间的变化,以及在动力学演化中系统的几何学不变量,就构成了一种新的几何动力学,即动力学系统中的几何学 Hamilton系统的辛几何,正是这种几何动力学的一个特例18代数动力学36与代数动力学算法181单参数群的代数动力学常微分方程的代数动力学的偏微分方程解法把动力学系统问题变成代数动力学问题:任何一个动力学系统都对应一个单参数群的代数动力学系统,其结构函数F(X)对应于这个群的无穷小生成元xx)=∑F(x),它描述系统的无穷小时间演化的局域微分结构,L作为单参数群的生成元,按照李群规则其指数化就导致描述系统整体积中国煤化工可演化的群元CNMHG0(i)=c=∑p.系统的运动方程就成类似于 Schrodinger方程的代数动www.scichina.com588中国科学G辑物理学力学天文学第力学方程:X=LX,与量子力学中的代数动力学建立起密切的类比182复合李代数动力学3许多动力学系统的结构函数F(X)具有进一步的、更细致的代数结构、如Hamilton系统具有辛代数结构,轨道角量系统具有so(3)代数结构等等、这些代数结构是由基本变量如相空间变量{q,P}生成的复合变量X(q,P)的代数结构这样的动力学系统具有新的代数守恒量 Casimir守恒量)或群的守恒量如 Hamilton系统的辛几何守恒量)这时,系统的动力学演化,像量子系统一样,仍然是单参数群,但时间平移的微分算子具有进一步的复合代数结构,在求解和进行物理分析时可以加以利用,甚至可建立符合代数动力学算法如果复合变量X是相空间坐标(qa,Pa)的函数x1=x2(qn,P2),X1形成一复合李代数,在 Poisson括号运算下,满足李代数关系(Xi,,ho,p)=C.(141)而系统的 Hamilton量是变量X的函数,H=H(X(q,p).由此,既可以建立相空间(qan,pa)的运动方程:qn={qa,H},pa={pa,H},又可以建立复合变量x空间的运动方程81,1)=月(x)或X这,2=x0,)(X其解为:x1()=0(Ln)xO,D(i)=c=∑p,x1O0)=x(92(0,2(0).因此,对这样的系统,既可以在相空间(qa,pa)中求解,又可以在复合代数空间(X1)中求解.不少 Hamilton系统具有复合代数结构:一维谐振子具有su(1,1)代数结构二维谐振子具有sp(4)代数结构、轨道角动量系统具有so(3)代数结构等等.下面将看到,用复合代数动力学算法求解轨道角动量系统,由于非线性度的降低使数值解具有更高的精度183代数动力学解法与代数动力学算法经典动力系统的运动方程被提升为偏微分方程以后,就纳入了代数动力学的理论框架,可以用代数动力学方法求解,特别是可积系统,能比较方便的求得其解析解阿对于不可积非线性系统,可以求得用分片收敛的 Taylor级数表示的局域解析解;在这个基础上对 Taylor级数做有限项截断近似,进行精度可以控制的任意阶精度的数值计算,这就是下一节素的代数动力学算法(UM).利用时间平移算子L的性质,可以建立特中国煤化工博 Hamilt系统CNMHGSCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法—1589的辛几何结构,设计出“辛代数动力学算法(.利用时间平移算子L的性质还可以建立起相空间函数之间的关系,设计出精度达到计算机机器精度的“高精度代数动力学算法(eN)”(或称“全保真代数动力学算法”?)2时间演化算子的截断近似与代数动力学算法上节详细地介绍了常微分方程的代数动力学解法,给出了自治的常微分方程的、用 Taylor级数表示的、局域收敛的精确的解析解.本节的目的是要解决常微分方程的数值求解问题,这就是本节要介绍的代数动力学算法的任务代数动力学算法的目的是要给出常微分方程的精确的数值解.它是基于常微分方程的代数动力学精确解析解,对用 Taylor级数表示的局域收敛的精确解做有限项截断,从而设计出常微分方程的代数动力学算法21代数动力学精确解的局域性质和整体性质代数动力学精确解的局域性质体现在时间平移微分算子L上,而整体性质体现在时间演化积分算子0()上:单参数群的无限小生成元L体现了时间演化的局域微分性质,而群元U()则体现了时间演化的整体积分性质时间平移算子L和时间演化算子U()的性质如下:(i)L包含了由方程的结构函数速度场)F(X)所确定的变量X()的时间演化的微分规律的全部信息:X1=iX,(i)0()给出有限时刻X()的精确积分解并保持运动常量C(X)的时间平移不变性:X()=U()X0,C(X)=LC(X)=0→C(X()=e(xC(Xx0)=C(X0).(il(n)保持X(q,p)的动态代数关系及其 Casimir量的动态不变性为了叙述方便、准确,我们用具有复合代数结构的 Hamilton系统来讨论问题动力学时间演化保持初始时刻的运动学变量的代数关系和该代数的 Casimir量守恒不变,即{X(90,P0,X/(40,Po)}=GXk(9o,po)→,{x(q(,p(t),x(q()p()}=Cnx4(q(),p(),Cnx)= eoCnIXi(0)1=CnxO),因为,对Casimir it C,[X, JF LCn (X))=(Cn[X, q, P)],HIX ( q, P)Ikat(O, p(O)=0以上3条表明:一个动力学系统的运动学变量的代数关系(包括辛几何关系)及其守恒量,是任意时刻t的动态代数关系而不是静态的代数关系,必须在动力学支配的时间演化中去考查.从这个中国煤化力学代数;由于1)王顺金.张华物理计算的保真与代数动力学算CNMH(表)2)王顺金,张华物理计算的保真与代数动力学算法:高精度(全保真)代数动力学算法,四川大学内部报告www.scichina.com590中国科学G辑物理学力学天文学第35卷该代数的生成元是动力学变量,因此这样的系统的动力学称为代数动力学4即代数变量随时间演化的动力学22精确解的有限项近似和时间差分近似的保真问题虽然(14a,b)式已给出常微方程的精确的、解析的、分段收敛的无穷 Taylor级数解,但数值计算只能是有限的.常微方程的数值解只能用有限项的级数和有限时间间隔Δt的差分形式来实现,这种解的有限项近似和时间差分的数值实现必然使精确解变成一定精度下的近似解,从而破坏了方程的结构、变量的动态代数结构和系统的守恒量与运动常量的不变性,造成数值解对精确的真实解的误差和失真.如何把数值解对精确真实解的误差控制在设定的精度以内,是数值解具有实用价值的关键.按照上两节提出的局域保真和整体保真、运动学代数几何保真和动力学保真并重的思想,实现这种控制的最好办法是用充分体现方程的局域微分结构的算子去表达方程的严格的、精确的积分解,然后进行保持这种局域微分算子完整性的有限项截断和时间差分近似,从而可以在一定精度下保持方程的结构、变量的动态代数关系和运动常量的守恒,并在可控制和可估算的精度下破坏上述结构、运动常量和关系的不变性.代数动力学给出的常微方程的严格的、分段收敛的无穷 Taylor级数解,正是用充分体现方程结构和时间演化微分规律的时间平移算子讠表达的严格而精确的解析解,因此它成为有限项差分数值计算的基础221U(t)的N阶近似Uy()与N阶代数动力学算法代数动力学算法的特点是,对时间演化算子0x0,1]=e4x)的任何近似必须保持时间平移算子L的整体性因此的N阶近似的、最朴素而简单的代数动力学算法0就是0的Tyor级数的N阶截断近似即()=∑222N阶近似0N(△1)的科学保真度在△t的N阶精度下对各种物理量保持的精度为(i)保持轨道X(t)的M的N阶精度:X(+△)=Ux(△M)x()=X;(△)N+O((ⅱi)保持能量及其他运动常量的中国煤化工E=H[UN(△)X(t)+O(4rCNMHGEN(△)=E[1-OE(△r(22)SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法—I591i)保持X(q,p)的代数关系及其 Casimir量Cn[X]在Δt的N阶精度下不变由x(q,p)=X(q,p0,△)x+O(△r+),有{X(90,P,△n,x(90,P0、△)y+O2(△r+)=C[xk(9,P,△)+Q2(△n)→X(△,x,(△)=CX4(△)+CO△+)-0(a△+)CX1(△)=CnXO]+On(△r+)结论:轨道的偏差、能量及其他运动常量的守恒性的破坏,以及X;(q,P)的动态代数关系及其 Casimir量守恒的破坏,均发生在△r的(N+1)阶精度上23 Hamilton系统的精确解与近似数值解Hamilton系统是最重要的动力学系统,需要专门讨论231 Hamilton系统的动力学演化保持辛结构7-9下面给出本节要用到的 Hamilton系统动力学时间演化保持辛几何结构的证明由运动方程(设x是t时刻的变量,X是t+△时刻的变量)x=HdXdXdxdXdx, dxd这导致保辛结构axT(+△)Jdx(t+△r)=J(25)此处r≤/0Xa,x(26)a,P ap上标T表示转置.(26)式也可以从2形式辛内积守恒得到23.2 Hamilton系统的代数动力学解的时间演化算子D(△t)及其N阶近似的保辛结构问题由于0(△)给出精确解,故它自动Ⅵ凵中国煤化工持辛结构不变而时间演化算子0(△)=e的N阶近CNMHG一的N阶近似下成592中国科学G辑物理学力学天文学第35卷证明如下:由X=y(△)x(t)+O△Anx+),有aX=oXy+O+t(△)由(25)和(26)式有a,x a,x)o /)/a,x,X0PaP(-10八(。P。I Oa, XN a,XN(o 1(,XN a,x,y+t(△0BaP)(-10八( a,PN d,PA)(-Ox+(△)0→(2.7)a, XN d,(o 1aXN aXN,anP)人(-l0八(aRan0 I由于上式M的项和△N+的项是线性独立的且对任意M成立,故必有下述结论N阶近似Ux(△)保证辛结构(2.5)式在A的N阶近似下成立下面对时间演化算子U(△)及其N阶截断近似的保辛问题给出另一种更严格的证明(i)时间演化算子保辛的形式:对相空间d()的正则变换后的矢量函数d引u(1),构造辛内积2=ds [u(t)JdElu(r)]=dsi[u(t)J ds [u(r)](28a)由运动方程(11)正则变换协变性,可证辛内积守恒m2=ds [u(t)JdSu(t)]=ds [u(o)Jdstu(0)1用时间演化算子表示内积守恒Q=dsT[u(O)JU()JU(t)dsu(0)]=ds [u(O)Jdsu(0).(28c)Su(t)]=U()dsu(O)(28d)由此可得时间演化算子保辛应满足的公式U(X, I)JU(X, t)=J(29a)U(x:)=e4=∑i,L=0xHJ(29b)0(x)=el=∑(L,i=0Jo,H(2.9c)中国煤化工(i)可证下面几个有用的公式CNMHGJ1=-lJ,J(L)”=(-)"(L1)”J(210a)SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法—1593J()=U(-1)J=(0)-(t)J,(2.10b)(2.10ab)式对讨论截断近似很有用(ⅲi)时间演化算子N阶截断Dx()的保辛问题,用上述公式可证:i)U2p()保辛到2+1)阶,因为直接计算给出U2n(x,1)JU2(1)=J+O2P+2),i)U21()保辛到(2p+1阶,因为直接计算给出Up+1(,)JU2p+(z,1)=J+O(2p+2).故偶数阶截断效率高些(iy)用附加项改进保辛精度.以4阶截断近似U4()为例:i)修正的U46保辛到7阶精度,因为直接计算给出:046(0)=U4(1)-,046(X,)J1046(X,1)=144J+O().ⅱ)修正的U8保辛到9阶精度,因为直接计算给出:04s()=9(0B,Us(X,t)U48(X,)=J+O().上述修正不改变轨道和能量的精度(ⅴ)用附加项改进能量和其他守恒量的精度,设 Hamilton系统的能量或其他动力学系统的守恒量为E(X)=E0=cons.,xN(+△)=0x(X(t),△n)X()EN(+A)=E(X;(+△),△EN(t)=EN(t+△Δ)-E,计算△r阶的坐标修正小量e1(△N)(请注意△EN()为△rN+小量)为E(△r)=△Ey(r修正前的轨道X(t+△)经修正后变为N(t+△n)=X1(+△r)-E{(△rN+4)其中XN(t+△)由U(△r)生成.具体化到相空间,有q(213)PEg=(H(aN, PN")中国煤化工CNMHGscichina. com594中国科学G辑物理学力学天文学第35卷dH(, p)Ep=(H(9N,PN)-Eo)修正后的能量H(",p")将以更高的精度逼近E,由于修正项是O(△rN+)级的小量,因而修正后的轨道(N(t),px(1)对于精确轨道(q(t),p())的精度和保辛结构的精度均不改变24单参数群代数动力学算法和复合代数动力学算法241单参数群代数动力学算法任何动力学系统都可建立单参数群代数动力学算法:L就是单参数群这时间演化算子U()的无穷小微分生成元(即时间平移算子),而单参数群元U()是L的指数化,对其截断就是单参数群代数动力学算法.前面介绍的都是单参数群的代数动力学算法242复合代数动力学算法如果 Hamilton系统有复合代数结构,即 Hamilton量是复合代数生成元X2(q,p)的函数,则除了辛算法外,还可以有复合代数动力学算法,这一算法可以充分利用代数动力学方法实现解析方法与数值方法的巧妙结合,降低方程的非线性度,大大提高计算的效率与精度复合代数动力学算法的设计如下(i)确定H的复合代数结构:H(q,p)=HX(P(X,x}=CXk,其中(AB)为 Poisson括号.如果q2和m2是代数生成元,则对此生成元开方可直接计算qa和pa(ⅱ)建立(X}的运动方程:x;={X,Hx}}=FX],其中结构函数F(x)的某些项的非线性度比(q,P)相空间中的运动方程的结构函数f(q,P)的非线性度低i)把{x;}的运动方程提升成偏微分方程XdX[X, tatLx]x,E=∑FX(iv)偏微分方程的解为XIxo,=U[X,1Xx0=c“ 0 X(v)按时间演化算子U[X0,1中国煤化工CNM法:0的N阶算法的算子O为0=∑P,这一算法的精度如下:i)在的N阶精度下SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法I595保持变量X()及其复合代数结构的逼真度.设精确解为X(1),其N阶近似为x=X(qw,pw),则X()=XN()+O(△r),x,x}}=CXx+(△)i)在△t的N阶精度下保持能量H(t+△)和 Casimir量Cnx1]守恒:ENH(qN,pN)=E-O+(△1),CX△M)=Cn[XO)-OnN(△)(ⅵi)如2.32节中iv)、v)一样,可以通过附加项使保持代数结构或保持能量守恒的精度提高(vi)H的复合代数结构降低了H的某些项的非线性度,这是复合代数算法的优点和精度提高的原因2.5轨道几何保真与轨道动力学保真通常所说的保辛是轨道的几何保真,轨道运动速率保真是轨道的动力学保真2.5.1轨道运动速率保真代数动力学算法保持轨道的无穷小时间演化(平移)算子L的完整性,因而也在比轨道运动低一阶的近似下保持轨道运动速率(轨道切矢量)逼真性轨道运动速率的运动方程为上式表示:若轨道(t)=Uy(t)z精度是(t),则由该轨道计算的速率()=i01()z的精度是Or-)2.5.2轨道运动方程与轨道速率运动方程及其截断解的自洽性从代数动力学的截断的轨道解(1),可以自洽地导出轨道速率的截断解为a()=e2z,N()=0N(),=Lez,()=L0().(215)结论:代数动力学算法基于时间平移算子的完整性,在做到轨道的近似保真的同时,也兼顾到轨道速率的近似保真.2.53轨道精度的另一种估算法运用代数动力学的规范变换和规范自由度4,可以对轨道精度提供另一种估算,从而加深对代数动力学算法的理解.对代数动力学形式的运动方程()=Lz()作规范变换为z(1)=0()zm中国煤化工在规范参考系CNMHG中运动方程为元(x)=D2(),时间平移算子变为零:L=0-140-0-b,0=中国科学G辑物理学力学天文学第35卷L-L=0,相点静止不动:z(t)=0,z(t)=2(0),但在原来参考系中,相点按时间演化算子运动:z(t)=U()z(0)=U(t)z(0),考虑U的N阶近似产生的规范变换=b2i0n-02l,0=iy-(n-0)=i02b0(N)()=N)其中y(=∑P,0。()=1,.由此可见在规范参考系中,由于时间平移算子N是O(1)阶小量,故相点的速率是Or)阶小量,相点的运动轨道是Ot+)阶小量:(1)=D20)=O(~),z()=2(0)+O(r+).返回到原来的参考系后,z()=0y()N()=U()0)+0t+).上式表明,N阶近似轨道zx()准确到r次,误差为O(4)阶小量,与原来的结论一致3代数动力学算法与辛算法和 Runge- Kutta算法的关系代数动力学算法是独立于辛算法和 Runge-Kuta算法的第三种算法这三种算法都致力于常微分方程的数值求解.研究表明,它们之间既有密切的关系,又有实质性的区别.本节正是要研究这种联系和区别,下面分别予以讨论3.1代数动力学算法U()的N阶截断近似UN()导致N阶代数动力学算法.代数动力学算法的特点是,对时间演化算子Ux0,=ex的任何近似必须保持时间平移算子L的整体性.因此,U的N阶近似U即N阶代数动力学算法,就是对U的 Taylor级数做N阶截断近似即0,X(xo,)=Ux(1)X0=∑_(X)Xo,由轨道的按时间t的 Taylor展开,有n!"0,C(xnX=4"x-0.(32x(xn)=∑rx由于代数动力学的时间演化算子的N阶近似就是解对时间变量的 Taylor级数展开的N阶近似.据此可以确定 Taylor级数展开的收敛半径、估算余项的大小和N阶近似的精度应当指出,上述基于时间演化算子似的代数动力学算法是显式算法.对于 Hamilton系统,还可以设计中国煤化稳式的代数动力学算法-辛代数动力学算法CNMHG代数动力学算法有3个特点:i)强调动力学系统的代数结构(包括局域微分SCIENCE IN CHINA Ser. G Physics, Mechanics Astronomy第6期王顺金等:物理计算的保真与代数动力学算法—I597生成元结构和整体积分群的结构),并使动力学系统运动方程的结构问题和相应的解的时间演化的映射算子的结构问题具体化、定量化为偏微分算子的动态代数结构问题和单参数李群问题,因而可以用代数和群论的方法加以研究;ⅱ)在数值计算中强调保持这种动态代数结构,即强调代数结构的动态保真,由于代数与几何的一致性,也就强调了与该代数对应的群所作用的空间的几何的动态保真i)在数值计算中还强调动力系统守恒量的动力学保真,即尽可能保持动力学演化的单参数群的精确度.总之,代数动力学算法是一种兼顾代数与几何保真和动力学保真两者的保结构算法.代数动力学算法的名称和它的实际内涵是一致的:代数与几何保真和动力学保真的兼顾与并重,体现了这一算法的基本精神与内311N阶近似UN(△)的物理保真度在M的N阶精度下对各种物理量的保真度分别是i)保持轨道X/(1)的M的N阶精度为(ⅱi)保持能量及其他运动常量的△的N阶精度:E=HUN(△)X(1)+0△r)=HUN(△)x(t)+EOE(Ey(△M)=E[1-O(△r+)(3,4)ii)保持X(q,p)及其动态代数关系及其 Casimir量Cn[X]的M的N阶精度由X(q,p)=X1(q0,po,△A)x+O1△r),有x(02.x9.)+(△y)=C1x(,14+④y)→X(△,x(△)y=C4Xk(△M)y+C2O4(△r)-0(x+),(353)CnX(△)y= CnIX, (O)]+On(△r)(3.5b)总之,动态近似轨道对于精确轨道的偏差、能量及其他运动常量的守恒性的破坏,以及X(q,p)的动态代数关系及其 Casimir守恒量的破坏,均发生在的(M+1)阶精度上.上述关于代数动力算法精度的一般结论,为下文的4阶算法的计算机实验所证实.下面从李代数、李群和代数动力学算法的观点分析辛几何算法和 Runge-Kuta算法32辛几何算法7-引中国煤化工Hamilton系统的辛映射为x;(r)=CNMHG(x0,1)xo,以芊算法的N阶近www.scichina.com中国科学G辑物理学力学天文学第35卷似为xS()=g;(X0,1)=Sy(X0,1)X0为了便于与代数动力学算法比较,我们对辛算法引进了辛映射算子S及其N阶近似SN辛算法的设计是:使得辛算法的N阶近似与代数动力学算法的N阶近似的关系为S,(Xo, n)Xo=UN(Xo, t)Xo+0p+I(PsN)(r),鉴于S,(Xo, D)Xor=X(), UN(Xo.r)Xoi=X, (r).因而辛算法的N阶轨道与代数动力学算法的N阶轨道的关系是X N(O=X +Osp+I(p
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